备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题55 圆锥曲线的探索性、存在性问题.doc

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1、1专题专题 5555 圆锥曲线的探索性、存在性问题圆锥曲线的探索性、存在性问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探

2、索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利探索性、存在性问题的解法.1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标00,xy （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立

3、.（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.4.探索性问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值，探索定点、定值的存在性等常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇化解探索性问题的方法化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假

4、设下进行推 理论证，如果 得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具 有明确结论的问题2没有什么差别【经典例题经典例题】例 1.【2019 届江苏省南京师大附中考前模拟】如图，已知椭圆 C： (ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 经过点(0，)，离心率为 ，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 N 为F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点） ，求F1NF2与F1AF2面积的比值；（3）设点 A，F2，B

5、在直线 x4 上的射影依次为点 D，G， E连结 AE，BD，试问当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由【答案】 （1） （2） （3）见解析（2）因为点 N 为F1AF2 的内心，所以点 N 为F1AF2 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 r.则 . （3）若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED 是矩形，3此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点( ，0)， 下面证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0).设直线 l 的方程为 yk(x1)，化简得(34k2)x28k2

6、x4k2120，因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1，0)，所以0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2. 0，所以点 T( ，0)在直线 AE 上，同理可证，点 T( ，0)在直线 BD 上. 所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0).例 2.【2019 届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】设椭圆左右焦点为上顶点为 ,离心率为且.4（）求椭圆 的方程； （）设 是 轴正半轴上的一点，过点 任作直线 与 相交于两点，如果，是定值，试确定点 的位置，并求的最大值.【答案】(1) .(2) ,.（）设的方程为 x*/k/w它满足这时

7、5这时.例 3.【2019 届广东省东莞市考前冲刺】在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为 ，若椭圆：经过点 ，抛物线 和椭圆有公共点，且.（1）求抛物线 和椭圆的方程； （2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线 有两个交点的任意一条直线，都有焦点 在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）,（2）所以，解得，所以抛物线，焦点，由题意知解得所以椭圆：故抛物线 的方程为，椭圆的方程为.（2）假设存在正数适合题意，由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为由消去 ，整理得6由题意知恒成立，所以恒成立因为，所以，解得又因为，所以故存在正数适合题意，此时d 取值范围为

8、.例 4.【2019 届山东省日照市校际联考】已知椭圆 ：的焦距为，以椭圆 的右顶点 为圆心的圆与直线相交于 ， 两点，且，.（1）求椭圆 的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线 与椭圆 交于， 两点，已知直线， ，的斜率， ，成等比数列，记以线段，线段为直径的圆的面积分别为，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】 （1）椭圆 的方程为，圆 的方程为；（2） 为定值，定值为.【解析】分析：（1）设 为的中点，连接，则 ，所以 ，又，所以7，由已知得,所以椭圆 的方程为， ，所以，所以，所以，所以圆 的方程为 8则 故为定值，该定值为例 5.【2019 届江西省重点中学协

9、作体第二次联考】已知椭圆 ： 的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆 的方程；(2)设 为坐标原点，过点 的动直线 与椭圆交于点 、 ，是否存在常数 使得为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）.（2）答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得 的方程为.（2）当 不为 轴时，设 ：，、.联立 与 的方程可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算可得.当 为 轴时，也满足上述结论.则存在使得9所以，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当 为 轴时，.综上，存在使得为定值.例 6.【2019 届四川省成都市第七中学三诊】设、分别是椭圆的

10、左、右焦点.若 是该椭圆上的一个动点，的最大值为 1.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线与椭圆 交于两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合)，则直线与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析.10设，则，当，即点 为椭圆长轴端点时，有最大值 1，即，解得，故所求的椭圆方程为（2）由得消去 x 整理得，显然设，则，11即当直线与 轴交于定点例 7.【2019 届山东省威海市二模】已知椭圆 ：的左右焦点分别为，且离心率为 ，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆 的标准方程； （2）设分别为椭圆的左右顶点，过点 作

11、 轴的垂线 ， 为 上异于点 的一点，以为直径作圆 .若过点的直线 （异于 轴）与圆 相切于点 ，且 与直线相交于点 ，试判断是否为定值，并说明理由.【答案】 （1）（2）3【解析】分析：(1)根据题意得关于 a,b,c 的方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出点,12所以，设点，则，圆 的半径为则直线的方程为的方程设为，则化简得由，得所以点,所以点 在椭圆 上，即.例 8.【2019 届河北省武邑中学一模】已知椭圆经过点，且两个焦点13的坐标依次为和.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设是椭圆 上的两个动点， 为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并

12、写出此定圆的标准方程.【答案】(1);(2)见解析.详解：（1）由椭圆定义得 ，即，又，所以，得椭圆 的标准方程为（2）设直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，消去 得，当判别式时，得，14所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.例 9.【2019 届上海市徐汇区二模】如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与 轴的交点为( 为常数且)，试探究直线与直线的交点 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由【答案】 （1）（2）见解析（3）落在定直线上15（3）同（2）法，由点的

13、纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点 的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点 落在定直线上，从而问题可得解.试题解析：(1)设，由于，所以，因为在椭圆 上，于是，即，所以.(2)设直线，由得，于是， (3)由于直线与 轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，16于是因为直线，直线，于是，所以，即直线与直线的交点 落在定直线上例 10.【2019 届山东省潍坊市二模】已知平面上动点P到点3,0F的距离与到直线4 3 3x 的距离之比为3 2，记动点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）设,M m n是曲线E上的动点，直线l的方程为1mxny.设直线l与圆221xy交于

14、不同两点C， D，求CD的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程；并探究：若,M m n是曲线： 2210AxByA B上的动点，是否存在直线l： 1mxny恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】 （1）2 214xy；（2）见解析【解析】分析：（1）设设,P x y，根据动点P到点3,0F的距离与到直线4 3 3x 的距离之比为173 2，22 10xyA BAB.详解：（1）设,P x y，由题意，得2233 4233xyx .整理，得2 214xy，所以曲线E的方程为2 214xy.（2）圆心0,0到直线l的距离 221d mn 直线于圆有两个不同

15、交点C， D x/k.w22214 1CDmn又2 2104mnn22244 134CDm18当0m ， 1n 时，直线l的方程为1y ；当2m ， 0n 时，直线l的方程为1 2x ，根据椭圆对称性，猜想E的方程为2241xy.下证：直线10mxnyn与2241xy相切，其中2 214mn，即2244mn.由2241 1xymxyn消去y得： 22224210mnxmxn ，即224210xmxn .2222416 14440mnmn 恒成立，从而直线1mxny与椭圆E： 2241xy恒相切.若点,M m n是曲线： 2210AxByA B上的动点，则直线l： 1mxny与定曲线： 22 1

16、0xyA BAB恒相切.【精选精练精选精练】1 【2019 届宁夏银川市第二中学二模】设动圆 P(圆心为 P)经过定点(0，2)，被 x 轴截得的弦长为 4，P 的轨迹为曲线 C(1) 求 C 的方程(2) 设不经过坐标原点 O 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，O 在以线段 AB 为直径的圆上，求证：直线 l 经过定点，并求出定点坐标.【答案】 （1）；（2）【解析】分析：(1)由圆的几何性质布列方程组，消去参数即可得到轨迹方程；19（2）设不经过坐标原点 O 的直线 的方程为，则：，解得：，利用根与系数的关系表示垂直关系可得，从而得到直线 l 经过定点.详解：（1）设动圆 P 圆心为

17、，半径为 ，被 x 轴截得的弦为依题意的： 化简整理得：，或（舍去）所以直线 l 经过定点2 【2019 届辽宁省部分重点中学协作体模拟】已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆 的方程；（2）设点是椭圆 上与坐标原点 不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.【解析】分析：(1)由，可得，根据椭圆定义，可得，从而20所以 所以，因此，椭圆 .（用待定系数法，列方程组求解同样给分）（2）设直线，由消去 y 得因为，所以即，解得所以，点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的

18、定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3 【2019 届吉林省梅河口市第五中学二模】已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为 ，且过点，圆 是以线段为直径的圆，经过点 且倾斜角为的直线与圆 相切.（1）求椭圆及圆 的方程； 21（2）是否存在直线 ，使得直线 与圆 相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）椭圆的方程为，圆 的方程为；（2）不存在由题可知，解得 ，所以椭圆的方

19、程为，圆 的方程为.（2）假设存在直线 满足题意.由，可得，故（）当直线 的斜率不存在时，此时 的方程为因为直线 与圆 相切，22所以，整理得由消去 y 整理得，设，则，因为，所以，则，即，所以，所以，整理得由得，此时方程无解.故直线 不存在由（i） （ii）可知不存在直线 满足题意.4 【2019 届河北省武邑中学四模】已知椭圆， 为左焦点， 为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 .（1）求的标准方程；（2）是否存在过 点的直线，与和交点分别是和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.【答案】 （1）；（2）或23（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意

20、的直线，设直线方程为，联立方程组，得，由韦达定理得，则，联立方程组，得，由韦达定理得，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或.点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.5 【2019 届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二） 】已知动点 到定直线 ：的距离比到定点的距离大 2.（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）在 轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线 与曲线 交于 ， 两点，

21、使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】 （1）（2）24化简得，所以轨迹 的方程为.（2）假设存在满足条件的点（） ，直线 ：，有 ，设，有，据题意，为定值，则，于是，则有解得，故当时，为定值，所以.6.【2019 届浙江省杭州市学军中学模拟】 是抛物线的焦点，是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距离为 .（）求抛物线 的方程；（）若点的横坐标为，直线与抛物线 有两个不同的交点与圆 有两个不同的交点，求当 时，的最小值.25【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）设，先求得，再根据抛物线的定义求得 p=1，即得

22、抛物线的方程.(2)先求出，再利用换元和导数求其最小值.详解：（1） 抛物线的焦点，设又 到 的距离26令，则令，则时.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，这个计算量有点大.其二是换元得到新的函数.7 【2019 届安徽省宿州市第三次检测】已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率，以椭圆 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.（）求椭圆 的标准方程；（）若经过点的直线 交椭圆 于两点，是否存在直线 ，使得到直线 的距离满足恒成立，若存在，请求出的值；若不

23、存在，请说明理由.【答案】()；()答案见解析.则存在直线，使得到直线 的距离满足恒成立.详解：（）设椭圆 的标准方程为，又，27，由，解得，.所以椭圆 的标准方程为.（）若直线 的斜率不存在,则直线 为任意直线都满足要求；，.综上可知存在直线，使得到直线 的距离满足恒成立.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形8 【2019 届安徽省示范高中（皖江八校）5 月联考】如图已知抛物线的焦点为

24、，圆，直线 ：与抛物线和圆从下至上顺次交于四点 ， ， ， .28（1）若，求 的值；（2）若直线于点 ，直线与抛物线交于点 ， ，设，的中点分别为，求证：直线过定点.【答案】 （1）；（2）得， () ，,用替换可得，的直线方程为，化简得，直线过定点.9.【2019 届重庆市三诊】已知椭圆的离心率为，经过椭圆 的右焦点的弦中最短弦长为 2.29（1）求椭圆的 的方程；（2）已知椭圆 的左顶点为为坐标原点，以为直径的圆上是否存在一条切线 交椭圆 于不同的两点，且直线与的斜率的乘积为？若存在，求切线 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2).【解析】分析：第一问利用题中所给的椭圆的离

25、心率，以及焦点弦中通径最短的结论，以及椭圆中三者之间的关系求得椭圆的方程；第二问先设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到系数之间的关系，与椭圆方程联立，根据题的条件，得到相应的等量关系式，最后求得结果即可.详解：（1）由题意有：；（2）设切线方程为，则有，时，；时，；所以直线为.10.【2019 届天津市河北区二模】设椭圆 C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在 x 轴负半轴上有一点 B，满足为线段的中点，且 AB。（I）求椭圆 C 的离心率；（II）若过 A、B、三点的圆与直线 ：相切，求椭圆 C 的方程；（III）在（I）的条件下，过右焦点作斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于

26、M，N 两点，在 x 轴上是否存在点30P(m，0)使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，说明理由。【答案】 （） ；（）；（）。数的关系可得 MN 的中点 Q 的坐标为，若以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，则，由此得到，整理得，最后可求得详解：（I）ABAF2，为的中点，即椭圆 C 的离心率为 （II）过 A、B、F2三点的圆的圆心为 F1(-c，0)，半径 r=2c直线 ：相切，解得 c=1又，31椭圆 C 的方程为（III）由(I)知，F2(1，0)，直线 MN 的方程为，MN 的中点 Q 的坐标为，若以 PM，PN 为邻边的平

27、行四边形是菱形，则,整理得，32故存在满足题意的点 P，且 m 的取值范围是(点睛：（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点或参数)存在，并用待定系数法设出，根据题意列出关于待定系数的方程（方程组） ，若方程（组）有实数解，则元素(点或参数)存在；否则元素(点或参数)不存在（2）解析几何中求范围或最值时，首先建立关于某一参数为为变量的目标函数，再根据函数的特征求出范围或最值11.【2019 届相阳教育“黉门云”模拟卷】设圆(圆心为)：,圆圆心为： ,定点， 为直线上异于 的一点， 和 分别为圆、圆 上异于 的点，满足,直线和交于点 ,记 的

28、轨迹为曲线 .(1) 求证: 曲线 为椭圆(或椭圆的一部分)，并写出 的方程；(2) 设 的上顶点为 ,过点的直线与椭圆交于两点(异于 )，求证: 直线和的斜率之和为定值，并求出这个定值.【答案】 （1）；（2）故， 故 的轨迹是以为焦点、长轴为 的椭圆 (去掉 轴上的点)， 其方程为：. (2) 依题意：，设，当直线不与 轴平行时，设其方程为，其中.代入椭圆方程化简得：， 33故,.又 =；当直线与 轴平行时，其方程为，代入椭圆解得， 此时，故为定值. 12 【2019 届河南省名校压轴第二次考试】已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为 3，椭圆 的离心率.（1）求椭圆 的方程；（2）椭圆，设过点斜率存在且不为 0 的直线交椭圆 于两点，试问 轴上是否存在点 ，使得？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)见解析.又椭圆 的离心率，所以，又，求得，.椭圆 方程为.34（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去 并整理得.将，代入（*）并整理得，整理得，即，当时，无论 取何值均成立. 存在点使得.