备战2019年高考数学一轮复习 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用单元B卷 理.doc

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1、1第第十十六六单单元元 空空间间向向量量在在立立体体几几何何中中的的应应用用注注意意事事项项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给

2、出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）符合题目要求的）1已知1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）A1 11，B1, 1,1C1,1,1D1, 1, 1 2已知正三棱柱111ABCA B C，12ABAA，则异面直线1AB与1CA所成角的余弦值为（ ）A0B1 4C1 4D1 23如图所示，在平行六面体 1111ABCDA B C D 中，M为11AC与11B D的交点若AB a，AD b， 1AA c，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A11 22abcB11 22abcC11 22abcD11 22ab

3、c4如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，2AB ，60BAD，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，E，F分别为PD，CD的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）A1 3B3 4C1 4D7 105结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为1 2的小正方体堆积成的正方体） ，其中白点代表钠原子，黑点代表氯原子建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）A1 1,12 2B(0 01)，C11,12D1 11,2 26如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足2OMMA ，BNNC，点G是线段

4、MN的中点，用向量OA ，OB ，OC表示向量OG应为（ ）A111 344OGOAOBOC B111 344OGOAOBOC C111 344OGOAOBOC D111 344OGOAOBOC 7如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，0 0 2OC ，平面的法向量为21 2，n，设二面角CABO的大小为，则cos（ ）2A4 3B5 3C2 3D2 38点P是棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D的底面ABCD上一点，则1PA PC 的取值范围是（ ）A11,4 B11,24C1,0D1,029已知四边形ABCD，2ABBDDA，2BCCD，现将ABD沿B

5、D折起，使二面角ABDC的大小在5 66 ，内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（ ）A5 208 ，B208 ，C 25 20188 ，D2 5 2 88 ，10如图，平面平面，A，B，AB与平面，所成的角分别为4和6，过A，B两点分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，若12AB，则BA的长为（ ）A4B6C8D9 11正四棱锥ABCDS 的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（ ）A30B45C60D9012如图，在三棱柱1 11ABCA B C、中，侧棱垂直于底面，底面边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB与平面11CAB所成的角为（ ）A6

6、B4C3D2二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上）13已知(2, 2,3)a，( 1,4, 2) b，(1,2, )c，若向量a，b，c共面，则实数 14PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角为60，那么直线PA与平面PBC所成角的余弦值是_15已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，2CG，E、F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_16如图所示，在正三棱柱111CBAABC 中，D是AC的中点，121AA AB :：，则异面直线1

7、AB与BD所成的角为_三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAD是等边三角形，ABBC，ADBC，2ADBC（1）求证：ADPC；（2）若平面PAD 平面ABCD，60ADC，求二面角APDC的余弦值318 （12 分）如图，已知斜三棱柱111CBAABC 的底面是正三角形，侧面11AABB是菱形，且160A AB，M是11BA的中点，ACMB （1）求证：MB平面ABC；（2）求二面角CBBA11的余弦值19 （12 分）

8、如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，DFBE2，ECAE （1）证明：平面AEC平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值20 （12 分）如图，在四棱锥ABCDP 中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADAB ，ABCD，222ABADCDE是PB的中点（1）求证：平面EAC平面PBC；（2）若二面角EACP的余弦值为36，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值421 （12 分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥ABCDP 中，60ABC，aACPA， aPDPB2，点E在PD上，且:2:1PE ED （

9、1）证明：PA平面ABCD；（2）求二面角DACE的大小；（3）棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论22 （12 分）如图 1，在RtABC中，90C，3BC，6AC，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，2DE将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ACCD，如图 2（1）求证：1AC平面BCDE；（2）若M是DA1的中点，求CM与平面BEA1所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面DPA1与平面BEA1垂直?说明理由单元训练金卷高三数学卷答案（B）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小

10、题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）符合题目要求的）1 【答案】D【解析】1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C，1B,1,0A ，1C,0,1A ，设平面 ABC 的一个单位法向量为yznx，则AB0AC0 nn，00xyxz 易知：1, 1, 1 符合题意故选 D2 【答案】C【解析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以1AA为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱111ABCA B C的各条棱长为 2，则0 0 0A （，），1312B （，），10 0 2A （

11、，），0 2 0C （，），1312AB ，10 22AC ，设异面直线1AB和1AC所成的角的余弦值为，则111121cos488ABACABAC 异面直线1AB和1AC所成的角的余弦值大小为1 4故选 C3 【答案】A【解析】平行六面体的性质可得：11111 22A MACab，则11111 222BMBAAAA M acababc，故选 A4 【答案】B【解析】如图，取AD的中点O，连OP，OB，由题意可得PO 平面ABCD在AOB中，1OA ，2AB ，60OAB，则由余弦定理得3OB ，所以OBAD，因此可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则10 0A ，13022E，030B，3

12、3022F，33022AE ，33022BF ，9 34cos433AE BFAE BFAE BF ，异面直线AE与BF所成角的余弦值为3 4故选 B5 【答案】A【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCDOEFG，如图所示：平面BFGD经过点B与x轴垂直，点B在x轴上的射影为G点，结合1,0,02G得B的横坐标为1 2；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合10,02E得B的纵坐标为1 2；点B在z轴上的射影为D点，结合0,0,1D得B的竖坐标为 1，点B的坐标为1 1,12 2G，故选 A6 【答案】A【解析】111211 222322OGOM

13、ONOAOBOC ，化简得到111 344OGOAOBOC ，故选 A7 【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO的一个法向量为：0 0 2OC ，由空间向量的结论可得：42cos2 33OCOCnn本题选择 C 选项8 【答案】D【解析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以1DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得点1,0,0A，10,1,1C，设点P的坐标为, ,x y z，则01x，01y，1z ，1, 1PAxy ，1,1,0PCxy ，22 22 1111110222PA PCxxyyxxyyxy ，由二次函数的性质可得，当1 2xy时，1PA PC

14、 取得最大值为1 2，当0x 或1时，且当0y 或1时，1PA PC 取得最大值为0，由此1PA PC 的取值范围是1,02，故选 D9 【答案】A【解析】2ABBDDA2BCCD，COBD，AOBD，且1CO ，3AO ，AOC是二面角ABDC的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，0(0)1B，()10 0C ，()010D ，设二面角ABDC的平面角为，则5 66，连AO、BO，则AOC，3cos03sinA，3cos 13sinBA ，110CD ，设AB、CD的夹角为，则13cos cos2 2AB CDABCD ，5 66，

15、33cos22 ，故513cos02，5 2cos08 ，本题选择 A 选项10 【答案】B【解析】连接AB和BA，设aAB ，AB与平面成的角 4BAB，在RtBAB中，aAB22，AB与平面所成的角 6AB A，在RtABA中，aAA21，因此在RtAAB中，22211()()6222ABaaa，故选 B11 【答案】C【解析】取AC的中点F，连接EF、BF，则EFSC，异面直线BE与SC所成的角为BEF，因为22 21SCEF，26BF，22AE，又在SAB中，由余弦定理可得46cosSAB，则在ABE中，可得2BE，在BEF中，由余弦定理得21cosBEF，所以60BEF，故选 C12

16、 【答案】A【解析】记点B到平面11CAB的距离为d，1BB与平面11CAB所成的角为，连接1BC， 1111CABBCBBAVV，即111132322 33232d ，3 2d ，则1sind BB21，所以6，故选 A二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填在题中横线上）分请把答案填在题中横线上）13 【答案】1【解析】a，b，c共面，存在实数x，y，使ya = xbc，即2, 2,31,4, 21,2,xy，224232xyxyxy ，解得114 【答案】3 3【解析】过点A向平面PBC作垂线AO，垂足为O，

17、连接PO，易知PO为BPC的角平分线，过点O向PB作垂线，垂足为B，连接AB，易知ABPB，设2APa，在RtPAB中，60APB，PBa，在RtPBO中，30BPO，2 3 3POa，在RtPAO中，3cos3POAPOAP15 【答案】6 11 11【解析】建立如图所示的空间直角坐标系xyzC ，则)2 , 0 , 0(OG，由题意得平面GEF的一个法向量为(1,1,3)n，所以点C到平面GEF的距离为6 11d11CG nn16 【答案】60【解析】在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作AEBH 于H，连接HB1，则在1RtAHB中，AHB1为1AB与BD所成的角，设1AB，则2

18、1AA，31AB，23 BDAH，1 11cos2AHB AHAB，160B AH三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（2）5 5【解析】 （1）取AD的中点O，连接PO，CO，PAD为等边三角形，POAD，ADBC，2ADBC，BCAO且BCAO又ABBC，四边形ABCO为矩形，COAD，COPOO，AD 平面POC又PC 平面POC，ADPC，（2）由（1）知POAD，平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，PO 平面P

19、AD，PO 平面ABCD，以O为坐标原点，以OC，OD，OP 所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，设1OD ，则1OABC，60ADC，3OC ，又2AD ，得3PO ，0 03P，010D，30 0C，013PD ，303PC ，设平面PCD法向量1xyz，n，由1100PDPC nn，得30330yzxz，取1z ，得1131，n，又知OC是平面PAD的一个法向量，设230 0OC，n，12 12 1213130 05cos51313 ，nnn ,nnn，二面角APDC的余弦值为5 518 【答案】 （1）见解析；（2）5 5【解析】 （1）证明侧面11AA

20、BB是菱形，且160A AB，11A BB为正三角形，点M为11BA的中点，11MBA B11ABA B，ABMB ，由已知ACMB ，MB平面ABC（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形11AABB边长为2，得)3, 1, 0(1B，)0 , 2 , 0(A，)0 , 1 , 3(C，)3, 1 , 0(1A则)3, 1 , 0(1BA，)0 , 2 , 0(BA，)3, 1, 0(1BB，)0 , 1 , 3(BC设平面11AABB的法向量1111(,)x y zn，由1BA n，11BAn得1112030yyz，令11x 得1(1,0,0)n设面CCBB11的法向量2222(,)xyzn，

21、由21BBn，2BC n得22223030yzxy，令32y，得2( 1, 3,1) n所以12 12 1215cos515nnn ,nnn又二面角CBBA11的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为5519 【答案】 （1）见解析；（2）3 3【解析】 （1）证明：连结BD，和AC交于O点，连结OE，OF，BE平面ABCD，ABBE ，BCBE ，BCAB ，RtRtABECBE，CEAE ，ECAE ，ACE是等腰直角三角形，且ACOE21，222cos1203ACABACAB ACAB ，ABOE23，ABODOB21，ABBE22ABBEDF42 21OBBE FDDO，RtRtOBE

22、FDO:，FODOEB，90BOEFODBOEOEB ，OFOE 又ACOE ，OE平面AFC，平面AEC平面AFC（2）分别以OB，OC所在射线为x轴，y轴，以过点O平行于BE的直线为z轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示设20ABa a，则)0 ,3, 0(aA，)2, 0 ,(aaE，)0 ,3, 0(aC，)22, 0 ,(aaF ，( , 3 , 2 )AEaaa ，2(,3 ,)2CFaaa ，22233cos,33 262AE CFaaaAE CF AECFaa 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为3320 【答案】 （1）见解析；（2）2 3【解析】 （1）证明：PC平面AB

23、CD，AC平面ABCD，PCAC ，2AB，1 CDAD，2 BCAC，222ABBCAC，BCAC 又CPCBC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（2）如图，以C为原点，DA、CD、CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C，)0 , 1 , 1 (A，)0 , 1, 1 ( B设(0,0, )(0)Pa a ，则11,22 2aE，1,1,0CA ，0,0,CPa ，11,22 2aCE 设平面PAC的法向量为1111( ,)x y zn，则由110CACP nn得11200xyaz ，令11x，则11y，01z，所以平面PAC的法向

24、量为1(1, 1,0)n设平面EAC的法向量为2222(,)xyzn，则由220CACE nn，得 , 0221 21, 022222zayxyx令ax ，则ay，2z所以平面EAC的法向量为2( , 2)aan依题意，12226cos,3224aa n n，解得2a于是2(2, 2, 2)n，(1,1, 2)PA ，设直线PA与平面EAC所成角为则2222sincos,3PA PA PA n n n即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为3221 【答案】 （1）见解析；（2）6；（3）当点F为PC中点时，有BF平面AEC【解析】 （1）证明：四边形ABCD是菱形，60ABC，且aACPAaA

25、DAB，又aPDPB2，222PBABPA，222PDADPA，ABPA ，且ADPA PA平面ABCD（2）连接BD，底面ABCD是菱形，BDAC ，设OBDAC以O为原点，OB ，OC分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：0,02aA，3,0,02aB ，0,02aC，3,0,02aD，0,2aPa点E在PD上，且:2:1PE ED 3DPDE ，即3DPOEOD 3,36 3aa aOE ，即点E的坐标为3,36 3aa a又平面DAC的一个法向量为1(0,0,1)n，设平面EAC的一个法向量为2( , , )x y zn，0,02aOC，3,36 3aa aO

26、E ，由2200OCOE nn，得030363yaaaxyz，可令1x，得2(1,0, 3)n，12 12 123cos2nnn ,nnn，126n ,n，所以二面角DACE的大小为6（3）证明：假设在PC上存在点F满足题设条件，设(01)CFCP ，得12(0,)2OFOCCPaa ，123312(0,)(,0,0)(,)2222aaBFOFOBaaaa ，依题意，BF平面AEC，则有2BF n，312,1,0, 3022aaa，即0323aa，解得21，当点F为PC中点时，有BF平面AEC22 【答案】 （1）见解析；（2）4；（3）不存在，见解析【解析】 （1）证明：因为BCAC ，DE

27、BC，所以ACDE 所以DAED1，CDDE ，所以DE平面DCA1所以CADE1又因为1ACCD，CDAC 1所以1AC平面BCDE（2）如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系xyzC ，则)32 , 0 , 0(1A，)0 , 2 , 0(D，)3, 1 , 0(M，)0 , 0 , 3(B，)0 , 2 , 2(E设平面BEA1的法向量为( , , )x y zn，则10ABn，0BE n又)32, 0 , 3(1BA，)0 , 2 , 1(BE，所以32 30 20xz xy 令1y，则2x，3z所以(2,1, 3)n设CM与平面BEA1所成的角为，因为)3, 1 , 0(CM，所以42sincos,284CM CM CM n n n所以CM与平面BEA1所成角的大小为4（3）线段BC上不存在点P，使平面DPA1与平面BEA1垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为)0 , 0 ,(tP，其中3 , 0t设平面DPA1的法向量为( , , )x y zm，则10AD m，0DP m又)32, 2 , 0(1DA，)0 , 2,( tDP，所以22 30 20yz txy令2x，则ty ，3tz 所以(2, ,)3ttm平面DPA1与平面BEA1垂直当且仅当0n m，即04tt解得2t，这与3 , 0t矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面DPA1与平面BEA1垂直