全等三角形中辅助线的添加(重要文档).doc

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1、全等三角形中辅助线的添加(重要文档)全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用.二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1)作线段：连接;(2）作平行线：过点作；(3）作垂线（作高）：过点作，垂足为；(4）作中线:取中点，连接；（5)延长并截取线段:延长使等于;（6）截取等长线段：在上截取，使等于；(7）作角平分线:作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1） 倍长中线(或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段），通常考虑倍长中线

2、或类中线，构造全等三角形。（2） 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3） 一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4） 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5） 角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：

3、用旋转构造三角形全等.（6） 构造特殊三角形：主要是30、60、90、等腰直角三角形（用平移、对称和弦图也可以构造）和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型： （1）ABC中AD是BC边中线方式1: 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长，作CFAD于F，作BEAD的延长线于E，连接BE方式3： 延长MD到N,使DN=MD，连接CD (2） 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AECD EC=AB-CD（3)角分线，分两边,对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4) 旋转: 方法：延长其

4、中一个补角的线段(延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F,使FB=DN ，连AF ) 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM翻折： 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线。（B+D=且AB=AD）(5）手拉手模型ABE和ACF均为等边三角形 结论：(1）ABFAEC;（2）B0E=BAE=60（“八字型模型证明）；（3)OA平分EOF拓展： 条件:ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3)、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE (5）、AP=BQ (6）、CO平分AOE （

5、7)、OA=OB+OC （8)、OE=OC+OD (（7），（8）需构造等边三角形证明)ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论：(1）、BDCF (2）、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T,求证：T为FD的中点. 方法一： 方法二： 方法三: 变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：ANBC 当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：1=2=。 四、典型例题：考点一:倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图ABC中，AB=5,AC=3，则中线AD的取值范围是_。 练习：

6、1、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.2、 如图，ABC中,BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 3、 如图，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。 4、 已知:如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，FAE=BAE求证:AF=BC+FC 5、 如图，D是AB的中点,ACB=90，求证：2CD=AB. 6、 已知在ABC中,AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE.7、 已知在ABC中，AD是BC边上的中线,E是A

7、D上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。8、 已知：如图，在中，D、E在BC上,且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC。求证：AE平分。9、 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；(2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，(1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 10、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC

8、的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2)将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 变式1:已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM（1）若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合，如图,探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图图 变式:2：已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，

9、ABC=ADE=90，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图,点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立，说明理由. 变式3: 四边形是正方形，是等腰直角三角形,，连接，为的中点，连接，。(1)如图241,若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；（2）将图241中的绕点顺时针旋转至图242所示位置,请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程;若不成立,请说明理由；（3）将图24-1中的绕点顺时针旋转（）,若，当，三点共线时，求的长及ABF的度数.

10、ABCD备用图图24-2ACDGEFBACDGEFB图24-1考点二：截长补短法：核心母题 如图，ADBC,EA，EB分别平分DAB，CBA,CD过点E,求证：AB=AD+BC 练习：1、 如图，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2)将图中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;、已知：如图，是等边三角形，, 求证：。ABCD、已知四边形中，,为四边形的对角线上一点，且,求证：2、 在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ

11、平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ. ABCDEO3、如图，在中，AD,CE分别为的平分线,求证：AC=AE+CD 4、如图，在ABC中，AB=AC，D是ABC外一点，且ABD=60,ACD=60求证:BD+DC=AB 5、已知：如图在ABC中，AB=AC,D为ABC外一点，ABD=60,ADB=90BDC，求证：AB=BDDC. 考点三：一线三等角问题（“K”字图)核心母题 已知：如图,在RtABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC边上一点，ADE=45，AD=DE，求证:BD=EC. 练习:1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，

12、EFED求证:AE平分BAD 2、两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由 3、如图，在中，直线经过点C，且于点D，于点E。(1）当直线绕点C旋转到图(1)的位置时,求证：DE=AD+BE；（2）当直线绕点C旋转到图（2)的位置时,求证：DE=ADBE；（3）当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD,BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。BCMNEDABCNMDEABCNMDE4、 如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD,F、A、G、

13、C、H在同一直线上,如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？ 6、小雨遇到这样一个问题:如图1，直线l1l2l3 ，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积图2图1 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作ADl2于点D，作DAH=90，在AH上截取AE=AD，过点E作EBAE交l3于点B,连接AB，作BAC=90，交直线l2于

14、点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l1l2l3， l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）图3图37、如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P(5,5）处,两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B。（1） 当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；（2） 点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时,试探究OAOB的值

15、或取值范围,直接写出结果. 9、 已知：在平面直角坐标系中,等腰直角ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且ACB=90，AC=BC（1)如图1，当A(0，2），C（1,0)，点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0,a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BDy轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论 考点四：角平分线、中垂线法核心母题 1、在中，是的平分线是上任意一点求证: 2、已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE 3、 如图，AB

16、C的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DEAB于E，且ABAC,求证：BEAC=AE 练习 1、 如图所示,在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 2、 如图所示:ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角ACG的平分线CF相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E问：(1）写出图中的等腰三角形并说明理由（2）若BD=8cm，DE=3cm，求CE的长 3、在中，平分，是中点,连结，求证： 4、如图,ABC中，ABC=2C，BE平分ABC交AC于E、ADBE于D，求证：（1）AC-BE=AE;（2）AC=2BD 5、 如图，在AB

17、C中，ABAC，E为BC边的中点,AD为BAC的平分线,过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证:BF=CG 变式一:如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点,若，求证:为的角平分线 变式二:已知：ABC中,AD是ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作MNAD，交AC于点N ,求证:AN+AB=NC。 变式三：在ABC中,AD是ABC的角平分线(1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点,连结AF，求证：AFAD;(2）如图2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N，若AB=4， AC=7，图1图2求NC的长ACBD6、如图,已知ABC中

18、,ABAC，A100，B的平分线交AC于D， 求证：ADBDBC7、如图，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。EADBC8、如图1，在ABC中,ACB=2B，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M（1)当直线l经过点C时(如图2），证明：BN=CD； (2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；(3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系9、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F，求证：2BE=AC

19、-AB 变式：如图，已知在中，,，求证： 10、如图所示，在中，平分,于，求证 变式一：如图1=2，B为AC中点，CMFB于M，ANFB于N，求证：EF=2BM；FB=（FM+FN） 变式二：如图，在ODC中，过点E作 变式三：如图所示,在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证：MF=（ACAB)。 考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF。 变式一:如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若ECF的

20、周长是2,求EAF的度数? 变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAQ=45，AHEF，求证：AH=AB。 综合:在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN,求证：.MAN=。AM、AN分别平分BMN和DNM. 练习 1、 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，A=C=90，B=135，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN的周长是AB的2倍，求KDN的度数？ 2、 已知：正方形ABCD中，MAN=45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线)于点M、N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证B

21、M+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF=BAD，（1） 求证：EF=BE+FD（2） 如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。 5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD，ABC+AED=180求证：AD平分CDE. 6、 如图,已知AB=C

22、D=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 7、 如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180,E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF（1)求证：EF=BE+DF;（2）在（1）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关系 8、 如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点,且PA=3，PC=2，PB=1求BPC的度数 考点六：构造特殊三角形核心母题 如图，在ABC中，AD交边BC于点D，BAD=15，ADC=4BAD，DC=2BD(1）求B的度数；（

23、2）求证：CAD=B 练习 1、在平面直角坐标系中，点A（2,0)、B（0，4），以AB为斜边作等腰直角ABC，则点C的坐标为？ 2、如图,在正方形网格图中,求123的度数和。 3、已知：平面直角坐标系中的三个点,A（1,0)、B（2，)、C(0,3),求OCA+OCB的度数. ADBC6、已知，,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当ADB=60时,求AB及CD的长；(2）当ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应ADB的大小。7、已知：，,以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧。（1）如图,当APB=45时，求AB及PD的长；(2）当APB变化,且其它条件不变时,求PD 的 最大值，及相应APB的大小.8、在四边形ABDE中，C是BD边的中点（1）如图（1)，若AC平分，=90， 则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为？（直接写出答案）(2）如图（2），AC平分， EC平分,若，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明; 图（2）（3)如图(3），BD = 8，AB=2，DE=8，ACE=120，则线段AE长度的最大值是多少?如果ACE=135,此时线段AE长度的最大值是多少? 图（3） 25