第8章 数论算法及计算几何算法优秀课件.ppt

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1、第8章数论算法及计算几何算法第1页，本讲稿共32页教学目标教学目标理解求最大公约数的算法掌握欧几里德公式的推广掌握求解同余方程的算法掌握运用中国剩余定理解决实际问题理解线段相交的概念掌握线段是否相交的判定算法理解凸包的概念及穷举搜索的解决方法掌握凸包问题及最接近点对问题的分治法第2页，本讲稿共32页8.1最大公约数最大公约数定义定义1设a，b是整数，b0，如果存在整数c，使得a=bc成立则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数(因数或除数)，可记为b|a；如果不存在整数c使得abc成立，则称a不被b整除，记为ba。定理定理1(带余数除法)设a与b是两个整数，b0，则存在唯一的两个整数q和r，

2、使得a=bq+r，0r0)。现c筒装满水，问能否在c简中量出d升水(cd0)。若能，请列出一种方案。算法分析：量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个特点：总有一个筒中的水没有变动；不是一个筒被倒满就是另一个筒被倒光；c筒仅起中转作用。而本身容积除了必须足够装下a筒和b筒的全部水外，别无其它限制。通过上述分析知：问题实质上是将a筒倒满x次，b筒倒满y次，使得总结果有ax十byd(8-10)设a3，b7，c10，求x,y第12页，本讲稿共32页8.3同余方程组同余方程组若数r同时满足n个同余方程：，则r称为这n个同余方程组成的同余方程组的解第13页，本讲稿共32页定理对同余方程组记，

3、其中，表示m1和m2的最小公倍数。若d(a1-a2)，则此同余方程组无解；若d|(a1-a2)，则此同余方程组有对模M的一类剩余解。中国剩余定理（即孙子定理）设是两两互质的正整数，记M=，则同余方程组第14页，本讲稿共32页有对模M的唯一解其中证明（见板书）例：早在几千年前中国的一本孙子算经就已经提及这个问题的解法了，原文为：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”。第15页，本讲稿共32页8.4线段相交线段相交线段性质有向线段P1为始点，P2为终点，长度如果P1(0,0)，则记为无向线段为P1P2叉积的概念叉积是一种向量乘法，向量叉乘向

4、量得到另一个向量，则=方向为右手直角坐标系第16页，本讲稿共32页几何意义以和为边的平行四边形的面积叉积定义为一个矩阵行列式思考1：叉积何时小于0？何时大于0？又何时等于0？思考2：对公共点P0而言，如何知道有向线段在有向线段的什么方向？通过叉积可以知道第17页，本讲稿共32页确定两条线段是否相交第一步：通过快速排斥实验来确定两条线段是否不相交；第二步：在快速排斥实验判断有可能相交的前提下进行跨立实验，来确定两条线段是否相互跨立确定任意一对线段相交对应给定的一个线段集合，确定其中任意两条线段是否相交。该算法输入由若干条线段组成的集合，若这组线段中存在任意一对线段相交，则返回true；否则，返回

5、false两点假设（1）线段集合中的所有线段都不是竖直的；（2）未有三条输入线段相交于同一点的情形。第18页，本讲稿共32页算法思想假设一条垂直扫描线沿X轴方向从左到右顺序移动、穿过已知的若干线段。移动过程中，每遇到一个线段端点，它就将穿过扫描线的所有线段放入一个动态数据结构中，并利用它们之间的关系进行排序，核查是否有相交点存在。该算法要求安排两个集合，一个是T序列，另一个是扫描线的一系列位置，即线段端点位置，并且要标记端点为线段的左端点还是线段的右端点。遇到左端点时将线段插入序列T中，并考察与其相邻的线段是否相交；遇到右端点时将线段从序列T中删除，此时考察被删除线段的左右两条线段是否相交。第

6、19页，本讲稿共32页8.5凸包问题凸包问题给定一个点集SP0,P1,Pn-1，它的凸包是一个最小的凸多边形P，且满足S中的每个点或者在P的边界上或者在P的内部如果点集S是两个点的集合，显然它的凸包是连接这两个点的线段；如果S是由三个不共线的点组成的集合，那么凸包是以这三个点为顶点的三角形；如果三点共线，则凸包是以距离最远的两个点为端点的线段。对于更大的集合，在直观上，可以把S中的每个点看作订在地上的木桩，那么凸包就是将所有木桩围起来的一个拉紧的橡皮绳的形状，如图8-1所示。第20页，本讲稿共32页8.5.1凸包问题的穷举搜索法凸包问题的穷举搜索法第21页，本讲稿共32页算法思想根据凸多边形的

7、定义，对于一个由n个点组成的集合S中的任意两个点Pi和Pj，当且仅当该集合中的其它点要么位于穿过Pi和Pj直线的同侧，要么位于线段PiPj上。则线段PiPj是该集合凸多边形边界的一部分。对每一个点都做一遍检验之后，满足条件的线段就构成了该凸包的边界算法求解步骤对于集合中的任意两点Pi和Pj，定义穿过它们直线方程。将点集S中的其余点代入直线方程，然后检查是否位于线段同侧，如果不是，说明线段PiPj不是点集S的凸多边形的边界。否则，PiPj是凸多边形的边界。对点集中的每个点，重复上述步骤，直到找出全部多边形的边界第22页，本讲稿共32页算法分析点集中的点构成的线段数目最多为n(n-1)/2，对每一

8、条线段，最坏情况要检查点集中其余n-2个点属于哪个半平面，故算法的时间复杂性为O(n3)8.5.2凸包问题的分治法凸包问题的分治法算法思想将点集S中的点按照x坐标升序排序，x坐标相同的按照y坐标升序排序，排好序的序列存放在点结构数组P中。那么最左边的点P0、最右边的点Pn-1肯定是凸包上的点。线段P0Pn-1将集合S中的点分成两个集合S1和S2。第23页，本讲稿共32页子集S1的凸包由线段P0Pn-1作为下边界、多节链条作为上边界组成。这条上边界称为上包。子集S2的凸包由线段P0Pn-1作为上边界、多节链条作为下边界组成。这条下边界称为下包。整个集合的凸包由上包和下包构成。如图8-2所示。第2

9、4页，本讲稿共32页算法求解步骤构造上包找到子集S1中的点Pmax，它是距离线段P0Pn-1最远的点连接，找出S1中位于直线左边的点，这些点构成集合S11；找出S1中位于直线左边的点，这些点构成集合S12；P0PmaxPn-1内部的点不予考虑递归构造S11和S12的上包，然后简单地将它们连接起来，得到S1的上包构造下包找到子集S2中的点Pmin，它是距离线段P0Pn-1最远的点连接，找出S2中位于直线右边的点，这些点构成集合S21；找出S2中位于直线右边的点，这些点构成集合S22；P0PminPn-1内部的点不予考虑递归构造S21和S22的上包，然后简单地将它们连接起来，得到S2的上包第25页

10、，本讲稿共32页8.6最接近点对问题最接近点对问题最接近点对问题要求给定平面上n个点组成的集合S，找出其中n个点组成的点对中距离最近的一对点。8.6.1最接近点对问题的穷举搜索法最接近点对问题的穷举搜索法算法思想分别计算点集中每一对点的距离，从中找出值最小的那对点。为了避免点对的重复计算，算法只考虑ij的情况第26页，本讲稿共32页8.6.2最接近点对问题的分治法最接近点对问题的分治法算法分析从算法描述可知循环体内的时间是常数时间，循环次数，因此算法的时间复杂性为O(n2)算法思想将所给平面上的n个点的集合S分成规模大致相等的两个子集S1和S2。递归求解S1和S2中的最接近点对；集合S中的最接

11、近点对或者是子问题S1的解，或者是子问题S2的解，或者是一个点在S1中，一个点在S2中的情况组成的最接近点对。第27页，本讲稿共32页一维情形用xm将x1,x2,xn分成两部分S1和S2递归求S1中最接近点对，其距离为d1递归求S2中最接近点对，其距离为d2求S1中的最大值p，S2中的最小值q比较|p-q|,d1,d2确定哪个是最接近点对。算法分析解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。第28页，本讲稿共32页二维情形选取一垂直线l：x=xm作为分割线。其中xm为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2递归求S1中最接近点对，其距离为d1递归求S2中最接近点对，其距离为d2令d=m

12、in(d1,d2)找出S1中的某个点p和S2中的某个点q组成的点对(p,q)（难点）比较|p-q|,d1,d2确定哪个是最接近点对思考：如何找出点对(p,q)？如果|p-q|小于d，则p点分布在P1带形区域内(左虚线和分割线l所夹的区域)，q点分布在P2带形区域内(右虚线和分割线l所夹的区域)。如图8-5所示第29页，本讲稿共32页对于P1中任意一点p，与它距离小于d的点分布在以p点为圆心，以d为半径的圆内。因此，与点p构成最接近点对的P2中的点一定落在一个d2d的矩形R中。如图8-6所示。第30页，本讲稿共32页由d的意义可知，矩形R中任何两个S中的点的距离都大于等于d。由此可知，至少可以将d2d的矩形R分割成如图8-7所示的六部分，其中任何一部分包含P2中的点最多有一个因此，在矩形R中最多只有6个P2中的点与p构成最接近点对第31页，本讲稿共32页思考：针对P1中的任意一点p，检查P2中的哪6个点，从而可以找出最接近点对呢？可以将p和P2中所有点到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的P2中的点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点与p在l上的投影点的距离小于d算法分析（nlogn)第32页，本讲稿共32页