备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题08 函数与方程——零点问题面面观.doc

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1、1专题专题 0808 函数与方程函数与方程-零点问题面面观零点问题面面观【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大.一、基础知识：1、零点的定义：一般地，对于函数 yfxxD，我们把方程 0fx 的实数根x称为函数 yfxxD的零点2、函数零点

2、存在性定理：设函数 fx在闭区间, a b上连续，且 0f a f b ，那么在开区间, a b内至少有函数 fx的一个零点，即至少有一点0,xa b，使得 00fx.（1） fx在, a b上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设 fx连续） 若 0f a f b ，则 fx的零点不一定只有一个，可以有多个 若 0f a f b ，那么 fx在, a b不一定有零点 若 fx在, a b有零点，则 f a f b不一定必须异号3、若 fx在, a b上是单调函数且连续，则 0f a f bfx在, a b的零点唯一.4、函数的零点，方程的根，两图

3、象交点之间的联系（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.三者转化：函数 f x的零点方程 0f x 的根方程变形方程 g xh x的根函数 g x与 h x的交点.二、零点存在与判断方法、技巧：21、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如

4、：对于方程ln0xx，无法直接求出根，构造函数 lnfxxx，由 110,02ff即可判定其零点必在1,12中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的

5、交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现。通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围。缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察） ，另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡.（作 3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个.因此分析一个函数零点的个数前，可尝试

6、判断函数是否单调.4、几个“不一定”与“一定” （假设 f x在区间, a b连续）（1）若 0f af b，则 f x“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点.要分析 f x的性质与图象，如果 f x单调，则“一定”只有一个零点 （2）若 0f af b，则 f x“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 f x单调，那么“一定”没有零点3（3）如果 f x在区间, a b中存在零点，则 f af b的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果 f x单调，则 f af b一定小于 05、零点与单调性配合可确定函数的符号： f x是一个在, a b单增连续函数，0xx是 f x的

7、零点，且0,xa b，则0,xa x时， 0f x ；0,xx b时， 0f x .三、函数零点的性质及应用1、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，2.常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出12,x x ，将关于12,x x 的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x关于xa轴对称，则122xxa；同

8、理，若12,x x关于,0a中心对称，则也有122xxa。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系【经典例题经典例题】例 1 【2019 届北京市十一学校高三 3 月零模】已知函数 1 31,2x f xx那么在下列区间中含有函数 f x零点的是（ ）A. 10,3B. 1 1,3 2C. 1 2,2 3D. 2,13【答案】B【解析】 1111 332311111111010,0,0,032322232fffff ,所以函数 f(x)在区间1 1,3 2必有零点，选 B.例 2.设函数 224,ln25xf xexg xxx，若实数, a b分别是 ,f xg x的零点，

9、则（ ）4A. 0g af b B. 0f bg a C. 0g af b D. 0f bg a【答案】A【名师点睛】利用零点存在性定理求解三步曲是：先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数 f x；求区间, a b两端点的函数值 ,f af b；若函数在该区间上连续且 0f af b，则方程在该区间内必有根.例 3【2019 届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R上的函数 f x满足 21f xf x，且 0,1x时， 4xf x ； 1,2x时， 1ff xx. 令 24,6,2g xf xxx ，则函数 g x的零点个数为（ ）A. 7 B. 8 C. 9

10、D. 10【答案】B【解析】x0，1时，f（x）=4x，f（1）=4x（1，2）时，f（x）= 1f x=4 x，g（x）=2f（x）x4，x6，2，令 g（x）=2f（x）x4=0，5y=f（x）在 x6，2，y=1 2x+2 有 8 个交点，故函数 g（x）的零点个数为 8 个故选：B【名师点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 0f x ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间, a b上是连续不断的曲线，且 0f af b，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为

11、两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点例 4.已知函数 yfx的图像为R上的一条连续不断的曲线，当0x 时， 0fxfxx，则关于x的函数 1g xfxx的零点的个数为（ ）A0 B1 C2 D0 或 2【答案】A6【名师点睛】 （1）本题由于 fx解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。（2）所给不等式 0fxfxx呈现出 fx轮流求导的特点，猜想可能是符合导数的乘法法则，变形后可得 0xfxx，而 g x的零点问题可利用方程进行变形，从而与条件中的 xfx相联系，从而构造出 h x.例 5【2

12、019 届江西师范大学附属中学高三 4 月月考】定义域和值域均为, a a（常数 a0）的函数 yf x和 gyx大致图象如图所示，给出下列四个命题：方程 0fg x 有且仅有三个解；方程 0gf x 有且仅有三个解；方程 0ff x 有且仅有九个解；方程 0g g x 有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方程 0f t 有且仅有三个解； g x有三个不同的值，由于 yg x是减函数，所以有三个解，正确；方程 0gf x 有且仅有三个解；从图中可知， 0f t ，可能有1,2,3个解，方程7 0gf x 也可能有1,2,3个解，不正确；方程

13、 0ff x 有且仅有九个解；从图中可知， 0f t ，可能有1,2,3个解，方程 0ff x 最多九个解，不正确；因为方程 0g t 有且仅有一个解，结合图象 yg x是减函数，所以方程 0g g x 有且仅有一个解，正确，故选 C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质，函数与方程思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性例 6【2019 届【衡水金卷】 （二） 】已知函数 222f xxxxmxn，且

14、对任意实数x,均有33fxfx ，若方程 f xa有且只有 4 个实根，则实数a的取值范围（ ）A. 16,9 B. 16,9 C. 16,0 D. 16, 5【答案】A3,)（有两个零点，所以 g(t)-a 的图像在区间0,上有两个零点，所以由 g(t)的图像，可知-16a9.故选 A.点睛：本题解题用到了数学转化的思想，首先把方程 f(x)=a 有四个根，且 f(x)的图像关于直线 x=-3 对称，转化成函数 y=f(x)-a 的图像在区间3,)（有两个零点，再转化成函数 g(t)-a 的图像在区间0,上有两个零点.转化的思想是高中数学里最普遍的数学思想，在高中数学里最常见，特别是遇到较复

15、杂的问题，更应想到转化，把复杂的问题转化得简单，把不熟悉的数学问题转化成熟悉的数学问题，大家在今后的学习中要理解掌握和灵活运用.8例 7【2019 届【衡水金卷】 （四） 】已知函数 1 22( ,1 54,12x f x xxx ，若函数 g xf xmxm的图象与x轴的交点个数不少于 2 个，则实数m的取值范围为（ ）A. 1, 2 ln2,6304e B. 1,6304C. 1, 2ln2,6304 D. 1,6304【答案】A【解析】由题可知函数 g xf xmxm的图象与x轴的交点个数不少于 2 个，即为函数 y=f(x)的图像与函数 y=mx+m 的图像的交点个数不少于 2 个，由

16、于函数 y=mx+m 的图像过定点 P（-1,0） ，且斜率为 m,作出函数y=f(x)的图像如图所示， 可知0,630,m 又 x1.所以411,2,630,630.24mmmm 过点（-1,0）作1(2xy ）的切线，设切点坐标为00,xy，则0002 01 112ln,log1.122xx xex 此时，切线的斜率为2log111ln2 ln2.22e e 9故实数 m 的取值范围为, 2 ln2e .综上实数 m 的取值范围为 1, 2 ln2,6304e .故选 A.点睛：本题有两个难点,一个难点是要会通过数形结合分析出在什么情况下函数 g xf xmxm的图象与x轴的交点个数不少于

17、 2 个,找到三个极限位置.第二个难点是怎么利用导数和导数的几何意义求切线的斜率,要求对导数的知识比较熟练.例 8【2019 届广东省省际名校（茂名市）高三下联考（二） 】记函数在区间内的零点个数为，则数列的前 20 项的和是（ ）A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660【答案】A【解析】令，得或由得，令，得，故共有 n 个解，当 n 为奇数时，有个解，有个解，故有 n+1 个解，故令故故选：A 点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；10(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与

18、性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点例 9【2019 届【衡水金卷】 （一） 】定义在R上的函数 f x若满足： ,0AxR f axf ax，且 2f xfbx，则称函数 f x为“a指向b的完美对称函数”.已知 yf x是“1 指向 2 的完美对称函数” ，且当1,2x时， 245f xxx.若函数 5yk xf x在区间3,7上恰有 5 个零点，则实数k的取值范围为（ ）A. 2 22,1B. 2 22,1 C. 2 22, D. 0,2 22【答案】B

19、时， 224x521f xxx，当5x7时， 22f 4x6112x37f xxx .由 yf x得对称中心为1,0，周期为 4，可得 yf x的对称中心为5,0，即yk5x与 yf x均关于5,0点对称，结合 yf x的图象关于1,0点对称及关于直线x2对称，可画出 yf x在区间1,7上的图象，如图所示：因为 50f，直线yk5x过5,0点，故若函数 yk5xf x在区间3,7上恰有 5 个零点，则只需yk5x与 f x在区间5,7上有两个交点，设直线yk5x与曲线11 212x37 57f xxx的切点为00xy，则 0 0k212xfx,故切线方程为：000y212yxxx.因为点5,

20、0在切线上，所以2 00001237265xxxx，解得052x 或052x （舍去） ，此时k2 52122 22,又当直线yk5x过点7,2时，k=1.故由图，可知实数 k 的取值范围为2 22,1故选：B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解例 10【2017 课标 1，理 21】已知函数2( )(2)xxf xaeaex.（1）讨论( )

21、f x的单调性；（2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论( )f x单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a按0a ，0a 进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ，( )f x至多有一个零点.若0a ，当lnxa 时，( )f x取得最小值，求出最小值1( ln )1lnfaaa ，根据1a ，(1,)a，(0,1)a进行讨论，可知当(0,1)a有 2 个零点，设正整数0n满足03ln(1)na，则0000 0000()e ( e2)e20nnnnf naannn.由于3ln(1)lnaa ，因此( )f x在( ln

22、,)a有一个零点.所以a的取值范围为(0,1).12【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数( )f x有 2 个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判 断ya与其交点的个数，从而求出 a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若( )f x有 2 个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于 0，且后面还需验证有最小值两边存在大于 0 的点. 【精选精练精选精练】1【2019 届北京市京源学校高三十月月考】函数 1xf xex零点所在的区间是（ ）A. 1 1,4 2B

23、. 1,12C. 31,2D. 3,22【答案】B13【解析】 1xf xex在0x 时是连续函数， 1202fe， 110fe ，由函数零点的存在性定理，函数 1xf xex的零点所在的区间为1,12，故选 B.2【2019 届陕西省咸阳市第二次模拟】函数 12xf xx零点的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】3【2019 届北京市汇文实验中学高三九月月考】函数 1,0 21,20xxf xcosxx的所有零点的和等于（ ）A. 1 2 B. 312 C. 1 D. 12【答案】A【解析】当0x 时， 10f xx ，解得1x 14当20x时， 210f x

24、cosx ，解得1 2cosx ，则3x ，或5 3x 则511 233 所有零点的和等于1 2故选A.4【2017 课标 3，理 11】已知函数211( )2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则a=A1 2B1 3C1 2D1【答案】C【解析】函数的零点满足2112xxxxa ee ，设 11xxg xee ，则 21 111 1111x xxx xxegxeeeee ，当 0gx时，1x ，当1x 时， 0gx，函数 g x 单调递减，当1x 时， 0gx，函数 g x 单调递增，当1x 时，函数取得最小值 12g，设 22h xxx ，当1x 时，函数取得最小值1 ，【名师点睛】函

25、数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 5【2019 届（衡水金卷）一】已知函数 ln (0)2mf xxmx m，若 f x恰有两个零点1x， 2x（12xx） ，则有（ ）15A. 121xxm B. 2 12mxxmC. 2 121xmx D. 2 121xmxm【答案】D【解析】当xm时， 102mfxx ；当xm时， 102mfxx ；作图如下：，因此 1ln01.2f mm mm 11101,.fmx

26、m 22 21 ln0,f mm mmxm m ，综上， 2 121xmxm，选 D.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.6【2019 届海南省高三第二次联合考】已知 f x为偶函数，对任意xR， 2f xfx恒成立，且当01x时， 222f xx.设函数 3logg xf xx，则 g x的零点的个数为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C7【2019 届贵

27、州省凯里市第一中学高三下学期黄金卷第二套】已知偶函数 4log,04 8,48xxf xfxx，且 8f xf x，则函数 12xF xf x在区间2018,2018的零点个数为（ ）A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008【答案】A16【解析】依题意，当48x时， 8f xfx对称轴为4x ，由 8f xf x可知，函数 f x的周期8T 令 0F x ，可得 12xf x 求函数 12xF xf x的零点个数，即求偶函数 f x与函数12xy 图象交点个数当08x时，函数 f x与函数12xy 图象有4个交点故选A.8【2019 届安徽省宣城市高三第二次调研】已知 x

28、f xxe，关于x的方程 220fxtf x (tR)有四个不同的实数根，则（ ）A. 2212,e e B. 221,e eC. 221, 2e eD. 221,e e 【答案】D【解析】由题意得 ,0 ,0x x xxexf xxexex.当0x 时， 0xxfxexe恒成立，即函数 f x在0,上为增函数.17当0x 时， 1xxxfxexex e ，令 0fx，得10x ，即函数 f x在1,0上为减函数，令 0fx，得1x ，即函数 f x在, 1 上为增函数.函数 f x在,0上有一个最大值为 11fe令 f xm，要使方程 220fxtf x (tR)有四个不同的实数根，则方程2

29、20mtm应故选 D.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用9【2019 届河北省定州中学高三下学期第一次月考】已知函数，则函数的零点个

30、数为（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】C【解析】令 f（x）=t 可得 f（t）=t+1作出 f（x）的函数图象如图所示：18设直线 y=kx+1 与 y=ex相切，切点为（x0，y0） ，则,解得 x0=0，k=1设直线 y=kx+1 与 y=lnx 相切，切点为（x1，y1） ，则,故选：C10【2019 高三二轮复习之测试专项】已知函数，关于 的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为_【答案】【解析】作出的图象如下：19【名师点睛】一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为

31、过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.11【2019 届河北省石家庄市高三一模】已知函数，若函数有三个不同的零点，（其中） ，则的取值范围为_【答案】【解析】如图：，作出函数图象如图所示 ，作出函数图象如图所示，由有三个不同的零点20，如图 令得12【2019 届重庆市高三 4 月（二诊） 】已知函数（，） （1）若在上单调递减，求 的取值范围；（2）当时，判断关于 的方程的解的个数【答案】 （1）；（2）只有一个解.【解析】试题分析：（1）根据在恒成立求解即可，求解时可选用分离参数的方法 （2）由题意可得即判断方程根的个数，令，利用导数可得存在，使得 时 单调递减，当 时单调递增，又，时，结合图象可得当，时，方程有一个解，即方程只有一个解试题解析：（1），由题意得在恒成立，即在恒成立，21设，则，在上单调递增，在上单调递减，令，则，令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 又，存在，使得 时， 单调递减；【名师点睛】利用导数研究方程根的方法：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最 小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思 想去分析问题，这样可以使得问题的求解有一个直观的整体展现22