2.1等式性质与不等式性质（原卷版）.docx

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1、2.1 等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意xwR,则x0 （x为正数）、x = 0或x0,0 = + /?0 ；两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a 0,b 0 =/? 0 ；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0,Z?0 = a x2 0 x = 0 x2 = 0.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数4、 b a-Z?0oab； av0oavb： a- = 0oa = b.对于任意实数。、b , ab, a = h , a 三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的 基础，也是证明不

2、等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分A. IB. OC. I5D. 164. （2022河南夏邑第一高级高二期中（文）若。是实数，2=行而+。，Q = Ja2 +6 + Ja2 +4 则巴Q的大小关系是（）A. QPB.C. PQD.由的取值确定21（2022重庆高三阶段练习）若“，都是非零实数，满足。力，且则下列不等 a b式一定成立的是（）A. tz-/?OB. a-b0D. a b力，cd,贝ij a-cb-d.若ab, PPJ acbeC.若 aZ?O, cd 0,则 geD.若 a b,则 a?/ d c6. （2022陕西西安高

3、二期末（文）a, b, c, d w R_,设S = + 三+，则下列判断中正确的是（）a+b+d b+c+a c+d+b d+a+cA. （）5IB. 354C. 253D. 1S2二、多选题A.若 abH()且a ：B.若0（）且c0,则比d. a2+b2+l2（a-2b-2） a + c a（2022广东佛山模拟预测）下列命题为真命题的是（）A.若ab , cd,则 a + c人 + d B.若ab, c d,则acC.若 a，则 （:26?也.若 4vO, c0 ,则 0cd ,则以 下不等式一定成立的是OA. c2 b-cC. acbdD. c d11. （2022安徽泾县高一阶段练

4、习）已知实数入组,4也满足0%生，04rqD. p|r三、填空题（2022.新疆.莎车县第一高二期中（文）设 = /7-6，c =瓜-&，则。， b , c的大小关系.12. （2022.全国高三专题练习）若x, yeRt设M 一2母+ 3_/7+），,则M的最小值为15.（2020.上海市晋元高级高一期中）给出下列命题若他0/）,则%, a bcd,则d；对于正数，力，若。，则240,且4+叼=/+%=1,记A = a.b+a2b2 , B = ayh2+a2b, , C = -,则A B、C按从小到大的顺序排列是四、解答题16. （2022河南濮阳市油田第二高级高二阶段练习（文）（1） d

5、 = x3 + /, b = x2y + xy2,其中x,），均为正实数，比较m8的大小：（2）证明：已知abc,且a + h + c = 0,求证：a-c b-c（2022湖南高一课时练习）回答下列问题：若心，且cd,能否判断与一4的大小？举例说明.（2）若方，且c，且cd,能否判断双与取的大小？举例说明.若a的 c 力 0 ,且 C ，/ 80,且。0,则若 6,且“，同号，c0,则（2022全国高一课前预习）某人有楼房一幢，室内面积共180落拟分割成大、小两类 房间作为旅游客房，大房间面积为184,可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房 间每间面积为15小，可住游客3人，每名游客每

6、天住宿费50元：装修大房间每间需要1000 元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有 不等关系的不等式.17. （2022安徽泾县高一阶段练习）（1）已知-2毁必r-y l,-l+3y 2,求3x-5y的取值 范围;（2）己知一桶食盐水中含有Mx0）克食盐,y（y0）克水,再在桶中添加切。”。）克食盐和，克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当X，）满足什么样的关系式时,食盐水的浓度变大？变小？不变？18. (2022北京石景山高一期末)若实数x,用满足北-川,则称“比2远离析.(1)若%比g远离1,求实数的取值范围；若?1, x+y =

7、2 ,试问：x与9+)?哪一个更远离?，并说明理由.基本性质有：(1)对称性：abbb, bc=a c(3)可加性：a b a + c b + c(c R)c0= ac be(4)可乘性：ab, c = 0 = ac = bec acb,cd =a + cb + d.(2)可乘法则：abO,cd 0=a-cbd 0可乘方性：a b 0, n w N* n an b 0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式。、h,可以作差a-后比较。-人与。的关系，进一步比较与的大 小. a-Z?0 0 ab； av0oavb；作商法：任意两个值为

8、正的代数式a、b,可以作商后比较幺与1的关系，进一步比较。与 b的大小. I o a ； bac,则ac （实质是不等式的传递性）.一般选择。或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比较两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1. （2022湖南衡阳市田家炳实验高一阶段练习）铁路乘车行李规定如卜.：乘动车组列车 携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mem.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为

9、a、1人 c （单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）A. a + b + c MC. a + b + c MD. a + b+ c 100x100AB.200 y + z 240 200 y + z 100x 100CD 200y + z240 200 v），+ z 300B. 80 + 20/300D. 80+ 20(n-l)300例4. （2022全国高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：（设糖水为。克，含糖为克，加入的糖为切克）.例5. （2022辽宁葫芦岛高一期末）社会实践活动是青年学生按照培养目标的要求，利用节 假FI等课余时间参与社会政治、经济、文化

10、生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学 生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本 路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际 问题的能力.某要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下 三个条件：男学生人数多于女学生人数；女学生人数多于教师人数；教师人数的两倍 多于男学生人数.若男学生人数为7,则女学生人数的最小值为:若男学生人数 未知，则该小组人数的最小值为.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.（2）用适当的不等号连接.（3）多个不等关

11、系用不等式组表示.题型二：作差法比较两数（式）的大小例6. （2022安徽高一期中）已知。x = /-b，y = a2b-a,则乂y的大小关系为（） A.x0,则下列不等式中一定成立的是（）2a+ b a一 a + 2b hb b+1,11,1A. B.a + b+ C.a + b+ D.a 。+1 a bb a例8. （2022新疆克孜勒苏高一期中）已知夕=/一1 , Q = 2x2-x，则。Q .（填或V”） 例9. （2022广西高一阶段练习）（1）比较3/一1+1与21+x 1的大小;(2)已知caZ?0,求证： . c-a c-b例10. (2022全国高一课时练习)己知且awbHc

12、,试比较ah(+/?)+be(/?+c) + ac(+c)马6abe 的大小.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11. (2022四川成都高一期末(文)若“，为实数，下列命题正确的是()A.若a)，则 a2 / B.若a b ,则 A b2C.若 a? b则 aD.若。例，则 a?/例12. (2022.陕西咸阳市高新高一期中)如果心0B. ac - D. a2 b, cd,贝!jacdB.若 ab ,则 ac心cC.若ab,则a-cb-cD.若a vb0,则J a b例14.(多选题)(2022湖北测试编辑教研五高一阶段练习)下列命题为真命题的是()

13、A.若一23,12,则Tea力)/，则abC.若a0,?b,cd ,则acbd【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧(I)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.题型四：利用不等式的性质证明不等式例15. （2022湖南高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：（1）若。，c。；若avO, -l/?0, cvdvO, ?0, -vbead, a h以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.例此（2

14、。22.全国.高一课时练习）若小（。+孙则品+房与若存在常数小使得不等式上+刍金K若存在常数小使得不等式上+刍金Ka + 2b 2a + b对任意正数”，恒成立,试求常数M的值，并证明不等式：MO=ab； a-b=O=a=b； a-bO=avb.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性 质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比较大小A.若 ac be ,则B.若ac = be ,

15、则a = C.若a，则一be2,则例20. （2022.内蒙古赤峰市元宝山区第一高一期中）若avbb2B.p/|/?|D. a ba-b a例21.（多选题）（2022.江苏.扬州大学附属高一期中）已知“方1, ceR,下列不等式中 正确的是（）c c11A. a-cb-cB. b D. b ,则 acZ?cB.若 a b ab0,则“ b, ,贝 iJa0,0v。 c-a c-ba b例23.（多选题）（2022贵州贵阳高一期末）下列说法正确的有（）A.若ab、c一dB.若a0,cvd0, IjllJacbc0,贝 ij ：D.a bc0,则7 a bb b+c例24.（多选题）（2022.

16、广东.深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（）A.若aZ?0,则，0,则+一 a ba + ni aC. ab01 则 a-/? aZD.若贝【方法技巧与总结】记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例25. （2020.广东.新会陈经纶高一期中）已知0。4, 0,v6,则2x-），的取值范围是例26. （2022徐州市第三十六（江苏师范大学附属）高一阶段练习）已知2”3,-2k-1,则的取值范围为例27. （2022吉

17、林延边高一期末）已知-1/?4,则的取值范围是（）A. -76z-2Z?4B. -6a-2b9C. 6a-2b9D. -2a-2bS例28. （2020.浙江台州高一期中）已知且 +勃+女=0,则2的取值范围是 a例29.（多选题）（2022.新疆.乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x,满足-3x+2y2,-l2x-y4,则（）A. -1 x2B. -2 y 1C. -3x+.y 3D. -x-y3例30. （2022四川省泸县第二模拟预测（文）已知外 cR且满足,则4 + 2万的取值范围是例 31. （2022福建）！门市国祺高一期中）若一la+b3, 2a-b0, .-4ba-c-b

18、4a-c5b,则一的取值 b范围是.X例33. （2022湖北车城高中高一阶段练习）（1）已知2Vx3, 2y3,求不一丁和一的 y取值范围；(2)已知2vx+yK4, -x-y3,求3x+y的取值范围. 例34. （2022湖北武汉市钢城第四高一阶段练习）设27, 1。2,求a+3。，2a-b ,；的范围.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与己知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算， 求得待求的范围.如己知20Vx+yb-cB. acbcC. OD. （a -b）c2 0 a-b（2022.宁夏银川高二期中（理）已知且则下列不等式中一定成立的是 （）A. - be a bC. a2 /rD. （a-b）c2 02. （2022湖北随州市曾都区第一高一阶段练习）己知实数x, 满足-lx+），3,