第05讲 复数(精讲+精练）（教师版）.docx

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1、第05讲复数（精讲+精练）目录第一局部：知识点精准记忆第二局部：课前自我评估测试第三局部：典型例题剖析高频考点一：复数的概念高频考点二：复数的几何意义高频考点三：待定系数求复数z =初高频考点四：复数的四那么运算第四局部：高考真题感悟第五局部：第05讲复数（精练）对于，鬲=(。/)，.鬲2=/+从，|成了 =/+匕2,故正确；对于,OZ2 = (c, J),：, OZOZ； = ac + db ,/J O OZ21= J(ac + bd)2 = Jd +C2d2 + 2acbd ,0Z-0Z=y/a2 b2 -Vc2+J2 =V6z2c2+2+/72c2+Z?2J2 ,.西里国鬲|应I，故错误

2、.故正确的为：，共2个.应选：B.6. (2022 全国模拟预测)点4(2,-1), 5(1,2), 0(0,0),复数4 , z?在复平面内对应的向量分别是次,丽，那么复数ZZ2=()A. 3iB. 3 + 4iC. 4 + 3iD. 4-3i【答案】C解：依题意知 4=2 i, z2=l + 2i,于是 z/Z2=(2 i)(l + 2i) = 2 2i2i + 4i=4 + 3i,应选：C.7. (2022 重庆巴蜀中学高三阶段练习)假设复数z满足|z-l + i区6 (i为虚数单位)，那么复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为.【答案】3不妨设复数 z = x+yi,那么 |z

3、1 + i 区 G，即 |(xl) + (y + l)i|G,那么(x-l+(y + l)20恒成立，此时log3综上得：log32 913 1+3mA? + m + I的取值范围为R.故答案为：R.高频考点三：待定系数求复数z1.（2022河南模拟预测（理）后2z = 2 5i，那么=（A.2-iB. 2 + iC.2iD. -2+i【答案】Btz = 4z + M（6z,/?gR）,那么=_折.由3（Q_bi）_2（Q + bi） = 2_5i得a_5/?i = 2_5i ,那么a = 2-5b = -5,所以2,应选：B.2.（2022山西临汾二模（理）设2（z + R 3（z 5） =

4、 4 + 6i,贝lj z =（A.l + 2iB. l-2iC.D. 1-i【答案】D解：设2 =+，Cl、b为实数,那么2 =-63于是 2（z + 彳）一 3（z - 彳）=2（a + b+a 一 bi） - 3（a + Z?i - q + Z?i） = 4q - 6bi=4 + 6i4a=4y所以a = 1I,贝1.应选：D3. （2022,广东江门模拟预测）复数2的共柜复数是5,假设25 z = li,那么|z|=（A. 1c. 72D.叵3【答案】B 设复数 z = Q + i, a,bwR,那么（ = a-bi，因 2彳一z = l-i,即 2（。一历）-（a +1i） = l-

5、i,即a-3历= l-i,那么即a-3历= l-i,那么a = 111-3-1,解得以=针因此，z = l+/所以 |z|=J12+(；)2=应选：B4. (2022河南模拟预测(理)复数z满足|z-i| = 2, 5为z的共钝复数，那么z七的最大值为()A. 1B. 4C. 9D. 16【答案】C设 2 = %+川艮teR), 那么 z-i=x+yi-i=x+(y-l)i ,由|z i| = 2,得也2+(y i=2,即/+(),_)2=4,所以z所对应的点(x,y)的轨迹是以(0,1)为圆心2为半径的圆，因为乞为z的共辗复数，所以z = x-yiBP z - z = x2 + j2,而Z

6、.彳= /+y2可看作该圆上的点Jy)到原点的距离的平方，所以(Z Lx = (-0)2+(0-3)2)2 = 9.应选：C.5.(2022重庆高三阶段练习)复数z满足|z-i卜1,复数2的共辆复数为N,那么同的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B令2 =1+夕，x, y e R ,那么|zi| = l表示与(0,1)距离为1的点集，即2+(y_i)2=,此时，同表示圆月 +(-y-Ip =1上点到原点距离，所以同的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1,且半径为1,所以圆上点到原点的最大为2.应选：B.高频考点四：复数的四那么运算1. (2022 四川南充

7、二模(文)复数 z = (l + )(四-i),那么 |z|=()A. 4B. 2百C. 3D. 272【答案】c由题意，z = (l + V2i)(V2-i) = V2-V2i2+2i-i = 2V2+i故|z| 二 J(242+产二3应选：C2. （2022湖南沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足z（2-。人?,那么以下说法正确的选项是（）A.B.5 5C. z的虚部为一D. z在复平面内对应的点在第三象限【答案】D由 z(2-i) = i2022 =i2000 .i2=-l由 z(2-i) = i2022 =i2000 .i2=-l-(2 + i) 一 2 1 1(2-i

8、)(2 + i)5 52“铮+（-孩=* A错;-2 1._2 = - + -i, C 错；z的虚部是-!，c错；21Z对应点坐标为（-5，-力，在第三象限，D正确.应选：D.3. （2022陕西西安中学二模（文）假设复数2 = 12。22+学普，那么5的虚部为（3-414 B.一C.D.2.15因为Z = i2022+l| =皿。23-41【答案】A+ 上=-1+ 5(3 + 旬-旱j3-4i(3-4i)(3 + 4i)5 52 4.=+ 1.5 52 44所以z=_k，故彳的虚部为一应选：A4. （2022全国模拟预测）过& = -l + 3i （i为虚数单位），那么复数z在复平面对应的点

9、在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D3 + 2i3 + 2i（3 + 2i）（-l-3i）311由条件 = l + 3i可得2 =I A 二 解得复数Z在复平面内对应的点Z-1 + 31 （-14-31）（-1-31）10 10（310为77?一高在第四象限.y 1 U 1 U y应选：D.5. （2022全国高三专题练习），bwR , i是虚数单位.假设a + i = 3-bi,那么（。-（）A. 10 + 6iB. 10 + 6iC. 8 + 6iD. 9-6iE. 8-6i【答案】B因 a + i = 3-bi, a, bwR,那么有。=3/ = -1,所以。_

10、疝)2 =(-l-3i)2 = (-1)2 + (-3i)2 + 2(-l)(-3i) = -8 + 6i.应选：B6.(2022重庆十八中高一阶段练习)设复数4 , Z2满足=1,八| = 2, 4Z2=l +，那么)+Z2 【答案】布解：因为 Z z2 = 1 + V2i,所以 Z1 z? = Ji? +，又=1, |z2| = 2,所以Z Z?2/ =(Z z? J Z - z2 = Z Z + z2 -2 - Z z? Z2 Zj Z2+|z2|2-z1z2-z2z1=3 ,所以 4 Z2 + Z2 4 = 2 ,所以2+z2 r =(Z +Z2” +Z2 =|zj +22+4Z2 +

11、 Z2 Z, =7,所以 k +Z2I=V7,故答案为：yjl .同7. （2022上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，以下命题中为真命题的序号是假设 4-2 0,那么 ZZ2；假设(Z_Z2)2+(Z2Z3)2 = 0,那么4=Z? = Z3 ; | 4 - Z2 | = J(马 + Z2 -； Z；=Z；,那么 Z|.4=Z2Z； Z；=Z；,那么 Z|.4=Z2Z； 2Z1Z20,但Z与Z2不能比拟大小所以不正确设 4=l + i, z2 = 1 , z3 =0那么（Z1_zj+（Z2_Z3）2 =0所以不正确设 Z = 1 + 2/, z2 = 1 + i那么L _Z21 =|

12、i| =1, 5/（z,+z2）2-4z1z2 = J（zZ2）2 = Q = i所以不正确设 Z = % +bj , z2 = a2 +/?2i那么 z； =（4 +3）2 =（a； _6）+ 2册,z； =（a2 +砥）2 =（q； -a） + 2gaiZ； = z； nZ； = z； na： = a； - b；2噌=2a2b2=（；_ b； Y + 4a； b； = （； b；+二（以；+牙）2=+优）2n q； + b； = q； + 层= Z1 Z = z2 z2当 4=l + i, Z2=l-i时，2ZjZ2 = 4 , z；+z；=O22仔2 z； + z；所以不正确如果两个复数

13、是实数，差值也是实数，所以不正确设Z = Q+初（，beR）,那么 z + i = Q + e + l）i , z-i = 6z + （Z?-l）iz+i| = |z-i| n 不/ + （b + if =+（Z?-1）2 = = O所以正确故答案为：（2022上海复旦附中高二期末）对任意复数小.叫定义叫*暝=叫记淇中值是叼的共轨复数.对任意 复数Z|.Z2.Z3,有如下四个命题：（4 +Z2）*Z3 =（Z *Z3）+（Z2 *Z3）; 4 *（Z2+Z3）=（Z1*Z2）+ （Z1 *马）；（4 *Z2）*Z3 =4 *伍*Z3）;4 *Z2 = Z2 * Zj .那么真命题是 （填写命题

14、的序号）【答案】(Z +Z2)*Z3 =(Z +z2)z3 = Zj z3 + z2z3 =(Z *z3) + (z2 *z3), 正确； Z (z2+z3) = zl XZ2+Z3 = Zj (z2 -F z3) = z2-I-zl z3 =(zl *Z2) + (Zj *z3)， 正确；(z, *z2)*z3 =(ztz2)z3 = zlz2z3，Z *(z2*z3) = zt *(z2z3) = ztz2z3 = ztz2z3 zlz2z3，错误； zz2=ziz2 Z2Zj = z2 , 错误.故答案为.点睛：此题考查新定义问题，解决创新问题的关键是通过新定义(此题是新运算)这个载体把

15、新问题进 行转化，转化为我们已经学过的，已经掌握的知识、方法，运用已经学过的运算法那么进行检验.此题只要 把新运算”转化为复数的乘法运算，然后进行检验即可.第四局部士高考真题感悟(2021 江苏高考真题)假设复数z满足(l + i)z = 3-i,那么z的虚部等于()A. 4B. 2C. -2D. -4【答案】C假设复数z满足(l + i)z = 3 i,贝I3-i =(3-i)(l-i)所以z的虚部等于一2.应选：C.1. (2021 全国高考真题)复数二在复平面内对应的点所在的象限为()1-31A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A2-i(2-i)(l + 3i) 5

16、+ 5i 1 + i 加 n、力后%g 日钻上班C 1)=- -=，所以该复数对应的点为不彳，l-3i 1010212 2)该点在第一象限，应选：A.2. (2021 北京高考真题)在复平面内，复数z满足(l-i)z = 2,那么2=()A. 1A. 1C. 1-zD. 1 + z【答案】D由题意可得:由题意可得:2 _ 2(1 + /)2(14-/)应选：D.3. （2021 全国高考真题）z = 2i,那么z（N + i）=（A. 6-2iB. 4-2iC. 6 + 2iD. 4 + 2i【答案】C因为z = 2 i,故W = 2 + i，故z+ i） =（2 i）（2 + 2i）=4+4

17、i 2i 2/=6 + 2i 应选：C.4. （2021 全国高考真题（文）（1-i）2z = 3 + 2i,那么2=（）C.C.D.33A. 1iB. 1Hi2 2【答案】B（1-z）2z = -2/z = 3 + 2z,3 + 2i （3 + 2i）i 2 + 3，, 3 .z = -l + -z-2i-2i - i 22应选：B.6. （2021全国高考真题（理）设2（z + 3 + 3（z 7） = 4 + 6i,那么2=（）A. 1 2iB.1 + 21C.l + iD. 1 z【答案】C设2 = + 4，那么之=4一历，J2（z + z） + 3（z z） = 4 + 6bi =

18、4 + 6i,4q = 4所以，I rzJ解得。= b = l,因此，z = l + i,6b = 6应选：C.7. （2021 浙江高考真题）。丸（1 +洲，=3 +，（，为虚数单位），那么。=（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】C（l + ai）i = iai2=i-a = -a + i = 3 + i,利用复数相等的充分必要条件可得：一。=3,.。=-3.应选：C.9 + 2i（2021天津高考真题）i是虚数单位，复数丁一 =.2 + 1【答案】4-i9 + 2i_（9 + 2i）（2-i）_20-5i_4 .2 + i -（2 + i）（2-i） - 5 - T故答案为：4

19、-i.第五局部：第05讲复数（精练）一、单项选择题（2022河北省唐县第一中学高三阶段练习）（l + iz = 2 + 4i3,那么2=（）A. -2-iB. -2 + iC. 2-iD. 2 + i【答案】A由（l + i）2z = 2 + 4i3,有 2iz = 24i,可得 2 =匕& =上老二2 i -1应选：A（2022辽宁抚顺一模）假设复数z满足（3-4i” = -l + i（i为虚数单位），那么复数z的共粗复数2=（）7 iA.5 5B.2525D.7 i125 25【答案】D-1 + i _ （-l + i）（3 + 4i） _ -7-i _ 7 i 3-4i-（3-4i）（3

20、 + 4i） 25 2525所以z =7 i1.25 25应选：D1. （2022安徽高一阶段练习）假设复数z = （x2_100）+ （x-10）i为纯虚数，那么实数x的值为（）A. -10B. 10C. 100D. 一10 或 10【答案】A ,z为纯虚数，.ioo = o 同时xiowo x = 10, 应选：A2. （2022湖南常德一模）假设复数z满足z（l + i） = 2 + i,那么复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 由题意Z? = 2+对应点坐标为（U，在第四象限.1 + 1 （1 + 1）（1-1）22 22 2应选：

21、D.3. （2022河北高三阶段练习）复数z满足条件zW + z = 6 + 2i，那么z =（）A. y/5B. 2V2c.囱或2&D.百或指【答案】C设 z = x+yi（%,y eR）,贝 ljz = x-yi,所以，zz = x2 + y2,-/ 90f %2 + y2 4- x = 6x = 2 fjc = 1所以，zz + z= Y + V+x +w = 6 + 2i,那么 j,解得或7（y = 2y = 2y = 2故z = 2 + 2i或z = l + 2i,因此，忖=2/或应选：C.6. （2022河南高一阶段练习）在复平面内，。是原点.向量方对应的复数为且i,其中i为虚数单

22、位,22假设点A关于虚轴的对称点为 a 那么向量砺对应的复数的共辗复数为（）B. 1-i22C. -4- i22D. -1-i22【答案】C由题意，得A由题意，得A,B所以向量而对应的复数为-9当所以向量酝对应的复数的共筑复数为-+且i, 22应选：C.7. （2022河南洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标 平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如忖=|04，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.复数z满足回=2,那么|z-3-可的最大值为（）D. 9A. 3B. 5C. 7【答案】C|z| = 2, ,.z对应的点Z（

23、x,y）的轨迹为圆+= 4 ；,|z-3-4i|的几何意义为点Z（x,y）到点（3,4）的距.牛一3 闵而=，（。-3）2+（。-4）2+2 = 7.应选：C.8. （2022河南高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O, i为虚数单位，那么以下说法正确的选项是（）第一局部：知识点精准记忆1、复数的概念我们把形如 +儿,。力尺的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足/=-1 .全体复数所构成的集合 C = a + hia.b e R叫做复数集.复数的表示：复数通常用字母z表示，即z = +万，力其中的。与人分别叫做复数2的实部与虚 部.2、复数相等在复数集。=。+万|。,）氏中任取

24、两个数，c + di ,（ e/?）,我们规定a-ca + bi = c + dio4 .b = d3、复数的分类对于复数。+庆（。力尺），当且仅当人=0时，它是实数；当且仅当。= 6 = 0时，它是实数0；当bwO时,它叫做虚数；当。=0且时,它叫做纯虚数.这样，复数z = +初（。/氏）可以分类如下:实数（0=0）复数由物人八J纯虚数（。二。） 虚数（30）非纯虚数（。0）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义一一与点对应复数的几何意义1：复数z = a + bi（a,beR） 对应，复平面内的点Z （a, b） （2）复数的几何意义一一与向量对应复数的几何意义2：复数z = a + bi

25、（a,bwR） 一一对应，平面向量。2 =（/）5、复数的模向量。2的模叫做复数z = a + bi的模，记为| z |或|。+万|公式：za + bi=yla2+b2，其中。力 eR复数模的几何意义：复数z = a +初在复平面上对应的点Z（a力）到原点的距离；特别的，b = 0时，复数z = a +初是一个实数，它的模就等于|。|（的绝对值）.6、共甄复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共配复数；虚部不等于0的两 个共期复数也叫共辗虚数.A.假设同=1,贝ljz = l 或 z = iB.假设|z + l| = l,那么点Z的集合为以(1,0)为

26、圆心，1为半径的圆C.假设1(目(e，那么点Z的集合所构成的图形的面积为D.假设|z-l|=|z + i|,那么点Z的集合中有且只有两个元素【答案】C假设|z| = l,那么点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；假设|z + l| = l,那么点Z的集合为以(TO)为圆心，1为半径的圆，故B错误；假设1目血，那么点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和血为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合 所构成的图形的面积为%x(0)2 一xf =万,故C正确；假设|z-l| = |z+i|,那么点Z的集合是以点(1,0),(0,-1)为端点的线段的垂直平分线，集合中

27、有无数个元素，故 D错误,应选:C.二、填空题79. (2022新疆二模(理)复数z = + 2i, aeR,假设丁+ 1 3i为实数，那么”.1【答案】-3z a + 2i i- i(a + 2i) t _ zz */ +1 - 3i =f 1 - 3i =f 1 3i = 3 - (a + 3)i , / +1 -3i g Riii*(-i)i。+ 3 = 0 ,艮|J Q = -3 .故答案为：-3.10. (2022江苏南通模拟预测)复数z为纯虚数，假设(2-i)z = a-6i (其中i为虚数单位),那么实数。 的值为.【答案】-3因为复数z为纯虚数，所以设z=biS，O),b-a由

28、(2 i)z =。-6i n(2 i)-bi = -6in2历 + b = a 6inZ2,那么4，Z2均为实数；复数Z = -3i + l的虚部是L【答案】对于，因为z = 3 + i,113-i3-i3 i所以二百=（3 + i）（3-i）=7F = 丁a故正确；对于，复数集=实数集U虚数集，故正确；对于，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比拟大小，由4 马，得Z1, Z2均为实数，故正确；对于，复数z = 3i + l的虚部是-3,故不正确.故答案为：.12. （2022江西南昌高二期末（理）复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z +

29、 W = 4;乙：zi = 3;丙：2 = j 在甲、乙、丙三人陈述中，有且只 z 5有两个人的陈述正确，那么复数z=.【答案】2 + i#i + 2解：设 z = 4 + /?i,那么2 =。-齿，甲：由2 + 2 =4可得2=4 ,那么。=2,乙：由z,5=3可得：/+82=3,22222丙：由刍=可得二=，即= 所以/+/=5, z 5 zz5a +b 5假设。=2,那么/+/=4 +/=3,那么廿=t不成立，4 + /=5,那么 =1,解得6 = 1或1,所以甲，丙正确，乙错误，此时Z = 2 + i或Z = 2-i,又复数z对应的点在复平面第一象限内，所以z = 2+i,故答案为：2

30、+i.三、解答题（2022 福建厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）复数z在复平面内对应的点在第二象限，z=2,且 z + z = 2，求 z ；(2)复数z = 3上-(l + 2i)m-3(2 + i)为纯虚数，求实数机的值. 1 i【答案】(1) z = 1 +后；(2) -2(q2 _|_ _ 4解：(1)设2 = +力(/出，由题意每12a = -2,解得 q = -1, b = 6 , 二复数z在复平面内对应的点在第二象限，.=百，.z = -l + .(2)2m22根 2(1 +i)(l)(l + i)-(l + 2i)/7i-3(2 + i)m=3 - 2m 一(3 + 2m)i

31、因为z为实数，-3所以3 + 2m = 0,解得m- (2)因为是z的共粗复数，所以5 = 3 2m+ (3 + 2根)i,所以 5 4z = 629 + (10m + 15)i m6) + (m2 2m 3i ,由题意得77一：一；，解得加=一2 m-2/77-3013. （2022福建三明一中高一阶段练习）复数2=（m2一2加一3）+ （相2+加一2）,（相1 0,求2的值；（2）假设z是纯虚数，求z，的值.【答案】（1）m= 2（2）4或100因为z 0,所以zR,所以加2+加一 2 = 0,所以m=一2或根=1.当加=2时，z = 50,符合题意；当根=1时，z = YvO,舍去.综上

32、可知：m = 2.FT? FT7因为Z是纯虚数，所以2一二一八，所以根=-1或m=3,加一 +加一2 w。所以 z = 2i,或z = 10i,所以 z5 = 2ix2i = 4 或 z5 = 10ix（-10i） = 100,所以z-5=4或100.6 47771（2022安徽高一阶段练习）复数2 = 下一（根氏1是虚数单位）.1 + 1假设z是实数，求实数机的值；（2）设N是z的共初复数，复数4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数机的取值范围.33【答案】（1）机=5（2）加；乙乙因为复数5-4z在复平面上对应的点位于第一象限,3所以6机一90,同时106+150解得机 .2(2022

33、全国高一单元测试)设复数4、Z2满足ZIZ2+2iz2iz2+l = 0.右 Z、z?满足 z2 - Z = 2i,求 Z、z2 ；假设=6,那么是否存在常数3使得等式|Z2-4”=攵恒成立？假设存在，试求出攵的值；假设不存在，请说 明理由.【答案】Z=i、Z2=-i或Z=3i、z2 = -5i(2)存在，k = 3a/3【解析】由三4=2i可得：z2=-2i,代入方程得4 日2i) + 2iz2i伍 2i) + l=0,即 |zj2 2iZ3 = 0,令 4= + 方（么 beR），/+/?2_2i（a）一3 = 0,即（片+/勖一3）25=0 ,/+/2b-3 = 02a = 0/+/2b

34、-3 = 02a = 0，解得a = 0b = -l.4 = -i、Z2 = -i 或（=3i、z2 = -5i - 由得Z| = 2iZj 1 ,又团=6,：忤2 1=后, Z2 + 211I z2 + 211/. |2iz2 - 1 F = 3卜2 + 2i I?。|2z2 + i /=3*2 + 2i|2 ,.（2z2 +i）（2-i） = 3（z2 +2i）（-2i）,整理得+4iz2 -4iz2 -11 = 0BP z2z2 +4iz2 -4iz2 -11=0,所以Z2, + 4i） 4运（4i=27,故仁_旬伍+町=27,.4i|2=27,即上一剧=36，.存在常数2=30,使得等

35、式4-倒=左恒成立.(2)表示方法表示方法：复数z的共辄复数用三表示，即如果z = a + ，那么建7、复数代数形式的加法(减法)运算(1)复数的加法法那么设4=4 +历，z2 =c + di, (a,4c,dR)是任意两个复数，那么它们的和：4 + z2 =(Q + bi) + (c + di) = (a + c) + (c + d)i显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数(2)复数的减法法那么类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足： (c +力)+ (x + yi) = a + bi的复数% + yi叫做复数a + bi减去复数c+力的差，记作(a + bi)

36、-(c + di)实部相减为实部I I I(a+b/)(c+M =(a-c)+(bd)iI IT虚部相成为虚部注意：两个复数的差是一个确定的复数；两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值(1)复数的三角形式一般地，任何一个复数z = a + bi都可以表示成Ncosg + isin。)的形式,其中一是复数z的模；。是以x轴 的非负半轴为始边，向量无所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数z = a +比的辐角. NcosO + isin。) 叫做复数z = a +厅的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， +比叫做复数的代数

37、表示式， 简称代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”(2)复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2兀的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在06v2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值.通常记作照2,即0Wargz2 +zsin62),那么Z z2 = q 马cos(，+.) + isin(4 +%)简记为：模数相乘，幅角相加10、复数三角形式的除法设 Z = q (cos q + i sin q ) , z2 = z; (cos g + i sin g ), 且 4 w z2,因为弓(cos。2 +isin2)-

38、 cos(, -2) + isin( -02 = r (cosi +isin4), r24(cos+isin) r r z 、/所以根据复数除法的定义，有J . . J,- COS +isin .q (cos2+isin，2) r2 一、判断题 (2021 全国高一课时练习)对于复数2 =+为(/cR),假设 =0,那么z是实数；假设6w0,那么z是纯虚数( )【答案】错误当。=0日?时，Z是纯虚数，所以假设那么Z是纯虚数或者是非纯虚数，所以错误.故答案为：错误.2. (2021全国高一课时练习)3 + 4i的实部等于3,虚部等于4i()【答案】错误3 + 4i的虚部是4.故答案为:错误.这就

39、是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模数相除，幅角相减第二局部：课前自我评估测试3. （2021全国高一课时练习）自然数是有理数，但不是复数（）【答案】错误自然数是复数，故答案为：错误.二、单项选择题. （2022云南昆明一模（文）复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,那么（）A. -2 + iB. 2 + iC. -2-iD. 2-i【答案】D依题意 z = l + 2i,W = 1 2i,Ji = （1 2i），= 2 i.应选：D. （2022 内蒙古赤峰二中高二期末（文）复数z = l + m-且

40、z在复平面内对应的点在第二象限，那么实数团的值可以为（）A. 2B. 一2C. -1D. 0【答案】B解：当z在复平面内对应的点在第二象限时，1 + m 0那么有0应选：B.1 .（2022 浙江杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设z = -3 + 2i,那么在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B= 3 + 2i对应的点为（3,2）,在第二象限.应选：B（2022 福建省长汀县第一中学高一阶段练习）i为虚数单位，假设复数z = l-Gi,那么|W=（）A. 72B. 2C. 4D. 8【答案】Bz = Jl + 3 = 2.应选：B（2022重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数l + 2i与3 + 4i在复平面内分别对应向量酝与丽，那么网=（）A. 2B. 2V2C. 4D. 8【答案】B记 4 = 1 + 2i , z7 =3 + 4i ,那么 z2 4 = 2 + 2i, | AB| = |z9 zj = 2/2 .应选：B.第三局部：典型例题剖析高频考点一：复数的概念1.（2022 贵州毕节模拟预测（理）5是复数z的共加复数，假设3（z + 2）+ 4（z彳） = 9 + 8i,贝ljB. V2C. 272【答案】B设z = Q+/?i,(QR,R),