“三点定型”法在相似证明中的应用.pdf

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1、三点定型法在相似证明中的应用在相似这一章中,比例式和等积式的证明是本章的重点和难点.我在平时教学中发现用横看、竖看加三点定型法与适当变形做这类题比拟简单,现分三类举例如下.思想方法如：欲证ABEF BCBE,即只需证的比相等.可知：欲证ABBC.而我们都知道：相似三角形对应边BEEFABBC横看,定出两个三角形：ABC 和BEF.接下来,只需证明这两个三角BEEF形相似即可！假如通过横看,找不到三角形,这时,也可以竖看,找三角形！这就是横看、竖看三点定型法.一类：直接利用一类：直接利用 横看、竖看横看、竖看 加以加以 三点定型三点定型例：ACB=900,CDAB.求证：AC2=AD AB射影定

2、理分析：要证 AC2=AD AB,可先证ACAB,这时横看定出：ADAC和.即证；聪明的你,也可以试一试竖看！针对此题：你也可以自行证明：1DC2=AD DB；2BC2=BD AB.二类：当二类：当 横看、竖看横看、竖看 三点定型找不到三角形时三点定型找不到三角形时,假如有相等的线段时假如有相等的线段时,可用相等的线段替换可用相等的线段替换.例1，；AD 平分BAC,EF 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于 F.求证：DF2=BF CF分析：直接证DF2=BF CF,通过横看、竖看 加以三点定型DF=AF,可改证 AF2=BF CF,即证AFCF,这时用横看、竖看 加以三点定型定出：BFA

3、F需证ABFCAF.例2，；在 RtABC 中,A=900,四边形 DEFG 为正方形.求证：EF2=BE FC分析：要证 EF2=BE FC,可证EFFC,这时我们横看、竖看 加以三点定BEEFDEFC即可.再用横看、竖看BEFG型B、E、F、C 都在同一直线上,不能确定两个三角形.但在图形中有相等的线段DE=EF=FG,这时用相等的线段去替换即证加以三点定型的方法确定证BDEGCF 从而完成证明.三类：既不能直接用三类：既不能直接用 三点定形三点定形,又没有相等的线段可以替换时又没有相等的线段可以替换时,可以找中间比可以找中间比或中间量来转化搭桥或中间量来转化搭桥,充分表现了转化的思想在数

4、学中的应用充分表现了转化的思想在数学中的应用.例 1,：梯形 ABCD 中,AD/BC,AC 与 BD 相交于 O 点,作 BE/CD,交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2=OA.OE分析：要证 OC2=OA.OE,这时我们横看、竖看 加以三点定型发现 O,C,A,E 在同一直线上,并且没有相等的线段可以替换,怎么办呢？这时,我们可以寻找或做平行构造A 型图、X 型图转移比例式,再三点定型,找三角形.即：AD/BC 可证OCOB,用横看、竖看定出 OBCODC,然后再证OAODOBOE,用同样的方法确定证OBEODC 相似即可.ODOC例 2,：BD、CE 是ABC 的两个高,DGBC,与

5、 CE 交于 F,GD 的延长线与 BA 的延长线交于 H.求证：GD2=GF GH分析：要证 GD2=GF GH,这时我们发现 G、D、E、F 在同一直线上,并且没有相等的线段可以替换,这时,我们可以转移待证的某个积式,再化为比例式进展三点定型,找三角形.即利用射影定理得出 GD2=BG CG,从而把原.题转化为证 BG CG=GF GH,再用横看、竖看 加以三点定型确定证BGHFGC 相似即可.通过上述的分析,相信聪明的你可以完成完整的书写过程！练习1.如以下图,在等腰直角三角形 ABC 中,ACB90,ACBC,点 M 在 AC 上,点 N 在 BC 上,将CMPAABC 沿着 MN 翻

6、折,使得点 C 落在 AB 上的 P 点.求证：.CNPB三点定型后互补不相似构造垂直结构构造一线三等角作平行构造 A 型图、X 型图2.建立模型如图,在 ABC 中,点 P 为边 AB 上一点,假如ACP=B,求证：AC=APAB；模型应用如图,点 D 在线段 BC 上,DA 为射线,点 E 为线段 DA 延长线上一点,连接BE,EC,且BED=ACD,设 AC=a,AD=b,CD=c当 a=4,b=2,且 CD=2BD,求线段 AE 的长；如果 EBD 是以 ED 为腰的等腰三角形,试确定 a,b,c 之间的数量关系,并说明理由3.在Rt ACB 和 Rt AEF 中,ACB=AEF=90

7、,假如点 P 是 BF 的中点,连接 PC,PE特殊发现：如图 1,假如点 E,F 分别落在边 AB,AC 上,求证：PC=PE问题探究：把图 1 中的 AEF 绕着点 A 顺时针旋转如图 2,假如点 E 在 CA 的延长线上,如此的结论是否还成立？假如成立,请证明；假如不成立,说明理由；如图 3,假如点 F 在边 AB 上,如此的结论是否还成立？假如成立,请证明；假如不成立,说明理由；4.如图,在等腰ABC 中,ABAC=2 2,BAC90,F 为 BC 中点.动点 D 在线段 CB 上从 C 出发以每秒 1个单位长度向 BAD,在 AD 的左侧作等腰 RtAED,AEDE,AED90.设点

8、 D 的运动时间为 t 秒.求线段 DE 的长度取值 X 围；证明：点 E 始终落在某一条固定直线上；连接 EF,设DEF 的面积为 S.求 S 关于 t 的函数关系式.1,在等腰ABC 中,AB=AC=5,BC=6.过点 A 作射线 AGBC,动点 F 从 B 出发以每秒 1 个单位长度向 A 运动,连接 CF,过点 F 作CFD=B 交射线 AG 于点 D.设点 F 的运动时间为 t 秒：问：点 D 的运动速度是否恒定？假如是,请求出速度；假如不是,请探索速度变化情况.设 S=S ADF,求 S 关于 t 的函数关系式,并求 S 的最大值.图 1 备用图四边形 ABCD 中,BADBCD=,ABCD=AD个性四边形,并称当=240,且个性四边形ABCD 是菱形时,求其个性值.当=180时,如图,求 BDAC 的值.ACBD为其个性值.ABCD.