陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.2.1 微积分基本定理教案 北师大版选修2-2.pdf

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1、2 2 微积分基本定理微积分基本定理课标要求了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（1 1）知知识识与与技技能能：了解微积分基本定理的含义(2)(2)过过程程与与方方法法：运用基本定理计算简单的定积分三维目标（3)3)情情感感态态度度与与价价值值观观：通过微积分基本定理的学习，提高理性思维能力本节的主要在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利教材分析用它来计算简单的定积分。学 生 已 经 在 高 一 学 习 了 物 理 中 的 匀 速 直 线 运 动 的 速 度 与 位 移 的 关系，并 且在前一节课通过学习了“已知物体的速度与时间的关系，求 其在一定时间内

2、经过的路程”，得到定积分的概念以及求法学生必然会提出：如 果每次求定积分都按“四部曲”求 解是一件很麻烦的事情利用学生的疑问，激 发他们的探究精神学习微积分基本定理以 学生现有学情分析的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分教学重难点难点：了解微积分基本定理的含义提炼的课题教学手段运用专家伴读教学资源

3、选择教学过程教学过程1微积分基本定理（一）（一）、复习：、复习：定积分的概念及用定义计算（二）（二）、探究新课、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为 S（t），速度为 v（t)（v(t)o),则物体在时间间隔T1,T2内经过的路程可用速度函数表示为T2T1v(t)dt.另一方面,这段路程还可以通过位置函数S（t）在T1,T2上的增量S(T1)S(T2)来表达，即T2T1v(t)dt=S(T1)S(

4、T2)而S(t)v(t)。对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有baf(x)dx F(b)F(a)若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在a,b上的定积分的方法。注：1:定理如果函数F(x)是a,b上的连续函数f(x)的任意一个原函数,则baf(x)dx F(b)F(a)证明:因为(x)=xaf(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故F(x)(x)=C(a x b）其中 C 为某一常数。令x a得F(a)-(a)=C，且(a)=aaf(t)dt=0即有 C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)(x)=F

5、(x)F(a)=令x b,有xaf(t)dtbaf(x)dx F(b)F(a)2此处并不要求学生理解证明的过程此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用F(x)|表示F(b)F(a)，即babaf(x)dx F(x)|ba F(b)F(a)该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题,转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的

6、影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。例例 1 1计算下列定积分：311(1）dx;(2）(2x 2)dx。1x1x1解：（1）因为(ln x)，x212所以dx ln x|1 ln2ln1 ln2。1x112(2）因为(x)2x,()2，xx33311所以(2x2)dx 2xdx2dx111xx131223 x2|1|1(91)(1).x332练习：计算10 x2dx32解：由于x是x的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有1313 1131312x|0=1 0=x dx=033331例例 2 2计算下列定积分：0sin xdx,sin xdx,sin xdx。022由计算结果你能发现什么结

7、论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(cosx)sin x，所以0sin xdx(cosx)|0(cos)(cos0)2，2sin xdx(cosx)|(cos2)(cos)2，2sin xdx(cosx)|0(cos2)(cos0)0。220可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0:(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 1.6 一 3），定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面3积；图 1。6 一 3（2）（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1.6 一 4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于

8、位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图1。6 一 5），且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积例例3 3 A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到 C 点的速度为 24m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车，经 ts 后,速度为（241。2t）m/s，在 B 点恰好停车，试求（1）A、C 间的距离;（2)B、D 间的距离；(3）电车从 A 站到 B 站所需的时间.分析：分析：作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v（t）（

9、v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即S S v v(t t)dt dta a b b略解：略解：（1）设 A 到 C 的时间为 t1则 1。2t=24，t1=20（s),则 AC（2)设 D 到 B 的时间为 t21则 241.2t2=0，t21=20（s），则 DB 20200 020201 1.2 2tdttdt 0 0.6 6t t2 2|0 0 240240(m m)20200 02020（24241 1.2 2t t）dt dt 0 0.6 6t t2 2|0 0 240240(m m)(3)CD=72002 240=6720（m）,则从 C 到 D 的时间为 280(s)，则

10、所求时间为 20+280+20=320（s)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法 微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸4张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果四：课堂小结：四：课堂小结：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式。成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！五课堂练习五课堂练习1定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义5