有理数基本概念绝版.pdf

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1、绵阳中学英才学校四初一期末复习之有理数有理数概念整理有理数概念整理班级：姓名：（一）有理数：（一）有理数：（1）整数与分数统称_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _按定义分类：按定义分类：按符号分类：按符号分类：_ _ _ _ _ _有理数零有理数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _注：正数和零统称为；负数和零统称为；正整数和零统称为；负整数和零统称为 .注意注意：都大于零，都小于零.“0”即不是，也不是 .（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其意义的量，如果负

2、数表示某种意义的量，则正数表示其意义的量.如：若-5 米表示向东走 5 米，则+3 米表示向走 3 米；若+6 米表示上升 6 米，则-2 米表示；+7oC表示零上7oC，-7oC则表示 .（4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数（二）数轴（二）数轴（1）概念：规定了、和的直线注：注：、称为数轴的三要素，三者缺一不可.（2）数轴的画法及常见错误分析画一条水平的；在这条直线上适当位置取一实心点作为：确定向右的方向为，用表示；数轴画法的常见

3、错误（3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意注意：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（三）相反数（1）相反数：只有的两个数互称为相反数特别地，0 的相反数是；若a与b互为相反数，则ab _ _，反之亦然.（2）相反数的性质：代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O 的相反数是 0相反数必须出现，不能单独存在例如+5 和互为相反数，或者说+5 是的相反数，5 是的相反数，而单独的一个数不能说是另外，定义中的“只有”指除以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开例如

4、+3 与3 互为相反数，而+3 与2 虽然不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的相等这两点是关于对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数a 的相反数是；这里以 a 表示任意一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式注意a 不一定是注意：注意：当 a0 时，a 0(正数的相反数是数)；当 a=0 时，a O(0 的相反数是 )；当 a0 时，a O(负数的相反数是 )互为相反数的两个数的和为，即若 a 与 b 互为，则 a+b=0，反之，若 a+b=O，则 a 与 b 互为多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可

5、以全部；一个正数前面有个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的 .（四）绝对值（四）绝对值（1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 .绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的与的距离.数 a 的绝对值记作 .注意注意：取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.绝对值具有性，取绝对值的结果总是 .任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如：5，符号是，绝对

6、值是 .（2）字母 a 的绝对值的分类_ _,(a o)_ _ _,(a 0)_ _,(a 0)_ _a _ _ _,(a 0)或a 或a _ _,(a 0)_ _,(a 0)_ _ _ _,(a 0)（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而 .步骤：计算两个负数的 .比较这两个的大小.写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为 .例如：若a b c 0,则a _,b _,c _知识点二：有理数运算知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（一）有理数比较大小同正：_ 大的数大两数同号同负：_ 大的反而小1、比较大小两数异号（一正一负）：_

7、 大于 _正数与 0：_ 大于 0其中有 0时负数与 0：_ 小于 02、数形结合利用数轴比较有理数大小。（二）有理数的加减法（二）有理数的加减法（1）有理数加法法则同号两数相加，取相同的，并把绝对值 .绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较大的减去较小的 .一个数同 0 相加，仍得 .（2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置，不变.即 a+b=b+a(加法律)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变.即(a

8、+b)+c=a+(b+c)（加法律）（4）有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为形式.带分数可分为与两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.相同的数可以先结合在一起.（5）有理数减法法则减去一个数，等于，即 a-b=a+()（6）有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注

9、意：注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，（三）有理数的乘除法（三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得 0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即 ab=（乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 abc=（乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即 a(b+c)=

10、（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于 0 的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为 .几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为 .在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.（4）有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的。即 ab=a (b0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.（5）倒数及有理数除法乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；求一

11、个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可（正整数可以看作分母为 1 的分数）。注意注意：a,b互为倒数，则ab _；a,b互为负倒数，则ab _。反之亦然.有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方（四）有理数的乘方（1）概念：求n个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在a中，a叫做，n叫做 .（2）含义：a中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，a表示有相乘.例如：3表示 33333，(-3)表示（-3）（-3）（-3）（-3）（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.如(-2)表示相乘，而-2则表示 7 个 2 相乘的积的。nn775nn

12、n5当 n 为奇数时，(-a)=；而当 n 为偶数时，(-a)=.注意：注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。正数的任何次幂都是，0 的任何次幂都是，任何不为 0 的数的 0 次幂都是 .（3）“奇负偶正”口诀的应用口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=，+（3）=.有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=，而（3）（2）6=.有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（3）=，（3）=.（

13、4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算_括号里的，再算括号里的，最后算括号里的.以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.（五）近似数、和科学记数法（五）近似数、和科学记数法（1）科学记数法：把一个大于 10 的数表示成的形式（其中_ _ a _ _ _，n是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=2105也是.（2）科学计数法 a 和 n 的确定：a 就是把原数的小数点移动过到左边第1 个不是 0 的数字后面所到的数；n 的值比原数的整数位少 1.23