高考热点问题和解题策略之探索性问题1.pdf

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1、二、探究性咨询题二、探究性咨询题近年来，随着社会主义经济建设的迅速开发，要求学校由“应试教育向“素养教育转化，培养全面开发的开拓型、制造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型咨询题随之产生。因此，探究性咨询题成了近几年来高考命题中的热点咨询题，它既是高等学校选拔高素养人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有制造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是看看、分析、回纳、类比、猜度、概括、推证的探究过程，其探究方法是学生应该学习和把握的，是今后数学教育的重要方向。一般地，关于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探究者通过看看、分析、回纳出结

2、论或判定结论的咨询题探究结论；或者虽给出了咨询题的明确结论，但条件缺少或未知，需要解题者寻寻充分条件并加以证实的咨询题探究条件，称为探究性咨询题。此外，有些探究性咨询题也能够改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决咨询题。探究性咨询题一般有以下几种类型：猜度回纳型、存在型咨询题、分类讨论型。猜度回纳型咨询题是指在咨询题没有给出结论时，需要从特不情况进手，进行猜度后证实其猜度的一般性结论。它的思路是：从所给的条件动身，通过看看、试验、不完全回纳、猜度，探讨出结论，然后再利用完全回纳理论和要求对结论进行证实。其要紧显示是解

3、答数列中等与 n 有关数学咨询题。存在型咨询题是指结论不确定的咨询题，即在数学命题中，结论常以“是否存在的形式出现，其结果可能存在，需要寻出来，可能不存在，因此需要讲明理由。解答这一类咨询题时，我们能够先假设结论不存在，假如推论无矛盾，因此结论确定存在；假如推证出矛盾，因此结论不存在。代数、三角、几何中，都能够出现此种探讨“是否存在类型的咨询题。分类讨论型咨询题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，寻出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的咨询题，或者情况多种的咨询题。探究性咨询题，是从高层次上考查学生制造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类咨询题的桥梁和

4、向导，通常需要综合运用回纳与猜度、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一咨询题的练习，以提高我们的思维能力和开拓能力。、再现性题组：、再现性题组：1.是否存在常数 a、b、c，使得等式122232n(n1)2bnc)对一切自然数 n 都成立？并证实你的结论。89 年全国理n(n 1)(an2128n8182，。Sn为其前 n 项和，求 S1、S2、S3、12323252(2n1)2(2n1)2S4，推测 Sn公式，并用数学回纳法证实。93 年全国理【简解】1 题：令 n1、2、3 代进明确等式列出方程组，解得a3、b11、c10

5、，推测 a、b、c 的值对所有的 nN 都成立，再运用数学回纳法进行证实。属因此否存在型咨询题，也可属于猜度回纳型咨询题(2n 1)2182448802 题：计算得到 S1、S、S、S，看看后推测 Sn，(2n 1)29225349481再运用数学回纳法进行证实。、示范性题组：、示范性题组：【例 1】明确方程 kx2y24，其中 k 为实数，关于不同范围的 k 值，分不指出方程所代表图形的类型，并画出曲曲折折线简图。78 年全国高考题【分析】由圆、椭圆、双曲曲折折线等方程的具体形式，结合方程 kx2y24 的特点，对参数 k 分 k1、k1、0k1、k0、k1、k1、0k1、k0、k1 时，表

6、示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上，a2，b当 k1 时，表示圆，圆心在原点，r2；2;k2当 0k1 时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x 轴上，a，b2；k当 k0 时，表示两条平行直线y2；当 k0 时，表示双曲曲折折线，中心在原点，焦点在y 轴上。所有五种情况的简图依次如下所示：yyyyyxxxxx【注】分类讨论型咨询题，把所有情况分类讨论后，寻出满足条件的条件或结论。y2【例 2】给定双曲曲折折线x 1，过点A(2,0)的直线 L 与所给双曲曲折折线22交于 P1及 P2，求线段 P1P2的中点 P 的轨迹方程；过点 B(1,1)能否作直线 m，使 m 与所给双曲曲折折线交于两点Q

7、1、Q2，且点 B 是线段 Q1、Q2的中点？如此的直线 m 假如存在，求出它的方程；假如不存在，讲明理由。81 年全国高考题【分析】两咨询都能够设直线 L 的点歪式方程，与双曲曲折折线方程联立成方程组，其解确实是基本直线与双曲曲折折线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。【解】设直线 L：yk(x2)y k(x 2)22222y2消 y 得(2k)x 4k x(24k)0 x 214k22k24kx1x22xp2代进直线 L 得：yp2k 2k 2k 22k2x 222y(x 1)k 2消 k 得 2x24xy20 即1124ky 2k2 2y2(x 1)2线段 P1P2的中点 P 的轨迹

8、方程是：1122设所求直线 m 的方程为：yk(x1)1y k(x 1)12y2消 y 得(2k2)x2(2k22k)x2kk230 x 212k2 2kx1x222k2k2 2代进消 y 后的方程计算得到：0，解得 ak124k4(k1)2，因此 nk1 时，结论也成立。综上所述，上述结论对所有的自然数n 都成立。设 cnbn1an1an114n 24n 212anan124n 24n 2212n 12n 1111(1)22n 12n 12n12n 111111b1b2bnnc1c2cn 1+()3352n12n 1112n 11lim(b1b2bnn)lim(1)1nn2n 1【注】这道题

9、求数列的通项公式，属于猜度回纳型咨询题，其一般思路是：从最简单、最特不的情况动身，推测出结论，再进行严格证实。第咨询对极限的求解，使用了“裂项相消法，设立新的数列cn具有一定的技巧性。此外，这道题第咨询数列通项公式的求解，属于给出数列中Sn与 an的函数关系式求an，对此类咨询题我们还能够直截了当求解，解答思路是由an1Sn1Sn的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发觉数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：an 21122由题意有2Sn，整理得到 Sn(an2)，因此 Sn1(an12)，288122an1Sn1Sn(an12)(an2)8整理得到(an1an)(an1an4

10、)0由题意 an0 能够得到：an1an40,即 an1an4数列an为等差数列，其中 a12，公差 d4，即通项公式为 an4n2。xn(xn2 3)【例 4】明确x10，x11，且 xn1(nN)，对照 xn与 xn1的大小。(863xn21年全国理)【分析】对照 xn与 xn1的大小，采纳“作差法，判不差式的符号式，分情况讨论。xn(xn2 3)2xn(1 xn2)【解】xn1xnxn3xn213xn21由 x10 及数列xn的定义可知，xn0，因此 xn1xn与 1xn2的符号相同。假定 x10；假设 nk 时 1xk20，那么当 nk1 时，1xk12xk(xk23)2(1 xk2)

11、321 0，因此对一切自然数 n 都有 1xn0,222(3xk1)3xk1即 xn1，当 n1 时，1x120；假设 nk 时 1xk20，那么当 nk1 时，1xk12xk(xk23)2(1 xk2)321 0，因此对一切自然数 n 都有 1xn0,222(3xk1)3xk1即 xnxn1。因此，对一切自然数 n 都有 xnxn1。【注】这道题对 1xn的符号的探讨，由于其与自然数 n 有关，考虑使用数学回纳法解决。一般地，探究性咨询题与自然数n 有关时，我们能够用回纳猜度证实的方法解出。、稳定性题组：、稳定性题组：1.设an是由正数组成的等比数列，Sn是前 n 项和。.证实：lgSn l

12、gSn20，使得lg(Sn c)lg(Sn2 c)0)，an2an1(n2，nN)。1 an1用 a 表示 a2、a3、a4；猜度 an的表达式，并证实你的结论。ABC 中，A、B、C 的对边分不是 a、b、c，Ay且 b、a、c 成等差数列，bc。明确 B(-1,0)、C(1,0)。求顶点 A 的轨迹 L；是否存在直线 m，使 m 过点 B 并与曲曲折折线 L 交BOCx于不同的两点 P、Q 且|PQ|恰好等于原点 O 到直线 m 距离的倒数？假如存在，求出m 的方程；假如不存在，讲明理由。7.如图，明确矩形 ABCD，PA平面 ABCD，M、N 分不是 AB、PPC 的中点。N 求证：MNAB；BMA假如平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为，能否确CD定，使得直线 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线？假如能确定，求出的值；假如不能确定，讲明理由。