盐城中学年高三第五次调研考试数学试卷及答案.pdf

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1、盐城中学年高三第五次调研考试数学试卷及答案 It was last revised on January 2,2021盐城中学盐城中学08-0908-09学年度第一学期高三年级第五次调研考试学年度第一学期高三年级第五次调研考试数学试题（理）数学试题（理）必做题部分（本部分满分 160 分，考试时间 120 分钟）一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分.不需写出解答过程不需写出解答过程,请把答案写请把答案写在答题纸的指定位置上在答题纸的指定位置上.1、已知向量a (1,1),b (1,1),c (2cos,2sin)(R

2、)，实数m,n满足ma nb c,则(m3)2n2的最大值为 .2、对于满足0 a 4的实数a，使x2 ax 4x a 3恒成立的x取值范围_3、扇形OAB半径为2，圆心角AOB60，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上，且OC 3则CD OB的值为4、已知函数f(x)sin2x，g(x)cos(2x)，直线 xt（t0,）与函数 f(x)、62g(x)的图像分别交于 M、N两点，则|MN|的最大值是5、对于任意实数x，符号x表示x的整数部分，即“x是不超过x的最大整数”在实数轴 R（箭头向右）上x是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时x就是x这个函数x叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实

3、践中有广泛的应用那么log21log22log23log24log21024=_.6、若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，则使得关于x的一元二次方程x22axb2 0有实根的概率为7、方程2sin cos在0,2上的根的个数8、y|log2x|的定义域为a,b,值域为0,2则区间a,b的长度ba的最小值为9、若数列 2an的通项公式为an 552n2 245n1(n N)，an的最大值为第 x 项，最小项为第 y 项，则 x+y 等于10、若定义在 R 上的减函数y f(x),对于任意的x,yR,不等式f(x22x)f(2y y2)成立.且函数y f(x1)的图象关于

4、点(1,0)对称,则当1 x 4时,y的取值范围 .x1 fx，则1 fx11、已知函数fx满足f1 2，fx1f1 f2 f3 f2007的值为 .12、已知函数f(x)2sinx在区间,上的最小值为2，则的取值范围是 .3 413、与圆 x2+y2-4x=0 外切，又与 Y轴相切的圆的圆心轨迹方程是14、设集合Sn1,2,3,n，若X Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为 0）。若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集。若n 4，则Sn的所有奇子集的容量之和为_ .二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6

5、 小题，计小题，计 9090 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明,证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内.15、在ABC 中，a，b，c为角，A，B，C 所对的三边，已知a2(b c)2 bc,（1）求角 A；（2）若 BC=23，内角 B等于 x，周长为 y，求y f(x)的最大值.16、已知圆 C:x2 y2 2x 4y 4 0,一条斜率等于 1 的直线 L与圆 C 交于 A,B两点(1)求弦 AB最长时直线 L的方程 (2)求ABC面积最大时直线 L的方程(3)若坐标原点 O 在以 AB为直径的圆内,求直线

6、L在 y轴上的截距范围17、在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC AA1 3a，BC 2a，D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF 2a（1）求证：B1F 平面ADF；（2）求三棱锥D AB1F的体积；（3）试在AA1上找一点E，使得BE/平面ADF18、某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价。假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：y与a x和x的乘积成正比；x 0 x t.其中t为常数，且t 0,1。2(a x)a时y a2；2（1）设y f(x)，试求出f(x)的表达式，并

7、求出y f(x)的定义域；（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值.19、数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n N*，总有an,Sn,an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，且bnlnnxan2，求证：对任意实数x1,e（e是常数，e271828）和任意正整数n，总有Tn2；（3）正数数列cn中，an1cn,(nN*)求数列cn中的最大项n120、设函数f(x)x2bln(x 1)，其中b 0.（1）若b 12，求f(x)在1,3的最小值；（2）如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在

8、最小的正整数N，使得当n N时，不等式lnn1n13恒成立.nn数学试题数学试题附加题附加题1、ABCD A1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱AA1 2，E是侧棱BB1的中点.（1）求证：AE 平面A1D1E；（2）问在棱 DD1上是否存在一点P，使平面 PBC1平面 AD1E，若存在确定 P 点位置，若不存在说明理由；A A1 1B B1 12、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部D D1 1C C1 1分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考E ED DC C试过程相互独立根据甲、乙、丙三个

9、同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是，能通过面试的概率分别是，A A（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；B B（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E()3、已知直线l的参数方程：x t（t为参数）和圆C的极坐标方程：y 12t 2 2sin()4（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系104、试求曲线y sin x在矩阵 MNMN 变换下的函数解析式，其中 MM=，N N0210=201参考答案参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70

10、分1、已知向量a (1,1),b (1,1),c (2cos,2sin)(R)，实数m,n满足ma nb c,则(m3)2n2的最大值为 16 .2、对于满足0a4的实数a，使x2ax4xa3恒成立的x取值范围(,1)(3,)_ _3、扇形OAB半径为2，圆心角AOB 60，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上，且OC3则CDOB的值为34、已知函数f(x)sin2x，g(x)cos(2x)，直线 xt（t 0,）与函数 f(x)、62g(x)的图像分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值是35、对于任意实数x，符号x表示x的整数部分，即“x是不超过x的最大整数”在实数轴 R（箭头向右）上x

11、是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时x就是x这个函数x叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么log21 log22 log23 log24log21024=_8204_.6、若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，则使得关于x的一元二次方程x22axb20有实根的概率为_2/3_7、方程2sincos在0,2上的根的个数 28、y|log2x|的定义域为a,b,值域为0,2则区间a,b的长度ba的最小值为9、若数列2an的通项公式为an55342n 2245n 1(nN)，an的最大值为第 x 项，最小项为第 y 项，则 x+y 等于 310、若定

12、义在 R 上的减函数yf(x),对于任意的x,yR,不等式f(x22x)f(2yy2)成立.且函数yf(x 1)的图象关于点(1,0)对称,则当1x4时,1y的取值范围,1 .2x1f x，则1f x11、已知函数f x满足f 12，f x 1f 1f 2f 3f 2007的值为 3 .12、已知函数f(x)2sinx在区间,上的最小值为2，则的取值范围是3 43(,2,).213、与圆 x2+y2-4x=0 外切，又与 Y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 y2=8x(x0)或 y=0(x0)14、设集合Sn1,2,3,n，若X Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的

13、数值即为它的容量，规定空集的容量为 0）。若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集。若n 4，则Sn的所有奇子集的容量之和为_7_ .二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。骤。15、在ABC 中，a，b，c为角，A，B，C 所对的三边，已知a2(b c)2 bc,（1）求角 A；（2）若 BC=23，内角 B等于 x，周长为 y，求y f(x)的最大值.解：（1）由a2(b c)2 bc得:a2b2c2 bcb2 c2 a21cos A 又0 A A 2bc23

14、（2）ACBCBC2 3,AC sin x sin x 4sin xsin xsin A3sin32BC22sinC 4sin(x)y 4sin x 4sin(x)2 3sin A33同理：AB 故x 5(,)故x x 时,ymax 6 366662316、已知圆 C:x2 y2 2x 4y 4 0,一条斜率等于 1 的直线 L与圆 C 交于 A,B两点(2)求弦 AB最长时直线 L的方程 (2)求ABC面积最大时直线 L的方程(3)若坐标原点 O 在以 AB为直径的圆内,求直线 L在 y轴上的截距范围解(1)L过圆心时弦长 AB 最大,L的方程为x y 3 0(2)ABC的面积S 19CAC

15、BsinACB sinACB,22当ACB=2时,ABC的面积 S 最大,此时ABC为等腰三角形设 L方程为y x m,则圆心到直线距离为3 22从而有|1 2 m|3 222m=0或 m=-6则 L方程为 x-y=0或 x-y-6=0(1)设 L方程为y x b由y x b2x2 y22x 4y 4 0 2x2 2(b1)x b 4b4 0()设A(x1,y1),B(x2,y2)则 A,B两点的坐标为方程(*)的解AB的中点坐标为 M(b 12,b 12)AB=2 9(|3b|22)由题意知:|OM|12AB b23b 4 0 4 b 117、在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC A

16、A1 3a，BC 2a，D是BC的中点，是C1C上一点，且CF 2a（1）求证：B1F 平面ADF；（2）求三棱锥D AB1F的体积；（3）试在AA1上找一点E，使得BE/平面ADF17、（1）证明：AB AC,D为BC中点AD BC，又直三棱柱中：BB1底面ABC,AD 底面ABC，AD BB1，AD 平面BCC1B1，B1F 平面BCC1B1AD B1F在矩形BCC1B1中：C1F CD a，CF C1B1 2aRtDCF RtFC1B1，CFD C1B1FB1FD 90，即B1F FD，ADFD D，B1F 平面AFD；-5分（2）解：AD 平面BCCV11B1DAB1FVAB1DF3S

17、B1DF AD =1315 2a32B1F FD AD 3；-10分F（3）当AE 2a时，BE/平面ADF证明：连EF,EC，设ECAF M，连DM，AE CF 2aAEFC为矩形，M为EC中点，D为BC中点，MD/BE，MD平面ADF，BE 平面ADFBE/平面ADF18、某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价。假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：y与a x和x的乘积成正比；x 0 x t.其中t为常数，且t 0,1。2(a x)a时y a2；2（1）设y f(x)，试求出f(x)

18、的表达式，并求出y f(x)的定义域；（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值.a18、解：（1）设y k(a x)x,当x 时y a2,可得k 4,y 4(a x)x22at定义域为0,，t为常数，t 0,11 2ta（2）y 4(a x)x 4(x)2 a222ata1a当时,即 t 1,x 时,ymax a21 2t2222ata12at当时,即0 t 时,y 4(a x)x在0,上为增函数1 2t221 2t1a从而当 t 1时，投入x 时，售价y最大为a2万元；2212at8at2当0 t 时，投入x 时，售价y最大为万元.221 2t(1 2t)19、数列an的各

19、项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n N*，总有an,Sn,an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，且bnlnnxan2，求证：对任意实数x1,e（e是常数，e271828）和任意正整数n，总有Tn2；（3）正数数列cn中，an1cn,(nN*)求数列cn中的最大项n119、（1）解：由已知：对于n N*，总有2Sn anan2成立2Sn1 an1an12（n 2）-得2an an anan1an1an an1an an1an an1an,an1均为正数，an an11（n 2）数列an是公差为 1 的等差数列又 n=1时，2S1 a1a12，解得a1

20、=1an n（n N*）-5 分（2）证明：对任意实数x1,e和任意正整数 n，总有bn1111111n 1n12231222n222lnnxan212nTn11111111 2 2 -10 分223n 1nn2（3）解：由已知a2 c1 2 c12，易得c1 c2,c2 c3 c4.猜想 n2 时，cn是递减数列令ln x 1,则1ln x 0，即f x 0.当x 3时，在3,内fx为单调递减函数由an1 cnn1知lncnlnn 1n 1n2 时，lncn是递减数列即cn是递减数列又c1 c2，数列cn中的最大项为c23320、设函数f(x)x2bln(x 1)，其中b 0.（1）若b 1

21、2，求f(x)在1,3的最小值；（2）如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N，使得当n N时，不等式ln20、解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(1,)，122x22x12 0，得x 2（x 3舍去），b 12时，由f(x)2xx1x1/n1n13恒成立.nn当x1,2)时，f/(x)0，当x(2,3时，f/(x)0，所以当x1,2)时，f(x)单调递减；当x(2,3时，f(x)单调递增，所以f(x)min f(2)412ln 3b2x22xb 0在(1,)有两个不等实根，（2）由题意f(x)2xx1x1/即2x22xb 0在(1,)有

22、两个不等实根，48b 01设g(x)2x22xb，则，解之得0 b；2g(1)0（3）对于函数fx x2ln(x 1)，令函数hx x3 f(x)x3 x2 ln(x 1)13x3(x 1)2则hx 3x 2x，当x0,)时，h/x 0 x 1x 1/2所以函数hx在0,)上单调递增，又h(0)0,x(0,)时，恒有hx h(0)01111(0,)，则有ln(1)23恒成立.nnnn111显然，存在最小的正整数 N=1，使得当n N时，不等式ln(1)23恒成立nnn即x2 x3 ln(x 1)恒成立.取x 附加题答案附加题答案1、ABCD A1B1C1D1是长方体，底面ABCD是边长为 1

23、的正方形，侧棱AA1 2，E是侧棱BB1的中点.（1）求证：AE 平面A1D1E；（2）问在棱 DD1上是否存在一点P，使平面 PBC1平面 AD1E，若存在确定 P 点位置，若不存在说明理由；（1）证明：ABCD A1B1C1D1为长方体，A1D1 AE又 E 是BB1的中点，且BE EB1 AB 1，A1E AE 2又AA1 2,在A1EA中,AE2 A1E2 AA1,A1E AE又 A1D1 A1E A1且A1D1,A1E 平面A1D1E AE 平面A1D1E2(2)P 为 DD1的中点时,使平面 PBC1平面 AD1E,证明(略)2、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，

24、考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是，能通过面试的概率分别是，（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E()解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试”则P(E)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)0.38-6 分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p 0.3，-9分所以

25、B(3，0.3)，故E()np 30.3 0.9-12 分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，则P(A)P(B)P(C)0.3所以P(1)3(10.3)20.3 0.441，P(2)30.320.7 0.189，P(3)0.33 0.027于是，E()10.44120.18930.027 0.93、已知直线l的参数方程：x t（t为参数）和圆C的极坐标方程：y 12t 2 2sin()4（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y 2x 1；-2 2(sin)即 2(sin cos)，4两边同乘以得2 2(sincos)，消去参数，得C的直角坐标方程为：(x 1)2(x 1)2 2-（2）圆心C到直线l的距离d|211|22122 52，5所以直线l和C相交-104、试求曲线y sin x在矩阵 MNMN 变换下的函数解析式，其中 MM=，N N0210=20125（选做题）（本小题满分 8 分）101012=2解：MNMN=020100，-2xx1x即在矩阵 MNMN 变换下 2，-yy2y则1y sin2x，2即曲线y sin x在矩阵 MNMN 变换下的函数解析式为y 2sin2x-