2019高中数学 第一章 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11 15 5 定积分的概念定积分的概念1 15 51 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1 15 52 2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程1 15 53 3 定积分的概念定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲” “以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)自 主 预 习探 新 知1曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积曲线梯形：由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图 151所示)求曲边

2、梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图 151所示)图 图图 151求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.2定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1

3、，xi上任取一点i(i1,2，n)作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这ni1ni1ba n个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxb ab a2.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分limnni1 ba nfi区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式思考：f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？b ab a提示由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、b a下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du

4、.b ab ab a3定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有： 图 152在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图 152所示，即f(x)dxS.b ab a在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图 152所示，即f(x)b ab adxS.若在区间a，c上，f(x)0，在区间c，b上，f(x)0，则Sf(x)dxf(x)c ab cdx，如图 152所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)b afxdxSASB(2)定积分的性质kf(x)dxk f(x)dx(k为常数)；b ab

5、 a3 f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；b ab ab af(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)b ac ab c基础自测1思考辨析(1)f(x)dxf(t)dt.( )b ab a(2)f(x)dx的值一定是一个正数( )b a(3) 2xdx 2xdx( )1 02 0答案 (1) (2) (3)2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值( )A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确C C 作近似计算时，xxi1xi很小，误差可忽略，所以f(

6、x)可以是xi，xi1上任一值f(i)3图 153 中阴影部分的面积用定积分表示为( )图 153A. 2xdx1 0B. (2x1)dx1 0C. (2x1)dx1 04D. (12x)dx1 0B B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为 2xdx 1dx (2x1)dx.1 01 01 04已知x2dx ，x2dx ， 1dx2，则 (x21)dx_. 1 01 32 17 32 02 0【导学号：31062080】解析 x2dx ，x2dx ， 1dx2，1 01 32 17 32 0 (x21)dxx2dxx2dx 1dx2 01 02 12 0 21 37 3 2.8 314 3

7、答案 14 3合 作 探 究攻 重 难求曲边梯形的面积求由直线x0，x1，y0 和曲线yx(x1)围成的图形面积图 154解 (1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点 ，把区间0,1等分成n个小1 n2 nn1 n区间：，0，1 n 1 n，2 ni1 n，inn1 n，nn简写作(i1,2，n)i1 n，in每个小区间的长度为 x .过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个i ni1 n1 n小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.5(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点i1 n，ini(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点

8、，用f(i)的相反数f(i)为其一边长，以小区间长度 x 为另一边长的小矩形对应(i1 n)(i1 n1)1 n的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif(i)x (i1,2，n)(i1 n)(i1 n1)1 n(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即SSi(i)xn i1n i1fn i1(i1 n)(i1 n1)1 n021222(n1)2012(n1)n(n1)1 n31 n21 n31 6(2n1)1 n2nn1 2.n21 6n21 6(1 n21)(4)取极限当分割无限变细，即 x趋向

9、于 0 时，n趋向于，此时趋向于S.从而有1 6(1 n21)S .limn1 6(1 n21)1 6所以由直线x0，x1，y0 和曲线yx(x1)围成的图形面积为 .1 6规律方法 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如6123n，nn1 2122232n2，nn12n1 6132333n32.nn1 2跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4 所围成的曲边梯形的面积. 【导学号：31062081】解 yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(

10、x0)与直线x0，y4 所围图形面积S阴影的 2 倍，下面求S阴影由Error!得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0 和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2n等分，则 x ，2 n取i.2i1 n(2)近似代替求和Sn 2ni12i1 n2 n122232(n1)28 n3.8 3(11 n)(11 2n)(3)取极限SSn .limnlimn8 3(11 n)(11 2n)8 3所求平面图形的面积为S阴影24 .8 316 32S阴影，即抛物线yx2与直线y4 所围成的图形面积为.32 332 3求变速直线运动的路程7已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度

11、为v(t)t22t(单位：km/h)，求它在 1t2 这段时间行驶的路程是多少？解 将时间区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为，1i1 n，1in在第i个时间段的路程近似为sivt ，i1,2，n.(1i n)(1i n)22(1i n)1 n所以snsi ni1ni1(1i n)22(1i n)1 n(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)2n1 n32 n21 n32n2n14n1 6nn12n162 n2nn12n 23 ，1 3(21 n)(41 n)1 6(11 n)(21 n)1 nssn limnlimn ，所以这段时间行驶的路程为 km.1 3(21 n

12、)(41 n)1 6(11 n)(21 n)31 n2 32 3规律方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲” “逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2一物体自 200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第 3 秒至第 6 秒之间的距离(g9.8 m/s2) 【导学号：31062082】解 自由落体的下落速度为v(t)gt.将3,6等分成n个小区间，每个区间的长度为 .3 n在第i个小区间(i1,2，n)上，以左端点函数值作为该33i1 n，33in区间的速度所以snv ni133i1 n

13、3 nni13g3g ni13 n 9g9gg.3ng3g n12n13 n9g n2nn1 29 2(11 n)所以ssn 9gg9.8132.3(m)limnlimn9g9 2g(11 n)9 227 28故该物体在下落后第 3 s 至第 6 s 之间的距离是 132.3 m.利用定积分的性质及几何意义求定积分探究问题1在定积分的几何意义中f(x)0，如果f(x)0，f(x)dx表示什么？b a提示：如果在区间a，b上，函数f(x)0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，由于 xi0，f(i)0，故f(i)xi0，从而定积分f(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的b a相反数，

14、即f(x)dxS或Sf(x)dx.b ab a2dx的几何意义是什么？2 04x2提示：是由直线x0，x2，y0 和曲线y所围成的曲边梯形面积，即以原4x2点为圆心，2 为半径的 圆的面积即dx.1 42 04x23若f(x)为a，a上的偶函数，则f(x)dx与f(x)dx存在什么关系？若f(x)为a，a上的奇函数，则f(x)dx等于多少？提示：若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值(1) 2dx；1 09(2)xdx；2 1(3) dx.1x2解 (1) 2dx表示的是图中阴影部分所示的长

15、方形的面积，由于这个长方形1 0的面积为 2，所以 2dx2.1 0 (2)xdx表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为 ，2 13 2所以xdx .2 13 2(3) dx表示的是图中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面积，其1x2值为，所以dx. 21x2 2母题探究：1.(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.1 01x2解 dx表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的圆的1 01x2的面积，其值为，1 4 4dx.1 01x2 42(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.1 01x12解 dx表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的 圆的

16、面积，其值1 01x121 410为， 4dx.1 01x12 43(变条件)将例 3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x)dx.1x2解 由定积分的性质得，(x)dx xdxdx.1x21x2yx是奇函数，xdx0.由例 3(3)知dx.1x2 2 (x)dx.1x2 2当 堂 达 标固 双 基1把区间1,3n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为( )A. B.1 n2 nC.D.3 n1 2nB B 区间长度为 2，n等分后每个小区间的长度都是 ，故选 B.2 n2定积分f(x)dx的大小( )b aA与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b以及i

17、的取法无关C与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关A A 由定积分的定义可知 A 正确3由ysin x，x0，x，y0 所围成图形的面积写成定积分的形式是_. 211【导学号：31062083】解析 0x， 2sin x0.ysin x，x0，x，y0 所围成图形的面积写成定积分的形式为 2sin xdx.答案 sin xdx4已知某物体运动的速度为vt，t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_解析 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值s1(1210)55.答案 555计算： (25sin x)dx. 【导学号：31062084】解 由定积分的几何意义得，2dx22.(3 22)由定积分的几何意义得，sin xdx0.所以 (25sin x)dx2dx5sin xdx2.