2019高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4.doc

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1、13.1.33.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(易错点)自 主 预 习探 新 知1二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin_cos_C2cos 2cos2sin2T2tan 22tan 1tan22余弦的二倍角公式的变形3正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .1 2sin 2 2sin (2)1sin 2(sin_cos_)2.基

2、础自测1思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( )(2)存在角，使得 sin 22sin 成立( )(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立( )解析 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ Z)且k(kZ Z)，故此说法错误 2 4(2).当k(kZ Z)时，sin 22sin .(3).当 cos 时，cos 22cos .1 32答案 (1) (2) (3)2sin 15cos 15_.sin 15cos 15 2sin 15cos 15 sin 30 .1 41 21 21 43 cos2_.1 2 82 co

3、s2 .241 2 81 21cos4 21 21 21 222244若 tan 2 则 tan 2_. tan 2 .4 32tan 1tan22 2 1224 3合 作 探 究攻 重 难给角求值(1)coscoscos的值为( ) 73 75 7A B1 41 4CD1 81 8(2)求下列各式的值：cos415sin415；12sin275；1tan275 tan 75. 1 sin 103cos 10【导学号：84352329】(1 1)D D (1)coscos，coscos，3 74 75 72 7coscoscoscoscoscos 73 75 7 72 74 78sin7cos

4、7cos27cos478sin7 .4sin27cos27cos478sin72sin47cos478sin7sin878sin71 8(2)cos415sin415(cos215sin215)(cos215sin215)cos215sin215cos 30.3212sin2751(1cos 150)cos 150cos 30.3221tan275 tan 751tan275 2tan 7522.1 tan 150331 sin 103cos 10cos 10 3sin 10sin 10cos 102(12cos 1032sin 10)sin 10cos 104sin 30cos 10cos

5、30sin 10 2sin 10cos 104.4sin 20 sin 20规律方法 对于给角求值问题，一般有两类：1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2).1 sin 503cos 50解 (1)cos 36cos 722sin 36cos 36cos 72 2sin 362sin 72cos 72 4

6、sin 36 .sin 144 4sin 361 4(2)原式cos 50 3sin 50sin 50cos 502(12cos 5032sin 50)1 2 2sin 50cos 504.2sin 80 1 2sin 1002sin 80 1 2sin 80给值求值、求角问题(1)已知 cos ，求 cos的值；( 4)3 5 23 2(2 4)(2)已知，且 sin 2sin，求.( 2，2)( 4)思路探究 依据以下角的关系设计解题思路求解：4(1)与 2，与 2具有 2 倍关系，用二倍角公式联系； 4 2 4 2(2)2与 2差，用诱导公式联系 2 2解 (1)，. 23 23 4 4

7、7 4cos0，( 4)3 2 47 4sin ，( 4)1cos2(4)1(35)24 5cos 2sin2sincos2 ，(2 2)( 4)( 4)(4 5)3 524 25sin 2cos12cos2122，(2 2)( 4)(3 5)7 25coscos 2sin 2.(2 4)222222(24 25)227 2531 250(2)sin 2cos(2 2)2cos2( 4)112cos2，( 4)sinsin( 4)( 4)cos 2(4)cos，( 4)原式可化为 12cos2( 4)cos，( 4)解得 cos1 或 cos .( 4)( 4)1 2，( 2，2)， 4( 4

8、，34)故0 或， 4 42 3即或. 45 125母题探究：1.在例 2(1)的条件下，求 sin 4的值解 由例 2(1)解析知 sin 42sin 2cos 22.7 25(24 25)336 6252将例 2(1)的条件改为 sin，0x，求的值( 4x)5 13 4cos 2xcos(4x)解 0x，x. 4 4(0， 4)又 sin，( 4x)5 13cos.( 4x)12 13又 cos 2xsin( 22x)2sincos( 4x)( 4x)2，5 1312 13120 169cos( 4x)sin 2(4x)sin，( 4x)5 13原式.120 169 5 1324 13规

9、律方法 解决条件求值问题的方法1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2当遇到f(,4)x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2xsin( 22x)2sin(4x)cos(4x.)类似的变换还有：cos 2xsin(22x)2sin(4x)cos(4x，)sin 2xcos(22x)2cos2(4x)1，6sin 2xcos(22x)12cos2(4x)等.化简证明问题探究问题1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切” ，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行

10、变形2证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导(1)化简：_.1 tan 11 tan 1(2)证明：4. 3tan 123sin 124cos21223思路探究 (1)通分变形(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦二倍角的正弦约分求值(1)tan 2 (1)原式tan 2.tan 1tan 1 tan 1tan 12tan tan212tan 1tan2(2)左边3sin 123cos 12cos 12 2sin 122cos21212 3(12sin 1232cos 12)2sin 12cos 12cos 242 3sin1260sin 24cos 242 3si

11、n 481 2sin 484右边，所以原等式成立3规律方法 证明三角恒等式的原则与步骤1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角” “异名化同名” “变换式子结构” “变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.跟踪训练2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；7(2)cos2(1tan2)cos 2.证明 (1)左边1cos2A2B 21cos2A2B 2cos2A2Bcos2A2

12、B 2 (cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)1 2cos 2Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos2(1sin2 cos2)cos2sin2cos 2右边法二：右边cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左边(1sin2 cos2)当 堂 达 标固 双 基1下列各式中，值为的是( )32A2sin 15cos 15 Bcos215sin215C2sin215Dsin215cos215B B 2sin 15cos 15sin 30 ；cos215sin215cos 301 2；2sin2151cos 30

13、1；sin215cos2151，故选 B.32322(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则( )Af(x)的最小正周期为 ，最大值为 3Bf(x)的最小正周期为 ，最大值为 4Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4B B 易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1 (2cos2x1) 1 cos 2x ，3 23 23 25 2则f(x)的最小正周期为 ，当xk(kZ Z)时，f(x)取得最大值，最大值为 4.3若 sin 3cos ，则_.sin 2 cos26 6.sin 2 cos22sin cos cos22sin cos 6cos cos 4设 sin 2sin ，则 tan 2的值是_.( 2，)8sin 2sin ，32sin cos sin .由知 sin 0，( 2，)cos ，1 22 3tan 2tantan.4 3 335已知，cos . 24 5(1)求 tan 的值；(2)求 sin 2cos 2的值解 (1)因为 cos ，4 5 2所以 sin ，3 5所以 tan .sin cos 3 4(2)因为 sin 22sin cos ，24 25cos 22cos21，7 25所以 sin 2cos 2.24257251725