2019高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2.6 函数的奇偶性和周期性习题 苏教版必修1.doc

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1、1函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性（答题时间：（答题时间：5050 分钟）分钟） 函数的奇偶性和周期性（一）函数的奇偶性和周期性（一） 一、填空题1. 设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy 的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2() 1 (fffff_。2. 已知定义在R上的奇函数)(xf和偶函数)(xg满足2)()(xxaaxgxf（ 10aa且）.若ag)2(，则)2(f_。3. 已知定义在 R R 上的奇函数f（x） ，满足f（x4）f（x） ，且在区间0，2上是增 函数，比较)80(),11(),25(fff 的大小，用“”连接。_。 4. 已知定义在 R

2、R 上的奇函数f（x） ，满足f（x4）f（x） ，且在区间0，2上是增 函数，若方程f（x）m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_。5. 设奇函数)(xf在), 0( 上为增函数，且0) 1 (f，则不等式0)()( xxfxf的解集为_。 6. 设( )f x是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,1)x 时，242,10,( ) ,01,xxf x xx 则3( )2f 。7. 设函数( )f x、( )g x的定义域都为 R，且( )f x是奇函数，( )g x是偶函数。则下列结论中正确的是_。 ( )f x( )g x是偶函数； |

3、( )|( )f xg x是奇函数；( )|( )|f xg x是奇函数； |( ) ( )|f x g x是奇函数。二、解答题8. 函数21)(xbaxxf是定义在) 1 , 1(内的奇函数，且52)21(f。（1）确定函数)(xf的解析式；（2）用定义证明)(xf在) 1 , 1(内为增函数；（3）解不等式：0)() 1(tftf。函数的奇偶性和周期性（二）函数的奇偶性和周期性（二） 1. 定义在 R R 上的函数f（x）满足：f（x）f（x2）13，f（1）2，则f（99） _。2. 设f（x）是连续的偶函数，且当x0 时是单调函数，则满足)43()(xxfxf的所有x之和为_。 3.

4、设函数f（x）x（exaex） （xR R）是偶函数，则实数a的值为_。24. 已知函数f（x1）是奇函数，f（x1）是偶函数，且f（0）2，则f（4） _。 *5. 设函数f（x）的定义域、值域分别为A、B，且AB是单元集，下列命题： 若ABa，则f（a）a； 若B不是单元集，则满足ff（x）f（x）的x值可能不存在； 若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数； 若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数； 其中，正确命题的序号为_。*6. 设函数 f（x） （xR）为奇函数，f（1）=21，f（x+2）=f（x）+f（2） ，则 f（5）=_。 *7. 设函数f（x）的定义域关

5、于原点对称，且满足f（x1x2）)()(1)()(1221 xfxfxfxf ；存在正常数a，使f（a）1； 求证：（1）f（x）是奇函数； （2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为 4a。3函数的奇偶性和周期性（一）函数的奇偶性和周期性（一）1. 0 解析：)(xf是定义在R上的奇函数，0)0(f；)(xfy 的图象关于直线21x对称，0) 1 (f，又)(xf为奇函数，0) 1(f，又)(xf的图象关于直线21x对称，0)2(f；同理可得0)3(f，0)4(f，0)5(f。2. 415解析：2)()(xxaaxgxf，又由)(xf为奇函数，)(xg为偶函数，将x代入式得： 2)()(xx

6、aaxgxf+式子得：2)(xg，xxaaxf)(2)2(g，2a，41522)2(22f。3. )11()80()25(fff解析：由f（x4）f（x）得：)()8(xfxf，8为函数)(xf的最小正周期。) 1()25(ff，)0()80(),3()11(ffff由f（x）在R上为增函数，且在2 , 0上为增函数，所以f（x）在2 , 2上为增函数。令3x，)3() 1(ff得：) 1 () 1()3(fff所以)11()80()25(fff。4. 8 解析：)(xf为定义在R上的奇函数以及f（x4）f（x）可得： )(xf的周期为8，)(xf的图象关于原点对称，由)()()4(xfxfx

7、f可得)(xf的其中一条对称轴为直线2x， )(xf在区间2 , 0上为增函数，画出满足条件的)(xf的图象如下图：4令四个交点分别为A，B，C，D，对应的点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4， 则A，B两点关于直线6x对称，x1x2 12， C，D两点关于直线2x对称，x3x4 4， x1x2x3x48 5. （1，0）（0，1） 解析：)(xf为奇函数，)()(xfxf，由0)()( xxfxf得0)(2xxf，0)(xfx又在), 0( 上为增函数，11x且0) 1 (f，当10 x时，0)(xf；当1x时，0)(xf；当01x时，0)(xf；当1x时，0)(xf；原不等式的解集为（1

8、，0）（0，1） 。6. 1解析：利用周期性，将)23(f转化为定义域在) 1 , 1上的函数值。( )f x是定义在R上的周期为2的函数，)223()23( ff)21( f，又)0 , 121，)21(f 2)21(421。7. 解析：令)(xF( )f x( )g x，由( )f x是奇函数，( )g x是偶函数可知)()(),()(xgxgxfxf)()()()(xgxfxgxf，即)()(xFxF，又)(xF( )f x( )g x的定义域为R，所以( )f x( )g x是奇函数。)(xf为偶函数，( )g x是偶函数，由偶偶=偶（函数）得：|( )|( )f xg x是奇函数（定

9、义域为R，关于原点对称） 。( )f x是奇函数， ( )g x是偶函数故)(xg也是偶函数，由奇偶=奇，所以5( )|( )|f xg x是奇函数（定于域为R） 。)()()()(xgxfxgxf，且定义域为R，所以|( ) ( )|f x g x是偶函数。8. 解析：本题考查通过函数的单调性和奇偶性来确定函数)(xf的解析式，求ba,的值是解本题的关键。 （1）解：由已知得：,52)21(, 0)0(ff即 524112, 01bab解得：0, 1ba，21)(xxxf。（2）证明：任意取1121xx2 11 2 22 1211)()(xx xxxfxf)1)(1 ()1)(2 22 12

10、112 xxxxxx 1121xx，)1)(1 ()1)(2 22 12112 xxxxxx 00)()(12xfxf)(xf在) 1 , 1(内是增函数。（3）解：)()() 1(tftftf，)(xf是) 1 , 1(内的增函数，111tt解得：210 t。函数的奇偶性和周期性（二）函数的奇偶性和周期性（二）1. 解析：由f（x）f（x2）13，知f（x2）f（x4）13，所以13 2 f（x4）f（x） ，即f（x）是周期函数，周期为 4.所以f（99）f（3424）f（3）213 ) 1 ( 13f。2. 8 解析：因为f（x）是连续的偶函数，且当x0 时是单调函数，由偶函数的性质可知

11、若f（x）)43( xxf，只有两种情况：x43 xx；x43 xx0，由知x23x30，故两根之和为x1x23， 由知x25x30，故两根之和为x3x45， 因此满足条件的所有x之和为8。 3. 1 解析：设g（x）x，h（x）exaex，因为函数g（x）x是奇函数，则 由题意知，函数h（x）exaex为奇函数，又函数f（x）的定义域为 R R，h（0）60，解得a1。 4. 2 解析：依题意有f（x1）f（x1） ，f（x1）f（x1） ，所以 f（4）f（3）1）f（2）f（11）f（0）2。 5. 解析：如f（x）x1，A1，0，B0，1满足AB0，但 f（0）0，且满足ff（x）f（

12、x）的x可能不存在，错，正确；如，f（x） 1，AR R，B1，则f（x）1，AR R 是偶函数，正确；如f（x） x2k1，A2k1，2k，B0，1，kZ Z，f（x）是周期函数，但不是常数函数， 所以错误。6. 5 2解析：函数 f（x） （xR）为奇函数，f（1）=21，f（-1）=-21，f（1）=21，f（0）=0，令 x=-1，代入到 f（x+2）=f（x）+f（2）中，得： f（1）= f（-1）+ f（2） ， f（2）= f（1）- f（-1）=1，f（3）= f（1+2）=f（1）+ f（2）= 3 2，f（5）= f（2+3）=f（2）+ f（3）= 5 2 7. 证明：

13、（1）不妨令xx1x2，则f（x）f（x2x1）)()()()(2112 xfxfxfxf )()()()(1221 xfxfxfxf f（x1x2）f（x） ，f（x）是奇函数； （2）要证f（x4a）f（x） ， 可先计算f（xa） ，f（x2a） ，f（xa）fx（a）)()(1)()( xfafxfaf 1)(1)( )()(1)()( xfxf xfafxfaf， （f（a）1） ，f（x2a）f（xa）a， 11)(1)(11)(1)(1)(1)(xfxfxfxfaxfaxf)(1 xf，f（x4a）f（x2a）2a)2(1 axff（x） ，故f（x）是以 4a为周期的周期函数。