线性代数 矩阵及其运算精品文稿.ppt

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1、某班级同学早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周星周星驰驰4221张曼张曼玉玉0000陈水陈水扁扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示为了方便，常用下面右边的数表表示2.1矩阵的概念矩阵的概念2.1.12.1.1矩阵的引入矩阵的引入矩阵的引入矩阵的引入第1页，本讲稿共98页1.定义定义2.1由由mn个个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成排成的的m行行n列的数表列的数表称称m行行n列矩阵，简称列矩阵，简称mn矩阵。记作矩阵。记作2.1.2矩阵的定义矩阵的定义第2页，本讲稿共98页2.说明说明:矩

2、阵与行列式不同矩阵与行列式不同1)形式不同形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.2)内容不同内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵实矩阵、复矩阵第3页，本讲稿共98页5.矩阵矩阵相等相等充要条件是充要条件是:4.同型矩阵同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵第4页，本讲稿共98页2.1.2一些特殊矩阵一些特殊矩阵1.方阵方阵若若A为为n行行n列的矩阵，称列的矩阵，称A为为n阶方阵。阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵行矩阵行矩阵只有一行

3、的矩阵。只有一行的矩阵。列矩阵列矩阵只有一列的矩矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵零矩阵、单位矩阵第5页，本讲稿共98页n阶单位矩阵阶单位矩阵第6页，本讲稿共98页4.对角矩阵与数量矩阵对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵上（下）三角形矩阵第7页，本讲稿共98页2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.2.1.2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:注：矩阵的加法只能在两个注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应两个矩阵相加时，对应元素进行相加。元素进行相加。1.矩阵的加法（定义矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)第8页

4、，本讲稿共98页2.矩阵的数乘矩阵的数乘定义定义2.3数数与矩阵与矩阵的乘积记为的乘积记为A或或A，并规定：，并规定：负矩阵:A=(aij)减法：B=+(B)第9页，本讲稿共98页3.矩阵线性运算律：矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O (4)1A=A (5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA (7)k(A+B)=kA+kB第10页，本讲稿共98页例例1若若X满足满足其中其中求求X.解解X=第11页，本讲稿共98页 2.2.2.矩阵的乘法矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵设矩阵A为为

5、ms 阶矩阵、矩阵阶矩阵、矩阵B为为sn 阶矩阵，阶矩阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵，则矩阵A与与B 的乘积为一的乘积为一mn 阶矩阵阶矩阵C=(cij)mn，记，记C=AB，且且第12页，本讲稿共98页就是说，矩阵就是说，矩阵C 的第的第i 行第行第j 列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵A 的第的第i 行的所有元素与矩阵行的所有元素与矩阵B 的第的第j 列的对应列的对应元素的乘积之和。元素的乘积之和。第13页，本讲稿共98页例例2计算计算 第14页，本讲稿共98页例例3.非齐次线性方程组的矩阵表示非齐次线性方程组的矩阵表示记记则非齐次线性方程组可简记为则非齐次线性方程组可简

6、记为第15页，本讲稿共98页关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵）矩阵A与矩阵与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是是 A左乘左乘B的乘积，的乘积，BA是是A右乘右乘B的乘积；的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律矩阵乘法与加法满足的运算规律第16页，本讲稿共98页（3 3）ABAB与与BABA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一定相等；不一定相等；（4 4）AB=O AB=O 不一定有

7、不一定有A=OA=O或或B=O B=O；A(XA(X Y)=O Y)=O 且且 A O A O 也不可能一定有也不可能一定有X=YX=Y例例4第17页，本讲稿共98页定理定理2.1 若矩阵若矩阵A的第的第i行是零行，则乘积行是零行，则乘积AB的第的第i行也是行也是零；若矩阵零；若矩阵B的第的第j行是零列，则乘积行是零列，则乘积AB的第的第j列也是零。列也是零。若若A(或或B)是零矩阵，则乘积是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。也是零矩阵。例5 设求AB与BA解第18页，本讲稿共98页只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，

8、因而有下面的式子：结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m (2)(An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk3.矩阵的乘幂：设矩阵的乘幂：设A 是是n 阶方阵，定义阶方阵，定义：第19页，本讲稿共98页例6 解 第20页，本讲稿共98页4.4.方阵方阵A的的n次多项式次多项式第21页，本讲稿共98页5.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 A2.6 A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，是将，是将A A的行列互换后所得矩的行列互换后所得矩阵如果阵如果 A A是一个是一个 mn mn 阶矩阵，阶矩阵，A AT T 是一个是一个 nm nm 阶矩阵阶

9、矩阵。矩阵的转置的性质第22页，本讲稿共98页证明证明（1）、（）、（2）、（）、（3）易证，下证明）易证，下证明(4).设矩阵设矩阵A为为ms 阶矩阵，矩阵阶矩阵，矩阵B为为sn阶矩阵，那么：阶矩阵，那么：(AB)T与与BTAT是同型矩阵；是同型矩阵；又设又设C=A B，因为，因为CT的第的第i 行第行第j 列的元素正好是列的元素正好是C 的的cji，即，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而而b1i，b2i，bsi 正好是正好是BT的第的第i 行，行，aj1,aj2,ajs 正好是正好是AT的第的第j 列，因此列，因此cji 是是BT

10、AT的第的第i 行第行第j 列的元素。故列的元素。故(AB)T=ATBT第23页，本讲稿共98页6.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵设设A为为n 阶方阵，阶方阵，若若AT=A，即即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵A 为对称矩阵；为对称矩阵；若若AT=A，即即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵A 为反对称矩阵。为反对称矩阵。如右边的矩阵A 为对称矩阵第24页，本讲稿共98页7.方阵的行列式方阵的行列式（1）方阵）方阵A 的行列式，记为的行列式，记为|A|或或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记

11、号也是不同的。它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律）方阵的行列式满足以下运算规律(设设A、B为为n 阶阶方阵，方阵，为实数为实数)第25页，本讲稿共98页1)伴随矩阵：设伴随矩阵：设A=(aij)nn，矩阵，矩阵A中元素中元素aij的代数余子的代数余子式式Aij构成的如下矩阵构成的如下矩阵8 8、再讲几类特殊的矩阵、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A第26页，本讲稿共98页矩阵运算举例第27页，本讲稿共98页第28页，本讲稿共98页第29页，本讲稿共98页第30页，本讲稿共98页第31页，本讲稿共98页 设对于设对于n 阶方阵阶方阵A，若存在，若存在n 阶方阵阶方

12、阵B 使得使得 A B=B A=E 恒成立，则称矩阵恒成立，则称矩阵A 可逆或满秩矩阵可逆或满秩矩阵,或非或非奇异矩阵；奇异矩阵；B 称为称为A 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为A1=B 。1）.若矩阵若矩阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。证明：证明：设设A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B1、B2，则，则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质2.3逆矩阵逆矩阵第32页，本讲稿共98页证明：充分性证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘

13、法的定由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：义有：AA*=A*A=|A|E，又，又|A|02）.定理定理2.2A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0，且，且A可逆时有可逆时有第33页，本讲稿共98页3）.对于对于n 阶方阵阶方阵A、B 若有若有AB=E 则：则：A、B 均可逆，均可逆，且它们互为可逆矩阵。且它们互为可逆矩阵。证明：证明：AB=E|A|B|=1 故故|A|0且且|B|0，A、B均可逆，又均可逆，又BA=BABB1=BB1=E,故故A1=B必要性证明：必要性证明：A可逆可逆A A1=A1A=E故故|A|A1|=1，即，即|A|0，A可逆，可逆，同时还有同时还有奇异矩阵

14、与非奇异矩阵：若奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵方阵的行列式的行列式|A|0，称矩阵，称矩阵A为非奇异为非奇异矩阵，否则矩阵矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。称为奇异矩阵。第34页，本讲稿共98页4）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质如果如果A、B均可逆，那么均可逆，那么AT与与AB都可逆，且都可逆，且(A 1)1A(AT)1(A1)T(AB)1B1A1(kB)1k1A1(k为非零）为非零）|A1|=|A|1证明：证明：A、B均可逆均可逆AA1=A1AE 故故(AA1)T=(A1)TATET=E(AT)1=(A1)T同理同理(AB)(B 1 A1)(B 1 A1)(AB)E(A)1=1 A1第35页，本讲稿

15、共98页有关逆矩阵例题第36页，本讲稿共98页第37页，本讲稿共98页第38页，本讲稿共98页第39页，本讲稿共98页第40页，本讲稿共98页第41页，本讲稿共98页 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。这些小矩阵当做一个数来处

16、理。2.4 2.4 分块矩阵分块矩阵第42页，本讲稿共98页第43页，本讲稿共98页即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与行数，则：A与与B 的和就是以的和就是以Aij与与Bij为元素的形式矩阵相加。为元素的形式矩阵相加。2.4.1分块矩阵的加法：分块矩阵的加法：设矩阵设矩阵A,矩阵矩阵B为为：第44页，本讲稿共98页2.4.2分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法：设矩阵设矩阵Amn、Bnp 且矩阵且矩阵A 列列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。第45页，本讲稿共98页第46页，本讲稿共98页2.4.3分块矩阵的转置分块矩阵的转置第47页，本讲稿共98页 它的特点是不在主对角线上的

17、子块全为零矩阵，而在主对它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为为准对角矩阵准对角矩阵（或对角块矩阵）。（或对角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质对于准对角矩阵，有以下运算性质：若若A与与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4准对角矩阵准对角矩阵 若矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式的分块矩阵具有以下形式第48页，本讲稿共98页则：第49页，本讲稿共98页若准对角矩阵若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可也可

18、逆，且逆，且第50页，本讲稿共98页2.4.5矩阵分块的应用矩阵分块的应用第51页，本讲稿共98页第52页，本讲稿共98页第53页，本讲稿共98页第54页，本讲稿共98页2.4.6矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块第55页，本讲稿共98页2.线性方程线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式价形式第56页，本讲稿共98页如果把系数矩阵如果把系数矩阵A A按列分成按列分成 n n块，则线性方程组可块，则线性方程组可记作记作第57页，本讲稿共98页2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换(Elementary operatio

19、n)1 初等变换 定义定定下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩阵的初等变换初等变换：(i).对调两行对调两行(ii).以非以非0数乘以某一行的所有元素；数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去倍加到另一行对应的元素上去把把定定义义中中的的“行行”换换成成“列列”，即即得得矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换的的定定义。义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。是同一种初等

20、变换。第58页，本讲稿共98页例18 设（1）用行初等变换 把A化为阶梯形，进一步化为行标准形（2）再用列初等变换 把A化为标准形解（1）第59页，本讲稿共98页（行阶梯形）第60页，本讲稿共98页第61页，本讲稿共98页第62页，本讲稿共98页 2 行阶梯形矩阵定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行 如下面的阶梯形矩阵第63页，本讲稿共98页行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型第64页，本讲稿共98页3.定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下

21、行标准型第65页，本讲稿共98页 4 定理 矩阵A可经初等变换化为标准形:第66页，本讲稿共98页（1）.已知已知分别将分别将A的第一、二行互换和将的第一、二行互换和将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵并用矩阵乘法将这两种变换表示出来乘法将这两种变换表示出来。第67页，本讲稿共98页解解交换交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵的第一、二行，可用二阶初等矩阵左乘左乘A：第68页，本讲稿共98页将将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘右乘A：第69页，本讲稿共98页2.5.2 初

22、等矩阵1.初等矩阵的定义（定义2.12）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。第70页，本讲稿共98页(1)对于对于n阶单位矩阵阶单位矩阵I，交换，交换E的第的第行行，得到的初等矩阵记作：，得到的初等矩阵记作：第71页，本讲稿共98页(2)用非零数用非零数k乘以乘以I的第的第行，得到的初等矩阵记行，得到的初等矩阵记作作:第72页，本讲稿共98页(3)将将I的的第第行行的的倍倍加加到到第第行行，得得到到的的初初等等矩矩阵记作

23、：阵记作：第73页，本讲稿共98页(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2.初等矩阵之间的关系第74页，本讲稿共98页3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题第75页，本讲稿共98页1）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵第76页，本讲稿共98页2）.结论定理2.4 A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。5.矩阵等价定义2.13 若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价第77页，本讲稿共9

24、8页6.初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有第78页，本讲稿共98页7.结论定理2.6 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积。证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵使得第79页，本讲稿共98页因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而 r=n,即有于是有第80页，本讲稿共98页证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。第81页，本讲稿共98页定理2.5 矩阵A 与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得 PAQ=B.特别地，矩阵A等价于A的标准

25、形。证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积第82页，本讲稿共98页8.可逆矩阵的逆的求法可逆矩阵的逆的求法 A可逆,则有行初等行矩阵使得 则有记第83页，本讲稿共98页则有行初等矩阵使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：第84页，本讲稿共98页例4 求A的逆矩阵第85页，本讲稿共98页例例5求求A的逆矩阵的逆矩阵解解第86页，本讲稿共98页2.6矩阵的秩矩阵的秩2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix)1.定义 在mn矩阵A中，任取k行k列（k m，k n），位于这些行列交叉处的k2个元素，

26、不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2.定义2.14 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。第87页，本讲稿共98页4.由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常 数k与矩阵A的积的秩等于矩阵 A 的秩。（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩 矩阵）。（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于 等于r;若 A所有一个r+1阶子式等于

27、零，则r(A)小 于等于r。第88页，本讲稿共98页例20 求下列矩阵的秩解：A是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为0，故R(A)3。对于B，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子式不为0，而所有的三阶子式（四个）全为0，第89页，本讲稿共98页2.6.2 用初等变换求矩阵的秩定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩证明 从前面的讨论显然有上面的结论从上面的例题很容易看出：阶梯型矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩例21 用初等变换求下列矩阵的秩第90页，本讲稿共98页故A的秩为3第91页，本讲稿共98页定理2.8 设矩阵A，可逆的P与Q，则r(PA)

28、=r(A)2.6.3 矩阵秩 的不等式r(AQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)证明 从前面的讨论显然有上面的结论以下结论很重要，会经常应用定理2.9 两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，设A是mn矩阵，B是nk矩阵,则第92页，本讲稿共98页证明 设 r(A)=r由定理 2.5可逆的P与Q使得于是将分块于是有第93页，本讲稿共98页再由定理2.8，有同理可证第94页，本讲稿共98页定理2.10（Sylvester 公式）A是mn矩阵，B是nk矩阵，则特别第95页，本讲稿共98页定理2.11 A、B是mn矩阵，则证明将A,B排成m2n的矩阵则有由定理2.9有第96页，本讲稿共98页综上，有由定理2.7第97页，本讲稿共98页例22 设A为n阶幂等矩阵，即证明证明由有由定理2.10有另一方面由定理2.11有故有第98页，本讲稿共98页