2022-2023学年山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题.pdf

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1、试卷类型：A 潍坊市 2022-2023 学年高三上学期期末考试 数学2023.1 本试卷共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R，集合21Ax

2、x，240 xBx，则集合UAB（）A.1,2 B.1,2 C.1,2 D.1,2 2.若复数z满足20232 iiz，则z（）A.12i55 B.12i55 C.12i55 D.12i55 3.已知函数 sin,sin,sin,x xxf xx xx则6f（）A.6 B.12 C.32 D.3 4.若一组样本数据1x，2x，nx的平均数为 10，另一组样本数据124x，224x，24nx 的方差为 8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）A.17，54 B.17，48 C.15，54 D.15，48 5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛

3、，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n，2，3，4时，圆球总个数分别为 1，4，10，20，则5n时，圆球总个数为（）A.30 B.35 C.40 D.45 6.已知正三棱锥PABC的侧棱长为3，点E，F分别在线段PC，BC（不包括端点）上，且EFPB，90AEF，若点M为三棱锥PABC的外接球的球面上任意一点，则点M到平面ABC距离的最大值为（）A.43 B.5 24 C.2 D.32 7.已知O为坐标原点，A，B是抛物线2

4、4yx上的动点，且OAOB，过点O作OHAB，垂足为H，下列各点中到点H的距离为定值的是（）A.1,0 B.2,0 C.1,2 D.2,1 8.已知定义在R上的函数 f x满足 01f，对x，yR，有 12f xyf x fyfyx，则 2023111if i f i（）A.20234050 B.20242025 C.20234048 D.20232024 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.已知,XB n p，若 3

5、0E X，20D X，则23p B.数据 91，72，75，85，64，92，76，78，86，79 的 45%分位数为 78 C.已知0,1N，若1Pp，则1102Pp D.某校三个年级，高一有 400 人，高二有 360 人.现用分层抽样的方法从全校抽取 57 人，已知从高一抽取了 20人，则应从高三抽取 19 人.10.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P为线段1AD（包括端点）上一动点，则（）A.异面直线1AD与11AC所成的角为 60 B.三棱锥11BPBC的体积为定值 C.不存在点P，使得1AD 平面PCD D.PBPC的最小值为36 11.已知函数 2626a

6、xxf xxx，其中a为实数，则（）A.f x的图象关于2x 对称 B.若 f x在区间2,2上单调递增，则0a C.若1a，则 f x的极大值为 1 D.若0a，则 f x的最小值为a 12.若数列 na满足21321111222nnaaaaaa，则称数列 na为“差半递增”数列，则（）A.正项递增数列均为“差半递增”数列 B.若数列 na的通项公式为1nnaqq，则数列 na为“差半递增”数列 C.若数列 na为公差大于 0 的等差数列，则数列 na为“差半递增”数列 D.若数列 na为“差半递增”数列，其前n项和为nS，且满足122nnnSat，则实数t的取值范围为32,3 三、填空题：

7、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.如图所示，A，B，C，D是正弦函数sinyx图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则OAOBOCOD_.14.已知函数 3sin4cosf xxx，且 f xf对任意xR恒成立，若角的终边经过点4,Pm，则m _.15.写出一个同时满足下列三个性质的函数 f x _.f x是奇函数；f x在2,单调递增；f x有且仅有 3 个零点.16.设双曲线2222:10 xyCabab的右顶点为A，过点A且斜率为 2 的直线与C的两条渐近线分别交于点P，Q.若线段PQ的中点为M，55AMa，则C的离心率e _.四、解答题：

8、本大题共 6 道小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知正项数列 na满足11a，212252*nnnnaaaanN.（1）证明：数列1na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设 41log1nnnba，数列 nb的前n项和为nT，求nT.18.（12 分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossincossinCABBCA.（1）求tan A的最小值；（2）若tan2A，4 5a，求c.19.（12 分）一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为23，三个红球一个白球的概率为

9、13.（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为34，抽到三个小球的概率为14，所抽到的小球中，每个红球记 2 分，每个白球记1分，用X表示抽到的小球分数之和，求X的分布列及数学期望.20.（12 分）已知三棱台111ABCABC中，1AA 底面ABC，2ABAC，1111AAAB，111ABAC，E，F分别是BC，1BB的中点，D是棱11AC上的点.（1）求证：1ABDE；（2）若D是线段11AC的中点，平面DEF与11AB的交点记为M，求二面角MACB的余弦值.21.（12 分）已知椭圆2222:10 xyCab

10、ab的左，右焦点分别为1F，2F，焦距为2 3，点13,2Q在C上.（1）P是C上一动点，求12PF PF的取值范围；（2）过C的右焦点2F，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求1FMN的内切圆面积的最大值.22.（12 分）已知函数 2ecosln1xf xaxxx.（1）若1a，求证；函数 f x的图象与x轴相切于原点；（2）若函数 f x在区间1,0，0,各恰有一个极值点，求实数a的取值范围.高三数学参考答案及评分标准 2023.1 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20

11、分）9.BCD 10.AB 11.ACD 12.BCD 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.212 14.3 15.11x xx（答案不唯一）16.153 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）解：（1）因为 12212nnnnaaaa，1 分 因为已知0na，所以121nnaa，2 分 所以1121nnaa，所以数列1na 是首项为112a ，公比为 2 的等比数列，4 分 所以12nna ，即21nna.5 分（2）结合（1）知 41log 212nnnnnb ，7 分 所以当n为偶数时，123411 11222

12、2222 24nnnTnn .当n为奇数时，11111424nnnnnnTTb.所以数列 nb的前项和1,4,.4nnnTnn 为奇数为偶数10 分 18.（12 分）解：（1）由已知得cossincoscossincossincoscossinCABABBCACA，整理得2cossincoscossinCABAA，因为sin0A，所以2coscoscosCBA，2 分 又因为coscoscoscossinsinABCBCBC ，所以sinsin3coscosBCCB，即tantan3BC，4 分 tantantantantantantantan3tantan12BCBCABCBCBC，当且仅

13、当tantan3BC时等号成立，故tan A的最小值为3.6 分（2）因为tan2A，从而tantan4BC，又因为tantan3BC，所以tan1C 或tan3C，8 分 当tan1C 时，2sin2C，由正弦定理得sin5 2sinacCA，10 分 当tan3C 时，3 10sin10C，由正弦定理得sin3 10sinacCA.综上，5 2c 或3 10.12 分 19.（12 分）解：（1）记事件A表示“抽取一个小球且为红球”，1B表示“箱子中小球为两红两白”，2B表示“箱子中小球为三红一白”，则 112221137323412P AP BP A BP BP A B.4 分（2）由题

14、意得X的取值可以为2，0，1，3，4，6，2311234612P X ，5 分 2111034212P X，6 分 23213111134334224P X，7 分 2111137334234448P X，8 分 2311315434634224P X，9 分 1111634448P X.10 分 随机变量X的分布列为：X 2 0 1 3 4 6 P 112 112 1124 748 524 148 11 分 11117512720134612122448244816E X .12 分 20.（12 分）（1）证明：取线段AB的中点G，连接1AG，EG，易得1DAEG，所以E，G，1A，D四点

15、共面.因为111ABAC，11ACAC，所以1ABAC，又因为1AA 底面ABC，AC 平面ABC，所以1AAAC，因为1ABAAA，所以AC 平面11AA B B，2 分 因为E，G分别是BC，BA的中点，所以EGAC，所以EG 平面11AA B B，因为1AB 平面11AA B B，所以1ABEG3 分 因为1111AAABAG，11ABAG，又因为1AAAG，所以四边形11AABG是正方形，所以11ABAG，5 分 又因为1EGAGG，所以1AB 平面1ADEG，因为DE 平面1ADEG，所以1ABDE.6 分（2）解：延长EF与11C B相交于点Q，连接DQ，则DQ与11AB的交点即为

16、M.由F，E分别为1BB和BC的中点知M为线段11AB的三等分点，且123AM，8 分 由（1）知ACAB，所以AC、AB、1AA两两垂直，以点A为原点，AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，1AA所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz.2,0,0C，20,13M，2,0,0AC，20,13AM，设平面MAC的法向量1,na b c，则20,20,3abc取3b，则10,3,2n 10 分 易得平面ABC的一个法向量20,0,1n，11 分 设二面角MACB为，121222 13cos1313n nnn，所以二面角MACB的余弦值为2 1313.12 分 21.（12 分）（1）解：

17、由题意知3c，所以223ab.1 分 将点13,2Q代入222213xybb，解得1b，所以椭圆C的方程为：2214xy.2 分 设点,P x y，则2221233,3,324PF PFxyxyxyx .3 分 又因为2,2x，所以12PF PF的取值范围是2,1.4 分（2）解：依题意可设直线l的方程为3xmy，11,M x y，22,N xy.联立223,1,4xmyxy得2213110424mymy.5 分 所以1222 34myym，12214y ym，6 分 所以1221222222112412 334 32444F MNmmSyymmm，8 分 又因为222222222111191

18、241619161mmmmmmm，9 分 当且仅当2m 时等号成立.所以114 3212F MNS.10 分 又因为三角形内切圆半径r满足1241482F MNSra.11 分 所以1FMN的内切圆面积的最大值为4.12 分 22.（12 分）（1）证明：因为1a，2ecosln1xf xxxx，00f；1 分 又 1e2sin1xfxxxx，2 分 所以 00f，所以在点 0,0f处的切线方程为0y，所以函数 f x的图象与x轴相切于坐标原点.4 分（2）解：1e2sin1xfxaxxx，令 g xfx，21e2cos1xgxaxx，令 h xg x，32esin1xh xxx，当1,0 x

19、 时，32esin1 sin2sin101xh xxxxx ，5 分 故 h x在1,0上为减函数，因为 032ha，所以当3 20a，即32a 时，0h x，6 分 所以 g x为增函数，故 00g xg，所以 f x为减函数，故函数 f x在1,0 x 无极值点；7 分 当32a 时，当1,0 x，因为 gx为减函数，03 20ga，1111221111e2cos12ecos10222aagaaaaa ，故必存在01,0 x ，使得 00gx，当01,xx 时，0gx，g x为增函数，当0,0 xx时，0gx，g x为减函数，而 00f，故 00fx，又因为2112e2221211e2si

20、n1eeeeaaaaaafa 22111112ee22222122eesin11 esin1 e0eeeaaaaaaaaaa 所以必存在01,mx，0fm，且当1,xm，0fx，f x为减函数，当,0 xm，0fx，f x为增函数，故 f x在区间1,0上有一个极小值点m，9 分 因为 46ecos01xh xxx，所以 h x在0,上单调递增，又因为 00h，10h，所以总存在10,1x 使 10h x，且当10,xx时，0h x，h x单调递减，1,1xx时，0h x，h x单调递增，当0,x，0320ha，且222112e2cos 21 cos 202121ahaaaaaa，故必存在20,x，使得 20gx，20,xx，0gx，fx为减函数，2,xx，0gx，fx为增函数，因为 00f，所以当20,xx，0fx，即 20fx，又因为4422114e8sin 418sin 44141afaaaaaaaa 42312441 sin 4041aaaaaa 故存在2,nx，使得 0fn，且当2,xx n，0fx，f x为减函数，当,xn，0fx，f x为增函数，故 f x在区间0,有一个极小值点n，11 分 所以若函数 f x在区间1,0，0,各恰有一个极值点，32a.12 分