2022-2023学年江苏省南通市海安县、如东县高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年江苏省南通市海安县、如东县高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合|21Axx，|12 Bxx，则AB（）A1,1 B2,2 C2,1 D1,2【答案】A【分析】利用交集的定义即可求解【详解】集合|21Axx，|12 Bxx，所以1,1AB 故选：A 2复数1 i1 iz，则3z（）Ai Bi C-1 D1【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用2i1 即可求出结果【详解】解：21i(1i)i1i(1i)(1i)z，33iiz，故选：A 3已知点1,0A，3,1B，若直线AB与直线10 xmy 垂直，则m（）A2 B

2、12 C12 D2【答案】B【分析】先求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为1即可求m的值【详解】依题意可得直线AB的斜率为1 013 12，因为直线AB与直线10 xmy 垂直，且直线10 xmy 的斜率为2，所以12m，解得12m 故选：B 第 2 页 共 18 页 4数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列:1na，1，2，3，5，8，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即121aa，21nnnaaa，这样的数列称为“斐波那契数列”.若36912621maaaaa，则m（）A126 B127 C128 D129【答案】C【分析】根据数列的特点，每个数等于它前

3、面两个数的和，移项得：2nnaa 1na，使用累加法求得21nnSa，然后将36912621aaaa的系数2倍展开即可求解【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，121aa，由*21nnnaaanN，得2nnaa 1na，所以132aaa，243aaa，2nnaa 1na，将这n个式子左右两边分别相加可得：1221nnnSaaaa，所以21nnSa.所以3691261234567891241251261261282111aaaaaaaaaaaaaaaaSa .故选：C 5已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为2yx，则C的离心率为（）A52 B2 C3 D5【答案】A【分析】根据已

4、知条件求得ab，从而求得双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，由于双曲线的渐近线方程为2yx，所以2ab，即12ba，所以2222222151122ccabbeaaaa.故选：A 6已知函数 f x的导函数为 fx，且 2cos6f xxfx，则6f（）A12 B12 C326 D326【答案】D 第 3 页 共 18 页【分析】将 f x求导并代入6x即可得出6f，即可得到 f x的具体解析式，再代入6x即可得出答案.【详解】2cos6fxxfx，2sin6fxfx，令6x，则2sin666ff，162f，则 cosf xxx，cos666326f 故选：D.7已知等差数列

5、na中，452aa 记11nnnaba，*Nn，则数列 nb的前8项和为（）A0 B4 C8 D16【答案】C【分析】分离常数可得21,1nnba，设21nnca，当18n，*Nn时，可得90nncc，故可得数列 nb的前8项和【详解】由等差数列性质得945nnaaaa 11221,111nnnnnnaabaaa 设21nnca，当18n，*Nn时，94599992222220,111111nnnnnnnnnnaaaaccaaaaaa 故1238bbbb 1281282221118111cccaaa 1827364588cccccccc 故选：C 8 已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均

6、为R，且1f x是奇函数，记 g xfx，若 g x是奇函数，则 10g（）第 4 页 共 18 页 A2 B0 C1 D2【答案】B【分析】根据 1f x是奇函数，可得 11fxf x ，两边求导推得 2g xgx，20gg，再结合题意可得 4 是函数 g x的一个周期，且 00g，进而可求解【详解】因为 1f x是奇函数，所以 11fxf x ，两边求导得11fxfx ，即11fxfx，又 g xfx，所以11gxg x ，即 2g xgx，令2x ，可得 20gg，因为 g x是定义域为R的奇函数，所以 00g，即 20g 因为 g x是奇函数，所以 gxg x ，又 2g xgx，所以

7、2gxgx ，则 2g xg x，42g xg xg x，所以 4 是函数 g x的一个周期，所以 1020gg 故选：B 二、多选题 9已知圆:C225516xy，点4,0A，0,2B，则（）A点A在圆C外 B直线1x 与圆C相切 C直线AB与圆C相切 D圆2249xy与圆C相离【答案】AB【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点A坐标，即可判断 A 项；分别求出圆心到直线的距离，比较它们与半径的关系，即可判断 B、C 项；求出圆心距OC，根据OC与两圆半径的关系即可判断第 5 页 共 18 页 D 项.【详解】解：由题，圆C的圆心坐标为5,5C，半径为4r，对于 A 项，因为22450526

8、16，所以点A在圆C外，故 A 正确；对于 B 项，圆心到直线1x 的距离为15 14dr，故直线1x 与圆C相切，故 B 项正确；对于 C 项，直线AB的方程为142xy，整理得240 xy，则圆心C到直线AB的距离为22252 5411 54512dr ，所以直线AB与圆C相离，故 C 错误；对于 D 项，圆2249xy的圆心坐标为0,0O，半径为7R，则圆心间的距离为2250505 2OC，因为35 210RrRr，所以圆2249xy与圆C相交，故 D 错误.故选：AB 10已知等差数列 na的前n项和为nS，当且仅当7n 时nS取得最大值，则满足0kS 的最大的正整数k可能为（）A12

9、 B13 C14 D15【答案】BC【分析】由题意可得10a，公差0d，且70a，80a，分别求出131415SSS，讨论78aa的符号即可求解【详解】因为当且仅当7n 时，nS取得最大值，所以10a，公差0d，且70a，80a 所以113137131302aaSa，11414781472aaSaa，115158151502aaSa，故15n时，0nS 当780aa时，140S，则满足0kS 的最大的正整数k为14；当780aa时，140S，则满足0kS 的最大的正整数k为13，故满足0kS 的最大的正整数k可能为13与14 故选：BC 第 6 页 共 18 页 11已知抛物线2:4C yx的

10、焦点为F，00P xy，为C上一动点，点 21A，则（）A当02x时，3PF B当01y 时，C在点P处的切线方程为2210 xy CPAPF的最小值为3 DPAPF的最大值为2【答案】ACD【分析】当02x时，求出PF判断 A；设切线与抛物线联立使0求出切线方程判断 B；利用抛物线的定义转化求解PAPF的最小值可判断 C；根据三角形两边之差小于第三边判断 D【详解】因为抛物线2:4C yx，所以准线l的方程是=1x.对于A，当02x时，24p，此时0|2 132pPFx，故 A 正确;对于 B，当01y 时，014x，令切线方程为:1(1)4m yx，与24yx联立得2y 4410mym，令

11、2161640mm，解得12m，即切线方程为:11(1)24yx，即4210 xy，故 B 错误;对于 C，过点,P A分别作准线l的垂线，垂足为,Q B 则|3PAPFPAPQAB，所以|PAPF的最小值为3,故 C 正确.对于 D，因为焦点(1,0)F，所以22|(2 1)12PAPFAF，所以|PAPF的最大值为2,故 D 正确.故选：ACD 12已知22eexyxy，则（）第 7 页 共 18 页 Aln10 xy B2()1ex yxy Csinsinxyxy D22coscosxyyx【答案】BC【分析】根据条件构造函数，求导，计算出 x 与 y的关系，再根据函数的性质逐项分析.【

12、详解】因为22eexyxy，即22eexyxy 令 2exf xx，则有 f xfy，则 2exfxx，令 2exg xx，则 2exgx ，令 2e0 xgx ，可得ln2x，当ln2x，时，0g x ，函数 g x单调递增，当ln2x，时，0gx ，函数 g x单调递减，故 maxln22ln220g xg，所以总有 0fx ，故 f x单调递减；所以xy，即0 xy；对于 A，ln1ln10 xy，故 A 错误；对于 B，设 2e10 xh xxx，则 e20 xh xxfx ，故 h x在0，上单调递增，所以 00h xh，所以21e0 xxx ，因为0 xy，所以21ex yxy ，

13、故 B 正确；对于 C，sinsinxyxy，即sinsinxxyy 设 sinu xxx，则 u xuy，则 1 cos0u xx，所以 u x单调递增 因为xy，所以 u xuy，故 C 正确；对于 D，22coscosxyyx，即22coscosxxyy，令 2cost xxx，则 t xt y，因为 22coscostxxxxxt x，所以 2cost xxx为偶函数，所以 t xt y即为 t xty 第 8 页 共 18 页 则 2sint xxx，令 2sinm xxx，则 2cos0m xx，所以 m x单调递增 又 00m，所以当0 x，时，0m x，0tx，函数 t x单调

14、递减；当0 x，时，0m x，0tx，函数 t x单调递增，当0yx时，tyt x，故 D 错误；故选：BC.三、填空题 13已知等比数列 na的公比不为1，11a，且2a，4a，3a成等差数列，则5a _【答案】116#0.0625【分析】根据条件求出公比 q，再运用等比数列通项公式求出5a.【详解】根据题意得 32420aaa，2311120a qa qa q，2320qqq 且1q，解得12q ，11a，445111216aa q；故答案为：116.14已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为R，f x为奇函数，且 0.f xfx则不等式2320f xx的解集为_【答案】1,2【分析

15、】设 xfxg x e，由导数法可得 g x单调递减，2320f xx可转化为 2320g xxg，根据单调性即可求解【详解】设 xfxg x e，则 0 xfxf xgxe，故 g x单调递减 因为 f x为奇函数，定义域为R，所以 00f，故 0000efg 2320f xx可转化为2232320exxf xx，即 2320g xxg 因为 g x单调递减，所以2320 xx，解得12x 第 9 页 共 18 页 故答案为：1,2 15已知点5 0A ，50B，点P满足直线PA，PB的斜率之积为1625，则PAB的面积的最大值为_【答案】20【分析】根据条件，运用斜率公式求出 P点的轨迹方

16、程，再根据轨迹确定PAB 面积的最大值.【详解】设P mn，由题意可知，2216552525PAPBnnnkkmmm，整理得22152516mnm；得动点P的轨迹为以A，B为长轴顶点的椭圆(除去A，B两点)，显然当P点位于上下顶点时PAB面积取得最大值，因为5a，4b，所以max12202PABSa b；故答案为：20.16 已知实数1x，2x，1y，2y满足22114xy，22229xy，12120 x xy y，则112249xyxy的最大值是_【答案】2613#1326【分析】由已知得 A，B在圆分别在圆224xy和圆229xy上，利用数形结合法，将所求问题转化为 A，B两点到直线40

17、xy和90 xy的距离和的2倍，再利用三角函数求出其最大值即可【详解】由22114xy，22229xy可知，点11A xy，22B xy，分别在圆224xy和圆229xy上，由12120 x xy y得OAOB 如图，作直线:l yx，过 B作BDl于 D，过 A 作AEl于 E，设02DOB，(,)，因为OAOB，所以2AOE 第 10 页 共 18 页 从而sin3sinBDBO，sin2cos2AEAO 故323sin2cos=13sincos1313BDAE=13sin，其中(0,)2，2tan3，故当=2时，BDAE的取最大值13 而1122112249492()22xyxyxyxy

18、 其中1142xy表示A到直线40 xy的距离1d，2292xy表示 B到直线90 xy的距离2d，因为yx与40 xy，90 xy平行，且yx与40 xy的距离为2 2，yx与90 xy的距离为9 22，所以12 2dAE，29 22dBD，从而11221213 2492()22xyxyddAEBD26+13，故答案为：26+13【点睛】本题考查了数形结合思想、转化思想，关键是利用几何意义将代数问题转化为几何问题 四、解答题 17已知ABC中，222sinsinsin2sin sin3cosABCABC 第 11 页 共 18 页(1)求C；(2)若45A，2BC，求ABC的面积【答案】(1

19、)6(2)132 【分析】1由正弦定理得22223cosabcabC，再由余弦定理得cos3cosCC，可得3cos2C，从而得出C；2由正弦定理得2sin45sin30BA，得出BA，再得出sinB，由三角形面积公式可得ABC的面积【详解】（1）设A，B，C对边长a，b，c 因为222sinsinsin2sin sin3cosABCABC 由正弦定理2sinsinsinabcRABC，所以22223cosabcabC，所以2223cos2abcCab，即cos3cosCC，所以3cos2C，因为0,C，所以6C；（2）ABC中，45A，2BC，30C，因为sinsinBCBAAC，所以2si

20、n45sin30BA，所以2BA，因为62sinsinsin45 cos30cos45 sin304BAC，所以1sin2ABCSBA BCB 1622224 第 12 页 共 18 页 132 18已知数列 na中，15a，当2n 时，1221.nnnaa记12nnnab，*nN(1)求证：数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式;(2)求数列1na 的前n项和nT【答案】(1)证明见解析，1 21nnan(2)12nnTn 【分析】（1）对递推公式变形，求出 nb 的通项公式，再求出 na 的通项公式；（2）运用错位相减法求和.【详解】（1）因为15a 且当2n时，1221nnnaa

21、，所以当2n时，11212nnnaa，所以1111122nnnnaa，因为12nnnab，即11nnbb，所以 nb是以11122ab为首项，1为公差的等差数列，所以121112nnann，所以1 21nnan；（2）2由 1知11 2nnan，则122 23 212nnTn 23122 23 212nnTn ，-得12312 222212nnnTn 114 1 241 21 2nnn所以1114421 22nnnnTnn ；综上，1 21nnan，12nnTn .19已知函数 ln1=1xxf xx(1)求函数 f x的最大值；(2)记 21211g xxf xxax，aR若函数 g x既有

22、极大值，又有极小值，求a的第 13 页 共 18 页 取值范围【答案】(1)2(2)2 2,【分析】（1）对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；（2）条件等价于方程22430 xa xa 在区间1,上有两个不相等的实数根，列关于a的不等式，求解即可【详解】（1）由函数 ln1=1xxfxx，则其定义域为1,，2ln1=1xfxx，当1,2x时，0fx；当2,x时，0fx，所以函数 f x在区间1,2上为增函数；在区间2,为减函数，所以 max22f xf；（2）由 221211ln123g xxf xxaxxxax，(1)x 则 224312211xa xagxxaxx，因为 g

23、x既有极大值，又有极小值，即等价于方程22430 xa xa 在区间1,上有两个不相等的实数根，即2243041448 30aaaaa ，解得2 2a，所以所求实数a的取值范围是2 2,20设数列 na的前n项积为nT，且22nnT (1)求数列 na的通项公式;(2)记区间*1,mmaamN内整数的个数为mb，数列 mb的前m项和为mS，求使得2023mS的最小正整数m【答案】(1)212nna(2)5 第 14 页 共 18 页 【分析】（1）根据nT与na的关系，类比nS与na的关系求通项即可；（2）根据定义求出mb的通项，再由公式法求和，最后解不等式即可.【详解】（1）因为数列 na的

24、前n项积22nnT，当1n 时，12a，当2n时，2(1)1212nna aa，除以得212nna，又1n 时，12a 满足212nna，所以212nna.（2）因为区间*1,mmaamN内整数的个数为mb，所以2121212213 21mmmmb，所以2 1 432 421 4mmmSmm.由2023mS，得2 422023mm，即2 42025mm，当4m 时，42 4451245162025，当5m 时，52 452048520532025，因为2 4mm随m的增大而增大，所以2023mS的最小整数为5 21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别为1F，2

25、F，左、右顶点分别为1A，2A，上顶点为B，12BF F的周长为2 34.点P，Q异于12,A A两点且在C上，直线1AP，2A Q，2A P的斜率分别为1k，2k，3k，且123kk(1)证明13k k为定值;(2)求点B到直线PQ距离的最大值【答案】(1)证明见解析(2)2 第 15 页 共 18 页【分析】（1）利用题意得到关于,a b c的等式，联立方程组即可求得,a b c，设11,P x y，代入椭圆方程可得到221114xy，然后利用两点斜率公式即可求证；（2）先推断出直线PQ斜率必不为0，设其方程为2xtyn n，与椭圆进行联立得到二次方程，可得到12221222444tnyy

26、tny yt，代入1223121212122y ykkxx 即可算出答案【详解】（1）设椭圆焦距为2c，由题知22232222 34caacabc，解得213abc，所以椭圆的标准方程为2214xy，依题意12,0A，22,0A，设椭圆上任一点11,P x y，则221114xy，所以2121111322111111422444xyyykkxxxx；（2）设22,Q x y，若直线PQ的斜率为0，则P，Q关于y轴对称，必有12kk，不合题意，所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为2xtyn n，与椭圆C联立2244xyxtyn，整理得：2224240tytnyn，所以221640tn，且1222

27、1222444tnyytny yt，由（1）知123134kkk，即23121kk，即121212122y yxx，即121212121224y ytyntynt yyn，即122212121212(2)y yt y yt nyyn，即22212212224ntnt nnt，第 16 页 共 18 页 所以1n，此时2221641630tnt，故直线:1PQ xty恒过x轴上一定点1,0D，所以点B到直线PQ的最大距离为2BD 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于

28、x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.22已知函数 lnf xa xbx，其中a，.bR(1)若1a，求函数 f x的单调区间;(2)若1b，函数 f x有两个相异的零点1x，2x，求证：212ex x 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）不妨令120 xx，用分析法对212ex x 进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立【详解】（1）当1a 时，lnf xxbx，定义域

29、为0，所以，11 bxfxbxx，所以，0b时，0fx在0，上恒成立，故 f x在0，上单调递增，当0b 时，令 0fx得1xb，所以，当11xb，时，0fx，f x单调递增，1xb，时，0fx，f x单调递减，综上，0b时，f x在0，上单调递增，第 17 页 共 18 页 0b 时，f x在10b，上单调递增，在1b，上单调递减；（2）由题知1b，lnf xa xx，因为函数 yf x有两个相异零点1x，2x，且 11f，所以11x 且21x，1122ln0ln0axxaxx，即1122lnlnxaxxax，所以，方程lnxax有两个不相等的实数根，令 lnxg xx，则 2ln1(ln)

30、xgxx，故当 011 ex，时，0g x，ex，时，0gx，所以，g x在01，1 e，上单调递减，在e，上单调递增，因为 01x，0g x，1x，0g x，所以，要使方程lnxax有两个不相等的实数根，则 eeag，不妨令120 xx，则11lna xx，22lna xx，所以121 2121212lnlnlnlnlnaxxa x xxx axxxx，要证212ex x，只需证12ln2x x，即证：1212ln2xxx xa，因为1212lnln1xxaxx，所以，只需证121211212122lnlnln2xxxxxxxxxxxx，只需证1211221ln21xxxxxx，即11122

31、21 ln21xxxxxx，故令121xtx，故只需证1 ln21ttt，1t 成立，令 1 ln21h tttt，1t，第 18 页 共 18 页 则 11ln2ln1th ttttt，令 1ln1g ttt，221110tttgtt在1，恒成立，所以，h t在1，上单调递增，因为 10h，所以 0h t在1，恒成立，所以，h t在1，上单调递增，所以，10h th，即1 ln21ttt，所以，212ex x 成立【点睛】思路点睛：本题第二问令120 xx，用分析法对212ex x 进行等价转化，最后可构造函数即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题