大学高数 向量及其线性运算.pptx

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1、第1页/共51页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念或或与与 同方向的单位向量可记作同方向的单位向量可记作或零向量没有方向，或者说其方向是任意的第2页/共51页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标

2、系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量 ，叫做点，叫做点M的的向径向径.即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。第3页/共51页1 定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若 分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第4页/共51页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 定义减法第5页/共51页三、向量与数的乘法第6页/共51页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配

3、律：）分配律：两个向量的平行关系第7页/共51页证证充分性显然；必要性两式相减，得第8页/共51页按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.第9页/共51页例例1 1 化简解解第10页/共51页例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.证证与 平行且相等,结论得证.第11页/共51页向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结第12页/共51页第13页/共51页一、向量在轴上的投影与投影定理第14页/共51页第15页/共51页证证于是第16页/共51页空间

4、两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或空间两轴空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.第17页/共51页空间一点在轴上的投影第18页/共51页空间一向量在轴上的投影 数第19页/共51页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证第20页/共51页定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；第21页/共51页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）第22页/共51页特别地，如果把上述向量a在轴上的投影换成向量a在向量b

5、上的投影,可得到类似的概念与性质：第23页/共51页二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标第24页/共51页由例1知第25页/共51页 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影第26页/共51页按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的坐标坐标：向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：第27页/共51页向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第28页/共51页解解为直线上的点，第29页/共51页由题意知：#第30页/共51页非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为

6、方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式第31页/共51页由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第32页/共51页当 时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第33页/共51页方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量为第34页/共51页解解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向或第35页/共51页解解例例 4 4 设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3p p和4p p，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P

7、的坐标.第36页/共51页第37页/共51页解解第38页/共51页向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）第39页/共51页作业P3,3,4P4,5P10-11,2,7,10,15,第40页/共51页思考题思考题第41页/共51页思考题解答思考题解答对角线的长为第42页/共51页练练 习习 题题第43页/共51页第44页/共51页练习题答案练习题答案第45页/共51页思考题思考题已知平行四边形ABCD的对角线试用 表示平行四边形四边上对应的向量.第46页/共51页思考题解答思考题解答第47页/共51页练练 习习 题题第48页/共51页第49页/共51页练习题答案练习题答案第50页/共51页感谢您的观看。第51页/共51页