数学物理方法数学物理方程的定解问题学习教案.pptx

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1、会计学1数学物理数学物理(wl)方法数学物理方法数学物理(wl)方程方程的定解问题的定解问题第一页，共77页。2023/2/72一、数学物理一、数学物理(wl)(wl)方程方程(泛定方程泛定方程):):物理物理(wl)(wl)规律的数学规律的数学表示表示 物理现象物理现象 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言描述 泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)反映的是同一类物理现象的共反映的是同一类物

2、理现象的共反映的是同一类物理现象的共反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。性，和具体条件无关。性，和具体条件无关。性，和具体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程特别是偏微分方程(wi fn fn chn)和积分和积分方程。方程。重点讨论重点讨论重点讨论重点讨论：二阶线性偏微分方程。：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。具体条件无关。第2页/共77页第二页，共77页。2023/2/73三类典型的数学物理三类典型的数学物理三类典

3、型的数学物理三类典型的数学物理(wl)(wl)方程方程方程方程三类典型的数学物理三类典型的数学物理(wl)方程方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代波动方程为代表表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代泊松方程为代表表退化退化(tuhu)为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程第3页/共77页第三页，共77页。2023/2/744 1 边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程体现边界状态的数学方程(fngchng)(fngchng)称为边界条件称为边界条件2 历史(lsh)问题-初始条件体现历史状态体现历史状态(zhungti)(zhungti)的数学方程称为初始条

4、的数学方程称为初始条件件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题三、定解问题 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方

5、程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。二、定解条件二、定解条件第4页/共77页第四页，共77页。2023/2/755具体问题求解具体问题求解(qi ji)(qi ji)的一般的一般过程：过程：1 1、根据系统的内在、根据系统的内在(nizi)(nizi)规律列出泛定方程规律列出泛定方程客观客观规律规律2 2、根据已知系统、根据已知系统(xtng)(xtng)的边界状况和初始状况列出边界条件和的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须的已知条件求解所必须的已知条件3 3、求解方法、求解方法

6、行波法、行波法、分离变量法分离变量法、积分变换法、格林函数、积分变换法、格林函数法和变分法法和变分法第5页/共77页第五页，共77页。2023/2/767.1 7.1 7.1 7.1 数学模型（泛定方程数学模型（泛定方程数学模型（泛定方程数学模型（泛定方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)）的建立）的建立）的建立）的建立建模步骤建模步骤(bzhu)(bzhu)：（1 1）明确）明确(mngqu)(mngqu)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。的

7、相互作用。（2 2）研究物理量遵循哪些物理规律？）研究物理量遵循哪些物理规律？（3 3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。第6页/共77页第六页，共77页。2023/2/77 (一）均匀一）均匀一）均匀一）均匀(jnyn)(jnyn)弦横振动方程弦横振动方程弦横振动方程弦横振动方程 现象描述（如图）现象描述（如图）：沿：沿x x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置平衡位置(x(x轴轴)附近产生振幅极小的横向振动附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 设定设定

8、:(1):(1)弦不振动时静止弦不振动时静止(jngzh)(jngzh)于于x x轴轴;(2)(2)用用u(x,t)u(x,t)表示表示t t时刻弦上任一点时刻弦上任一点x x在在垂直于垂直于x x轴方向上的横向位移（偏离）情况轴方向上的横向位移（偏离）情况 弦的横振动弦的横振动第7页/共77页第七页，共77页。2023/2/78 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元x,x+dx弧弧B段作为研究段作为研究(ynji)对对象象.研究研究(ynji)对象对象:(4)(4)设单位长度设单位长度(chngd)(chngd)上弦受力上弦受力F(x,t)F(x,t)，线力，线力密度为：密度为：假设

9、与近似：假设与近似：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3)(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度质量线密度，u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxFB第8页/共77页第八页，共77页。2023/2/79B段弦的原长近似段弦的原长近似(jn s)为为dx.振动振动(zhndng)拉拉伸后：伸后：

10、u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBFB段的质量段的质量(zhling)：弦长：弦长dx，质量，质量(zhling)线密度线密度，则，则B段质量段质量(zhling)m=dx物理规律：物理规律：用牛顿运动定律分析用牛顿运动定律分析B段段弦的受力及运动状态弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：牛顿运动定律：第9页/共77页第九页，共77页。2023/2/710沿沿x-x-方向方向(fngxing)(fngxing)：弦横向振动不出现弦横向振动不出现x x方向方向(fngxing)(fngxing)平移，得力平平移，得力平衡方程衡方程沿垂直于沿垂直于x-x-轴方向：轴方向：由牛顿运动由牛顿

11、运动(yndng)(yndng)定律定律得运动得运动(yndng)(yndng)方程方程在微小振动在微小振动(zhndng)近似下：近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBF（1 1）（2 2）第10页/共77页第十页，共77页。2023/2/711波动波动(bdng)方程：方程：波速波速(b s)a受迫振动受迫振动(shu p zhn dn)方程方程单位质量弦所受单位质量弦所受外力，线力密度外力，线力密度令令一维波动方程一维波动方程第11页/共77页第十一页，共77页。2023/2/712一维波动一维波动(bdng)(bd

12、ng)方程方程-非齐次方程非齐次方程(fngchng)(fngchng)-齐次方程齐次方程(fngchng)(fngchng)忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x-轴方向轴方向（1 1）（2 2）因为：因为：因为：因为：所以有：所以有：所以有：所以有：讨论：讨论：第12页/共77页第十二页，共77页。2023/2/713（二）输动问题（二）输动问题（二）输动问题（二）输动问题(wnt)-(wnt)-(wnt)-(wnt)-扩散问题扩散问题扩散问题扩散问题(

13、wnt)(wnt)(wnt)(wnt)扩散现象：系统的浓度扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质不均匀时，将出现物质(wzh)从高浓度处从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。向低浓度处转移的现象，称之为扩散。扩散定律即裴克定律：这是一条扩散定律即裴克定律：这是一条(y tio)(y tio)实验定律实验定律 数学建模：数学建模：建立空间各点建立空间各点浓度浓度浓度浓度u u(x,y,z,tx,y,z,t)的方程的方程 物理规律：物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础粒子数守恒粒子数守恒定律：定律：单位时间内流入某一体积的单位时间内流入某一体

14、积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：处理方法：在在浓度不均匀的无源空间，划浓度不均匀的无源空间，划出出任一小立方体任一小立方体任一小立方体任一小立方体V V为研究对象，分析浓度变化规律为研究对象，分析浓度变化规律。第13页/共77页第十三页，共77页。2023/2/714浓度不均匀浓度不均匀:用浓度梯度用浓度梯度用浓度梯度用浓度梯度 表示表示表示表示；扩散流强弱（强度）扩散流强弱（强度）：用单位时间通用单位时间通过单位面积的物质的量过单位面积的物质的量 表示；表示；扩散扩散(k

15、usn)（裴克）实验定律：（裴克）实验定律：扩散系数扩散系数设定设定(sh dn)：处理方法：在浓度不均匀的无源处理方法：在浓度不均匀的无源(w yun)(w yun)空间，划出任一小立方体空间，划出任一小立方体V V为为研究对象，分析浓度变化规律。研究对象，分析浓度变化规律。扩散流强度与浓度梯度间关系：扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定律确采用裴克实验定律确定定体元体元内粒子数：内粒子数：第14页/共77页第十四页，共77页。2023/2/715考察考察考察考察(koch)(koch)沿沿沿沿x-x-方向扩散流情况：方向扩散流情况：方向扩散流情况：方向扩散流情况：单位单位(dnwi)

16、时间沿时间沿x-方向净流入量方向净流入量同理沿同理沿y 和沿和沿z方向方向(fngxing)净流入量净流入量由粒子数守恒定律，有由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向单位时间内向V的净流入量的净流入量下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立下面由粒子数守恒定律建立V V内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。内粒子数变化规律。单位时间内单位时间内V内粒子数的增加量内粒子数的增加量第15页/共77页第十五页，共77页。20

17、23/2/716如果扩散是均匀如果扩散是均匀(jnyn)(jnyn)的的,即即D D是一常数，则可以令是一常数，则可以令D=a2D=a2，则有，则有代入扩散代入扩散(kusn)定律定律三维扩散三维扩散三维扩散三维扩散(kusn)(kusn)方程方程方程方程 如果所如果所研究的空间存在扩散源，源强度与研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，无关，且为且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为 如果所如果所研究的空间存在源，源强度与研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，成正比，即即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为这时扩散方程修

18、改为讨论：讨论：讨论：讨论：第16页/共77页第十六页，共77页。2023/2/717密度场：密度在空间密度场：密度在空间(kngjin)的分布构成一个标量场。的分布构成一个标量场。有扩散源时系统的密度场满足有扩散源时系统的密度场满足(mnz)(mnz)非齐次扩散方程非齐次扩散方程稳定状态稳定状态(zhungti)(zhungti)：密度：密度u u 不随时间变化，不随时间变化，则则泊松方程泊松方程无扩散源：无扩散源：F=0拉普拉斯方程拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题稳定场问题第17页/共7

19、7页第十七页，共77页。2023/2/718例例例例1 1 1 1 热传导热传导热传导热传导所要研究所要研究(ynji)(ynji)的物理量：的物理量：温度温度(wnd)(wnd)物理规律物理规律(gul)(gul)：采用傅里叶实验定律：采用傅里叶实验定律热传导现象热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热量从高温处流向低温处。数学建模数学建模：傅里叶定律：傅里叶定律：温度不均匀温度不均匀:用用温度梯度温度梯度 表示表示；传热的强弱即传热的强弱即热流强度热流强度：用单位时间内通过单用单位时间内通过单位面积的热量位面积的热

20、量 表示；表示；设定：设定：沿曲面法向流出热量：沿曲面法向流出热量：热传导系数热传导系数热传导系数热传导系数第18页/共77页第十八页，共77页。2023/2/719有限时间内即时刻有限时间内即时刻t1t1到到t2t2通过闭曲面通过闭曲面(qmin)S(qmin)S流入流入V V的热量为的热量为 高斯公式高斯公式(gngsh)(gngsh)（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）热场处理处理(chl)(chl)方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S S包围的体积元包围的体积元V

21、V（如图）。（如图）。在在S 上选取任一足够小的微面元上选取任一足够小的微面元dS，在此面元在此面元范围内热流强度近似为常量。范围内热流强度近似为常量。那么在那么在dt时间内从时间内从dS流入流入V的的热量热量热量热量为为(向为正向为正)：第19页/共77页第十九页，共77页。2023/2/720流入的热量导致流入的热量导致(dozh)V(dozh)V内的温度发生变化内的温度发生变化 流入的热量流入的热量(rling)(rling)：温度发生变化需要的热量温度发生变化需要的热量(c(c比热容，比热容，质量质量(zhling)(zhling)密度密度)：热传导方程热传导方程热场热场热场热场如果物

22、体内有热源，则温度满足如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程非齐次热传导方程 总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程者本质不同，但满足同一微分方程第20页/共77页第二十页，共77页。2023/2/721例例例例2 2 2 2 静电场电势静电场电势静电场电势静电场电势(dinsh)(dinsh)(dinsh)(dinsh)问题。问题。问题。问题。介质方程介

23、质方程:其中其中:高斯定理高斯定理:环路定理环路定理:物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质环路定理和介质(jizh)(jizh)方程。方程。数学建模：建立数学建模：建立(jinl)(jinl)电势电势u(x,y,z)u(x,y,z)与电荷密度与电荷密度(x,y,z)(x,y,z)的关系。的关系。由电场的高斯定理由电场的高斯定理 物理问题物理问题：在介电常数为在介电常数为的介质的介质空间空间，存在电荷分布，存在电荷分布(x,y,z)激发电场激发电场 形成电势分布形成电势分布u(x,y,z)。第21页/共77页第二十一页

24、，共77页。2023/2/722若空间若空间无电荷，即电荷密度无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个(zh ge)方程为拉普拉斯方程.由电场的环路定理由电场的环路定理(dngl)(dngl)，可知静电场是一个保守场，可知静电场是一个保守场.由保守由保守场的性质，引入电势场的性质，引入电势u,u,且电场是电势梯度的负值，即：且电场是电势梯度的负值，即：进一步对电场进一步对电场(din chng)(din chng)取散度，有：取散度，有：泊松方程泊松方程 设电势为设电势为:u(x,y,z)。第22页/共77页第二十二页，共77页。2023/2/723n n7.1 n n3.4.第23页/

25、共77页第二十三页，共77页。2023/2/7247.2 7.2 7.2 7.2 定解条件定解条件定解条件定解条件(tiojin)(tiojin)(tiojin)(tiojin)数学物理方程的定解数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律(gul)(gul)，在给定的区域里解出某个物理量，在给定的区域里解出某个物理量u u，即求，即求u(x,y,z,t)u(x,y,z,t)。1 1 1 1 数学物理数学物理数学物理数学物理(wl)(wl)(wl)(wl)方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程：不带有边界和初始条件的

26、方程称为泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。方程。方程。方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。2 2 2 2 定解条件：边界条件和初始条件的总体。定解条件：边界条件和初始条件的总体。定解条件：边界条件和初始条件的总体。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。它反映了问题的特殊性，即个性。第24页/共77页第二十四页，共77页。2023/2/725初始初始(ch sh)时刻的温度分布：时刻的温度分布：B B、热

27、传导方程、热传导方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件C C、泊松方程、泊松方程(fngchng)(fngchng)和拉普拉斯方程和拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一）（一）（一）初始条件初始条件初始条件初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件 热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需

28、一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件第25页/共77页第二十五页，共77页。2023/2/726和和 是空间坐标是空间坐标(zubio)的函的函数数注意：初始条件给出系统注意：初始条件给出系统注意：初始条件给出系统注意：初始条件给出系统(xtng)(xtng)(xtng)(xtng)在初始状态下物理量在初始状态下物理量在初始状态下物理量在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。的分布，而不是某一位置处的情况。的分布，而不是某一位置处的情况。的分布，而不是某一位置处的情况。例例：一一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两

29、端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。l x l/2h解：初始时刻解：初始时刻(shk)(shk)就是放手的那一瞬间，弦就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程且弦处于静止状态，即有方程初始位移初始位移初始速度初始速度第26页/共77页第二十六页，共77页。2023/2/727（二）边界条件（二）边界条件（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量在边界定义：系统的物理量在边界(binji)(binji)上具有的情况。上具

30、有的情况。A.A.第一类（狄利克雷）边界条件第一类（狄利克雷）边界条件给出未知函数给出未知函数(hnsh)(hnsh)在边界上的函数在边界上的函数(hnsh)(hnsh)值。值。例例2 2：两端：两端(lin dun)(lin dun)固定的弦振动时的边界条件：固定的弦振动时的边界条件：和和常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第27页/共77页第二十七页，共77页。2023/2/728例例3：细杆热传导：细杆热传导 细杆在细杆在x=l端的温度端的温度(wnd)随时间变化随时间变化,设温度设温度(wnd)变化规变化规律为律为f(t),边界的数理方程边界的数理方程细杆细杆x=l

31、端的温度处于恒温状态端的温度处于恒温状态(zhungti),边界的数理方程边界的数理方程第一类边界条件的基本第一类边界条件的基本第一类边界条件的基本第一类边界条件的基本(jbn)(jbn)形式：形式：形式：形式：第28页/共77页第二十八页，共77页。2023/2/729B.B.第二类（诺伊曼）边界条件第二类（诺伊曼）边界条件例例4 4：细杆热传导：细杆热传导 我们用傅里叶我们用傅里叶(热传导热传导)定律来建立边界的数学物理方程定律来建立边界的数学物理方程.傅里叶实验定律傅里叶实验定律:单位单位(dnwi)(dnwi)时间内时间内,通过单位通过单位(dnwi)(dnwi)面积的热流为面积的热流

32、为 给出未知函数在边界上的法线方向给出未知函数在边界上的法线方向(fngxing)(fngxing)的导数之值。的导数之值。第二类边界条件的基本第二类边界条件的基本第二类边界条件的基本第二类边界条件的基本(jbn)(jbn)形式：形式：形式：形式：细杆细杆x=a端点绝热的端点绝热的边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：设细杆沿设细杆沿x轴方向轴方向,则一维则一维傅里叶实验定律改写为傅里叶实验定律改写为其中其中u是所在位置处物体的是所在位置处物体的k是传热系数。是传热系数。细杆细杆x=a端点有热流端点有热流kf(t)流出的流出的边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：第29页/共77页第二十九

33、页，共77页。2023/2/730（3 3）.第三类（混合第三类（混合(hnh)(hnh)）边界条件）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面牛顿冷却定律：单位时间内，通过物体单位表面(biomin)(biomin)流入周围介质的热流（即流出热流）为流入周围介质的热流（即流出热流）为流入周围介质的热流（即流出热流）为流入周围介质的热流（即流出热流）为式中式中式中式中u u是物体表面的温度，是物体表面的温度，是物体表面的温度，是物体表面的温度，是周围介质是周围介质是周围介质是周围介质(jizh)(jiz

34、h)的温度，的温度，的温度，的温度，h h是热交换系数。是热交换系数。是热交换系数。是热交换系数。在一维情况下，在一维情况下，在一维情况下，在一维情况下，牛顿冷却定律简化为牛顿冷却定律简化为牛顿冷却定律简化为牛顿冷却定律简化为一维一维傅里叶实验定律傅里叶实验定律先引入两个基本物理定律：先引入两个基本物理定律：第30页/共77页第三十页，共77页。2023/2/731例例5 5：写出导热：写出导热(dor)(dor)细杆细杆l l端端“自由自由”冷却的边界条件。冷却的边界条件。根据根据(gnj)热传导定律，在热传导定律，在 x=l 处：处：负负x方向方向正正x方向方向在在x=0 处：处：流出热流

35、流出热流(rli)强度强度由由牛顿冷却定律牛顿冷却定律牛顿冷却定律牛顿冷却定律，此此流出热量与细杆和外界的温度差成正比，流出热量与细杆和外界的温度差成正比，即即即：即：讨论：如图情况讨论：如图情况x第31页/共77页第三十一页，共77页。2023/2/732例例6 6：细杆纵振动：端点与固定点弹性：细杆纵振动：端点与固定点弹性(tnxng)(tnxng)连接。应力为弹性连接。应力为弹性(tnxng)(tnxng)力力胡克定律胡克定律(h k dn l)：弹性力：弹性力：则在端则在端点点(dun din)这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔

36、接条件（三）衔接条件（三）衔接条件（三）衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点跃变点)。如两节具有不。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的某些物理量仍然可以是连续的，这就构成这就构成衔接条件衔接条件。第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第三类边界条件的基本形式：第32页/共77页第三十二页，共77页。2023/2/733

37、这两个等式就是这两个等式就是(jish)(jish)构成两段衔接的是衔接条件。构成两段衔接的是衔接条件。折点处，横向折点处，横向折点处，横向折点处，横向(hn xin)(hn xin)(hn xin)(hn xin)力应与张力平衡：力应与张力平衡：力应与张力平衡：力应与张力平衡：即即 1 2折点处折点处折点处折点处位移极限值相同。位移极限值相同。弦在折点弦在折点弦在折点弦在折点x x0 0的左右斜率不同。的左右斜率不同。的左右斜率不同。的左右斜率不同。即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则即斜率有跃变，则uxxuxxuxxuxx在折点在折点在折点在折点x0 x0 x0 x0不存在不存

38、在不存在不存在(cnzi)(cnzi)(cnzi)(cnzi)，也即此点，也即此点，也即此点，也即此点处弦振动方程不成立。只能把弦以处弦振动方程不成立。只能把弦以处弦振动方程不成立。只能把弦以处弦振动方程不成立。只能把弦以x0 x0 x0 x0为界分为二段。为界分为二段。为界分为二段。为界分为二段。例例7 7横向力横向力F(t)集中作用于弦上集中作用于弦上x0 0点点,使使x0点成为折点（如图）点成为折点（如图）。但二段是同一根弦，它们间相互关连。因此要建立此关系：但二段是同一根弦，它们间相互关连。因此要建立此关系：第33页/共77页第三十三页，共77页。2023/2/734例例 8 8 长为

39、长为 l l 的弦在的弦在 x=0 x=0 端固定端固定(gdng)(gdng)，另一端，另一端 x=l x=l 自由，自由，且在初始且在初始(ch sh)(ch sh)时刻时刻 t=0 t=0 时处于水平状态，初始时处于水平状态，初始(ch sh)(ch sh)速度为速度为 x(l-x)x(l-x)，且已知弦作微小，且已知弦作微小(wixio)(wixio)横振动，试写出此定解问题横振动，试写出此定解问题.解解 （1 1）确定泛定方程：）确定泛定方程：取弦的水平位置为取弦的水平位置为轴，轴，为原点，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程弦作自由（无外力）横振动，所以泛定

40、方程为齐次波动方程 (2)(2)确定边界条件确定边界条件 对于弦的固定端，显然有对于弦的固定端，显然有 u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0 另一端自由，意味着弦的张力为零则另一端自由，意味着弦的张力为零则 第34页/共77页第三十四页，共77页。2023/2/735(3)(3)确定确定(qudng)(qudng)初始条件初始条件 根据题意，当根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零时，弦处于水平状态，即初始位移为零 初始初始(ch sh)(ch sh)速度速度 综上讨论综上讨论(toln)(toln)，故定解问题为，故定解问题为第35页/共77页第三十五页，共77页。2

41、023/2/736例9 在均匀静电场E0 中置入半径为R0 的导体(dot)球，若导体(dot)球接有稳恒电池，使球与地保持电势差u0。试写出电势u满足的泛定方程与定解条件。解：选z轴沿均匀外电场E0的方向，见图1。0z(a)0Z(b)（图 1）第36页/共77页第三十六页，共77页。2023/2/737 设球内外电势分别用u0、u1 表示。（1）泛定方程。因为除球面上(R=R0)有自由电荷分布外，球内外的f=0，故（2）定解条件(tiojin)给出球面与无限远最势满足的规律。球面处：球面上电势连续，即有边界条件(tiojin)0z(a)0Z(b)（图 1）第37页/共77页第三十七页，共77

42、页。2023/2/738 现在计算(j sun)上式从 到 的积分。由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线l为直线，如图(1)所示。将 Ecos作为常数提出积分号外，并将u(R0)=u0 代入，便有边界条件无限远处：可以把导体表面有限的电荷分布产生的电势和电势u0看成点电荷和点电势源,由于点电荷在无限远处的贡献可以忽略不计，故可把目前问题简化为点电势在空间的分布问题。对于点电势，随着离开点势源的距离l的增加(zngji),电势是减少的,由图(1)可得第38页/共77页第三十八页，共77页。2023/2/739n n7.2n n1.3.5.7第39页/共77页第三十九页，共7

43、7页。2023/2/740(一一)线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程(wi(wi fn fn chn)fn fn chn)(1)(1)偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数含有未知多元函数(hnsh)(hnsh)及其偏导数的方程，如及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知变量；是未知变量；为为的偏导数的偏导数.有时为了书写有时为了书写(shxi)(shxi)方便，通常记方便，通常记7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类*第40页/共77页第四十页，共77页。2023/2/741(2)(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数偏微分方程中未

44、知函数偏导数(do sh)(do sh)的的最高阶数称为方程的阶最高阶数称为方程的阶(3)(3)方程的次数方程的次数(csh)(csh)偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数(csh)(csh)称为偏微分方程的次数称为偏微分方程的次数(csh)(csh)(4)(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数一个偏微分方程对未知函数(hnsh)(hnsh)和未知和未知函数函数(hnsh)(hnsh)的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方

45、程(5)(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项第41页/共77页第四十一页，共77页。2023/2/742（7 7）方程）方程(fngchng)(fngchng)的通解的通解如：二阶线性非齐次偏微分方程如：二阶线性非齐次偏微分方程 的的通解通解为为其中其中是两个独立的任意函数是两个独立的任意函数若函数若函数 的具体形式给定

46、，则得到方程的特解。的具体形式给定，则得到方程的特解。（8 8）方程）方程(fngchng)(fngchng)的特解的特解方程方程(fngchng)(fngchng)的解含有任意元素（即任意常数或任意函数）的解含有任意元素（即任意常数或任意函数）第42页/共77页第四十二页，共77页。2023/2/7431.1.1.1.二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程(wi fn fn(wi fn fn(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)chn)chn)的一般形式的一般形式的一般形式的一般形式a11,a12,a22,b1,b2,c,f 只是只是(zhs

47、h)x,y 的函的函数。数。f 0 方程(fngchng)为齐次的;否则,为非齐次的.叠加原理叠加原理 定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件。定方程和定解条件。泛定方程、定解条件都是线性泛定方程、定解条件都是线性(二二)二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类第43页/共77页第四十三页，共77页。2023/2/7442.2.2.2.二阶偏微分方程二阶偏微分方程二阶偏微分方程二阶偏微分

48、方程(wi fn fn(wi fn fn(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)chn)chn)的化简的化简的化简的化简作变换作变换(binhun)(binhun)：为使变换非奇异为使变换非奇异(qy)(qy)，其雅克比行列式满足，其雅克比行列式满足变换运变换运算算有有即即第44页/共77页第四十四页，共77页。2023/2/745采用采用(ciyng)(ciyng)新变量后的方程新变量后的方程其中其中(qzhng)第45页/共77页第四十五页，共77页。2023/2/746注意注意A11A11和和A22A22形式形式(xngsh)(xngsh)相同，相同，和和用用z z表示，如

49、果表示，如果则有则有 （或（或 ）注意到注意到二阶线性偏微二阶线性偏微分方程分方程(wi(wi fn fn fn fn chn)chn)的特征的特征方程方程特征方程的根为：特征方程的根为：通过求解此微分方程可以通过求解此微分方程可以(ky)(ky)得到变换函数（特征线）得到变换函数（特征线），从而线性偏微分方程得以简化。，从而线性偏微分方程得以简化。第46页/共77页第四十六页，共77页。2023/2/747定义定义(dngy)(dngy)：1.1.当判别式当判别式 以求得以求得两个实函数解两个实函数解 时，从特征方程可时，从特征方程可也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(1)(1)有两条

50、实的特征有两条实的特征(tzhng)(tzhng)线于是取线于是取方程方程(fngchng)(fngchng)可化为：可化为：作为新的自变量，此时有：作为新的自变量，此时有：第47页/共77页第四十七页，共77页。2023/2/748或者或者(huzh)进一步作进一步作变换变换于是于是(ysh)有有所以所以(suy)又可以进一步将方程化为又可以进一步将方程化为形式形式我们前面建立的波动方程就属于此类型我们前面建立的波动方程就属于此类型 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程，是双曲型方程的是双曲型方程的标准标准第48页/共77页第四十八页，共77页。2023/2/7492 2