（江苏专用）2018-2019学年高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏教版选修1-1.doc

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1、1章末综合测评章末综合测评( (二二) ) 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程(时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在题中横线上)1双曲线1 的两条渐近线的方程为_x2 16y2 9【解析】 由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.3 4【答案】 yx3 42若双曲线x21 的离心率为，则实数m_. y2 m3【导学号：95902166】【解析】 a21，b2m，c21m，e ，求得m2.c a1m13【答案】 23若方程1 表示椭圆，则k的取值范围为_x2 5ky2 k3【解析】 由题意可知Error!解得

2、3k5 且k4.【答案】 (3,4)(4,5)4以y3 为准线的抛物线的标准方程为_【解析】 设抛物线的标准方程为x22py(p0)，则 3，p6，则抛物线方p 2程为x212y.【答案】 x212y5抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1，则p_. 【导学号：95902167】【解析】 依题意，点Q为坐标原点，所以 1，即p2.p 2【答案】 26椭圆1 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则x2 9y2 2PF2_，F1PF2的大小为_【解析】 由椭圆的定义知PF1PF22a236，因为PF14，所以PF22.在PF1F2中，cosF1PF2 ，F1PF21

3、20.PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF21 2【答案】 2 12027已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为 6，则ABC的顶点C的轨迹方程是_【解析】 2cAB2，c1，CACB6242a，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)因此，顶点C的轨迹方程1(y2)y2 4x2 3【答案】 1(y2)y2 4x2 38已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆x2 a2y2 b2(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_【解析】 由双曲线的渐近线bxay0 与圆(x2)2y23 相切得，2ba2b23由c2，解得a1，b.a2

4、b23【答案】 x21y2 39在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y28x的焦点恰好是双曲线1 的x2 a2y2 3右焦点，则双曲线的离心率为_. 【导学号：95902168】【解析】 抛物线y28x的焦点为(2,0)，则双曲线1 的右焦点为(2,0)，即x2 a2y2 3有c2，则a1，故双曲线的离心率为e 2.a23c a【答案】 210已知抛物线C：x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共1 2点，则实数t的取值范围是_【解析】 显然t0，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程得4 t2tx24xt0.由题意168t2.22【答案】 (，)(，)2211若点O和

5、点F分别为椭圆1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，x2 4y2 3则的最大值为_OPFP【解析】 椭圆的左焦点F为(1,0)，设P(x，y)，3(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3 (x2)22OPFP1 41 42x2，当x2 时，有最大值 6.OPFP【答案】 612一动圆与两圆：x2y21 和x2y26x50 都外切，则动圆圆心的轨迹为_. 【导学号：95902169】【解析】 x2y21 是以原点为圆心，半径为 1 的圆，x2y26x50 化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为 2 的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则Error!PAPO

6、1AO3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支【答案】 双曲线的一支13.如图 1，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线x2 a2y2 b2y 与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是 _. b 2【导学号：95902170】图 1【解析】 将y 代入椭圆的标准方程，得1，b 2x2 a2b2 4 b2所以xa，故B，C.32(32a，b2)(32a，b2)又因为F(c,0)，所以，.BF(c32a，b2)CF(c32a，b2)因为BFC90，所以0，BFCF4所以0，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，(c32a)(c32

7、a)(b 2)23 41 4得a2c2，所以e2 ，所以e(负值舍去)3 2c2 a22 363【答案】 6314已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA2FB，则k_.【解析】 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B为AC的中点从而yA2yB，联立方程组Error!消去x得y2y160，8 kError!Error!，消去yB得k.2 23【答案】 2 23二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分

8、 14 分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：1(a0，b0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M.x2 a2y2 b2(2 3，2 63)(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；(2)求双曲线C2的方程及离心率e. 【导学号：95902171】【解】 设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为图象过点M，(2 3，2 63)则有2p ，所以p2，则抛物线C1的方程为y24x，焦点F的坐标为(2 63)22 3(1,0)(2)由双曲线C2过点M以及焦点为(1,0)和(1,0)，由双曲线的定义可知(2 3，2 63)2a ，所以a ，b2 ，2 31 38

9、 95所以双曲线C2的方程为 9x2y21，离心率e3.9 816(本小题满分 14 分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 2.一双曲线13和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程【解】 焦点在x轴上，椭圆为1(ab0)，且c.x2 a2y2 b213设双曲线为 1(m0，n0)，ma4.因为 ，所以 ，解得x2 m2y2 n2e双 e椭7 3a m7 3a7，m3.因为椭圆和双曲线的焦半距为，所以b236，n24.13所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.x2 49y2 36x2 9y2 4焦点在y轴上，椭圆

10、方程为1，双曲线方程为1.x2 36y2 49y2 9x2 417(本小题满分 14 分)如图 2 所示，已知斜率为 1 的直线l过椭圆y21 的右焦x2 4点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长. 【导学号：95902172】图 2【解】 设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，33化简整理，得 5x28x80.所以x1x2，x1x2 .38 358 5所以AB|x1x2| 1k21k2x1x224x1x22 .8 324 5 858 518(本小题满分 16 分)如图 3，已知

11、椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭x2 a2y2 b222圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为 4(1)，一等轴双曲线的2顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.6图 3(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知， ，2a2c4(1)，所以a2c a222，c2.2又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.x2 8y2 4由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的x2 m2

12、y2 m2焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.x2 4y2 4(2)证明：设P(x0，y0)，则k1，k2.y0 x02y0 x02因为点P在双曲线x2y24 上，所以xy4.2 02 0因此k1k21，即k1k21.y0 x02y0 x02y2 0 x2 0419(本小题满分 16 分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21 上，过M作xx2 2轴的垂线，垂足为N，点P满足.NP2NM(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3 上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的OPPQ左焦点F. 【导学号：95902173】【解】 (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,

13、0)，(xx0，y)，(0，y0)NPNM由得x0x，y0y.NP2NM22因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以1.x2 2y2 2因此点P的轨迹方程为x2y22.7(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，OQ(1m，n)，PF33mtn，OQPF(m，n)，(3m，tn)OPPQ由1 得3mm2tnn21，OPPQ又由(1)知m2n22，故 33mtn0.所以0，即.OQPFOQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20(本小题满分 16 分)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点x2 a2y2 b2为

14、A，上顶点为B.已知ABF1F2.32(1)求椭圆的离心率(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF22.求椭圆的方程2【解】 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由ABF1F2，可得a2b23c2，32又b2a2c2，则 .所以椭圆的离心率e.c2 a21 222(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为1.x2 2c2y2 c2设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)，F1PF1B由已知，有0，即(x0c)cy0c0.F1PF1B又c0，故有x0y0c0. 因为点P在椭圆上，故1. x2 0 2c2y2 0 c2由和可得 3x4cx00，而点P不是椭圆的顶点，故x0，代入得2 04c 3y0 ，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c 3(4c 3，c3)4c3022 3c，c 3c 22 38进而圆的半径rc.由已知，有TFMFr2，又x102y1c2532 22 2MF22，2故有8 c2.解得 c23.所以所求椭圆的方程为1.(c2c3)2(02c3)259x26y23