角讲义 人教版数学七年级上册.docx

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1、学科教师辅导教案学科组长审核：学员编号年 级初一课时数3课时学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题角教学目的1 掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换2 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算重、难点角的大小比较与角的互余、互补的理解与应用授课时间2021年12月21日教学内容一、 复习与回顾1、为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则()AABCDCABCD D以上都有可能解析：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得ABC

2、D，故选B.2、如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如MC比NC长2cm，AC比BC长多少?解析：点M是AC的中点，点N是BC的中点，AC2MC，BC2NC，ACBC(MCNC)24cm，即AC比BC长4cm3、如图，B、C两点把线段AD分成234的三部分，点E是线段AD的中点，EC2cm，求：(1)AD的长；(2)ABBE.解：(1)设AB2x，则BC3x，CD4x，由线段的和差，得ADABBCCD9x.解得x4.AD9x36(cm)；(2)AB2x8(cm)，BC3x12(cm)由线段的和差，得BEBCCE12210(cm)ABBE81045二、 知识讲解知识点

3、一、角的概念及表示1 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB图1要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角【例题解析】【例1】、下列语句正确的是 ( ) A两条直线相交，组成的图形叫做角 B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角 C两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角

4、D过同一点的两条射线组成的图形叫做角【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别【巩固练习】1、判断下列说法是否正确 (1)两条射线组成的图形叫做角 ( ) (2)平角是一条直线 ( )(3)周角是一条射线 ( )【答案】(1) (2) (3)2、写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180). 【答案与解析】 解：(1)能用一个字母表示的角A、C (2)以B为顶点的角ABE、ABC、CBE (

5、3)图中共有7个角【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角 知识点二、角度制的换算1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的为1分，记作“1”，1的为1秒，记作“1”这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位【例题解析】【例1】、计算：(

6、1)1532942264032；(2)11036903728；(3)6224174；(4)10243213.解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解解：(1)153294226403217969741801014；(2)110369037281099560903728195832；(3)62241742489668249378；(4)1024321310242813341427.方法总结：角度的运算规律

7、为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入【巩固练习】1、 (1)把26.29转化为度、分、秒表示的形式； (2)把332436转化成度表示的形式提示：在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。解： (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24261724(2

8、)33243633+24+3633+24+0.633+24.633+24.633.41提示：在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。2、计算下列各题： (1)1524912+20.18； (2)82-364215； (3)3536479； (4)41373【答案】略知识点三、角的比较与运算角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得A

9、OBAOB【例题解析】探究点一：角的比较【例1】、如图，射线OC，OD分别在AOB的内部，外部，下列各式错误的是()AAOBAOD BBOCAOBCCODAOD DAOBAOC解析：A.AOB与AOD的边OA重合，OB在AOD内，所以AOBAOC.D错误，故选D.方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法探究点二：角度的有关计算【类型一】 利用角平分线进行角度的计算【例2】、如图，AOB120，OD平分BOC，OE平分AOC.(1)求EOD的度数；(2)若BOC90，求AOE的度数解析：(1)根据OD平分BOC，OE平分AOC可知DOEDOCEOC(BOCAOC)A

10、OB，由此即可得出结论；(2)先根据BOC90求出AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论解：(1)AOB120，OD平分BOC，OE平分AOC，EODDOCEOC(BOCAOC)AOB12060；(2)AOB120，BOC90，AOC1209030，OE平分AOC，AOEAOC3015.方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算【例3】、 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则AOCDOB()A120 B180 C150 D135解析：由图可得AOCDOBAOBCOD9090180.故选B.方

11、法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系【类型三】 折叠问题中角的计算【例4】、 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C，D点落在D处若EFC119，则BFC为()A58 B45 C60 D42解析：将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C，D点落在D处，EFC119，EFCEFC119，EFB180EFC61，BFCEFCEFB1196158，故选A.方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变【巩

12、固练习】1、已知AOB(如图所示)，画一个角等于这个角【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； (2)画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧l，交OA于点C； (3)以点C为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D； (4)过点D画射线OB，则AOBAOB2、如图所示，已知OC平分BOD，且BOC20，OB是AOD的平分线，求AOD的度数【答案与解析】解：因为OC平分BOD，且BOC20， 所以BOD2BOC=22040 又OB是AOD的平分线， 所以AOD2BOD24080【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是AOC的平分线，则AOB

13、BOCAOC；AOC2AOB2BOC，在解题时要学会灵活应用3、已知：如图，OM是AOB的平分线，ON是BOC的平分线，AOC=80，求：MON. 【答案】解：OM平分AOB，ON平分COB，MOB=AOB，BON=BOC.(角平分线的定义)MON=MOB+BON =AOB+BOC=(AOB+BOC) =AOC=80=40 .即MON=40.知识点四、余角和补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角 类似地，如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2性质：（1）同角（等角）的余角相等（2

14、）同角（等角）的补角相等要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关 (2)一般地，锐角的余角可以表示为(90-)，一个角的补角可以表示为(180-) 显然一个锐角的补角比它的余角大90【例题解析】【类型一】 余角和补角的概念【例1】、 如果与互为余角，则()A180 B180C90 D90解析：如果与互为余角，则90.故选D.方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键【类型二】 利用余角和补角计算求值【例2】、已知A与B互余，且A的度数比B度数的3倍还多30，求B的度数解析：根据A与B互余，得出AB90，再由A的度数比B度数的3

15、倍还多30，从而得到A3B30，再把两个算式联立即可求出2的值解：A与B互余，AB90，又A的度数比B度数的3倍还多30，A3B30，3B30B90，解得B15.故B的度数为15.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决【类型三】 余角、补角和角平分线的综合计算【例3】、如图，已知AOB在AOC内部，BOC90，OM、ON分别是AOB，AOC的平分线，AOB与COM互补，求BON的度数解析：根据补角的性质，可得AOBCOM180，根据角的和差，可得AOBBOM90，根据角平分线的性质，可得BOMAOB，根据解方程，可得AOB的度数，根据角

16、的和差，可得答案解：由AOB与COM互补，得AOBCOM180.由角的和差，得AOBBOMCOB180，AOBBOM90.由OM是AOB的平分线，得BOMAOB，即AOBAOB90.解得AOB60.由角的和差，得AOCBOCAOB9060150.由ON平分AOC得AONAOC15075.由角的和差，得BONAONAOB756015.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合【巩固练习】 1如果一个角的补角是120，那么这个角的余角是（ ） 【答案】D A150 B90 C60 D302.若

17、一个角的余角与这个角的补角也互为补角，则这个角等于_度. 【答案】453若1+2=180，2+3=180，则1=3理由是 【答案】略4、如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOEEOC，DOE70，求EOC的度数.【答案】解：设EOC=，则BOEEOC，根据题意可得：.解得：. EOC2BOE80.知识点五、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正

18、北和正南方向作为“基准”，“北偏东60”一般不说成“东偏北30”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点【例题解析】【例1】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54的方向，同时轮船B在南偏东15的方向，那么AOB的大小为（ ）A69 B111 C141 D159【答案】C【巩固练习】1如图，A，B，C三人的位置在同一直线上，AB=5米，BC=10米，下列说法正确的是（ ）AC在A的北偏东30方向的15米处 CC在B的北偏东60方向的10米处BA在C的北

19、偏东60方向的15米处 DB在A的北偏东30方向的5米处2如图，OA的方向是北偏东15，OB的方向是北偏西40，若AOC=AOB，则OC的方向是 【答案】略课堂总结课后提高一、选择题 来源:学科网1下列语句中正确的个数为（ ）（1）延长射线OA到点B（2）直线AB比射线CD长（3）线段AB就是A、B两点间的距离（4）角的大小与角两边的长度无关A1个 B2个 C3个 D4个2一个锐角的补角减去90，就等于（ ）A这个锐角的2倍 B这个锐角的余角C这个锐角加上90 D这个锐本身3下面等式成立的是（ ）A83.5=8350 B371236=37.48C242424=24.44 D41.25=4115

20、4下列各图中，射线OA表示南偏东32方向的是（ ）A B C D5用一副三角板不可以拼出的角是（ ）A105 B75 C85 D15 6若=3436，则的余角为 7如图，AOB与BOD互为余角，OB是AOC的平分线，AOB=26，则COD的度数是 8如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D，C的位置，若AED=50，则DEF等于 9某物体A先在小明的西南方向，后来A绕小明逆时针旋转了140，则这时A在小明的 方向10将一副三角板如图放置，若AOD=20，则BOC的大小为 11.如图，O为直线AB上一点，AOC=50，OD平分AOC，DOE=90（1）求BOD的度数；（2）试判断BOE和COE有怎样的数量关系，说说你的理由 【答案】略12