分形几何现代数学选讲优秀课件.ppt

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1、分形几何现代数学选讲第1页，本讲稿共33页KochKoch曲曲线线KochKoch雪花雪花分形图分形图MengerMenger海绵海绵 第2页，本讲稿共33页传统几何面临的困境传统几何面临的困境基于传统基于传统欧几里得几何学欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体象想象成一个个规则的形体点、直线、圆、椭圆、点、直线、圆、椭圆、锥形锥形。我们人类生活的世界是一个极其复杂的世。我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的界，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性复杂性雪花、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的

2、地雪花、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象面、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象，分，分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。山川、云朵、小麦须根系、菜花、序和结构的新方法。山川、云朵、小麦须根系、菜花、树木、树冠等等都是典型的分形。树木、树冠等等都是典型的分形。第3页，本讲稿共33页为什么要研究分形？为什么要研究分形？首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要，分形提供自然界的复杂事物的

3、客观规律及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。了新的概念和方法。其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。分形理论是非线性科学的一个主要分支分形理论是非线性科学的一个主要分支,与混沌与混沌(chaos)和孤立子和孤立子(soliton)一起成为非线性科学的三大前沿理论一起成为非线性科学的三大前沿理论。分分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的年代

4、初国外开始的“分形热分形热”经久不息。美国著名物理经久不息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。上的文化人。第4页，本讲稿共33页分形图分形图第5页，本讲稿共33页分形图分形图第6页，本讲稿共33页分形图分形图第7页，本讲稿共33页分形图分形图第8页，本讲稿共33页分形图分形图第9页，本讲稿共33页分形风景分形风景第10页，本讲稿共33页分形树分形树 第11页，本讲稿共33页以上分形图的说明以上分形图的说明计计算机通算机通过过数数值计值计算，生成的同算，生成的同时时具有具有审审美美情趣和科学内涵的情趣和科学

5、内涵的图图形形。她。她们们与与现实现实世界相符合，世界相符合，从浩瀚广从浩瀚广阔阔的宇宙空的宇宙空间间到极精致的到极精致的细节细节，是完全，是完全可以用数学可以用数学结结构来描述的。构来描述的。特点：特点：1、既抽象又具体。、既抽象又具体。2、具有丰富的、具有丰富的层层次。次。4、既具有形象美，又具有科学美、既具有形象美，又具有科学美。3、能内在地表达各种、能内在地表达各种对对称性。称性。第12页，本讲稿共33页分形概念的提出分形概念的提出分形的研究可以上溯到很久以前。大约分形的研究可以上溯到很久以前。大约100年前分年前分形的思想已经开始出现在数学领域。但是，就象其它形的思想已经开始出现在数

6、学领域。但是，就象其它的一些革命性的思想一样，分形的研究受到了主流学的一些革命性的思想一样，分形的研究受到了主流学术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那个时候著名的数学家象。那个时候著名的数学家CharlesHermite把分形把分形称为称为“怪物怪物”，这代表了绝大多数人的观点。，这代表了绝大多数人的观点。第13页，本讲稿共33页分形概念的提出分形概念的提出分形的概念是由美籍数学家分形的概念是由美籍数学家曼德布曼德布罗罗特特(人们把他称为人们把他称为“分形之父分形之父”)(B.B.Mandelbrot)首先提出的。首先提出的。196

7、7年他在美国年他在美国权权威的科学威的科学杂杂志上志上发发表了表了题为题为英国的海岸英国的海岸线线有多有多长长?的著名的著名论论文。文。1973年，曼德布年，曼德布罗罗特在法特在法兰兰西学院西学院讲课时讲课时，首次提出，首次提出了分了分维维和分形几何的和分形几何的设设想。想。分形（分形（Fractal）一）一词词，是曼德布，是曼德布罗罗特造出来的，其意特造出来的，其意具有不具有不规则规则、支离破碎等含、支离破碎等含义义。第14页，本讲稿共33页分形概念的提出分形概念的提出Fractal（分形）一词的由来（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是一词是19

8、75年夏天的一年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗突然想到的。本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等

9、。回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。些对象都是分形。第15页，本讲稿共33页1967年曼德布罗特在科学上发表了一篇题为英国年曼德布罗特在科学上发表了一篇题为英国的海岸线有多长的论文，震惊学术界！因为他最后得出的结的海岸线有多长的论文，震惊学术界！因为他最后得出的结论是：无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，论是：无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不会有准确的答案。英国的海岸线长度是不确定的因为根本就不会有准确的答案。英国的

10、海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度！它依赖于测量时所用的尺度海岸线由于海水长年的海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不和海岬，弯弯曲曲极不规则规则第16页，本讲稿共33页分形之父曼德布罗特分形之父曼德布罗特 曼德布罗特与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授曼德布罗特与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教授 第17页，本讲稿共33页什么是分形几何？什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。意义下的自相似图形和结构的几何学。

11、1986年年曼德布罗特给出分形定义为：曼德布罗特给出分形定义为：“组成部分与整组成部分与整体以某种方式相似的形叫做分形体以某种方式相似的形叫做分形”。这个定义。这个定义突出了它自相似的性质突出了它自相似的性质,反映了自然界中一大类反映了自然界中一大类事物的共同属性：局部与整体在形态、功能、事物的共同属性：局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间结构等方面至少具有统计意信息、时间与空间结构等方面至少具有统计意义上的相似性。义上的相似性。1.分形几何分形几何第18页，本讲稿共33页什么是自相似呢？什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上例如一棵苍天大树与它自身上的树

12、枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平糙不平;一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分一块磁铁中的每一部分都像

13、整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场;。这种自相似的。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这些层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这些例子在我们的身边到处可见。例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。何学。1.分形几何分形几何 第19页，本讲稿共33页2.分形几何与欧几里得几何的区分形几何与欧几里得几何的区别别欧几里得几何欧几里得几何分形几何分形几何经典的（经典的（2000多年的历

14、史）多年的历史）基于特征长度与比例基于特征长度与比例 适合于人工制品适合于人工制品用公式描述用公式描述图形规则图形规则图形的结构层次有限图形的结构层次有限局部一般不具有整体的信息局部一般不具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂图形越复杂，背后的规则也越复杂 现代数学怪物（现代数学怪物（30多年的历史）多年的历史）无特征长度与比例无特征长度与比例 实用于大自然现象实用于大自然现象用（递归或迭代）算法描述用（递归或迭代）算法描述图形不规则图形不规则图形的结构层次无限图形的结构层次无限局部往往具有整体的信息局部往往具有整体的信息图形复杂，其背后的规则经常是简图形复杂，其背后的规则经常是简单的单

15、的第20页，本讲稿共33页3.哲学启示哲学启示分形理分形理论论作作为为一种方法一种方法论论和和认识论认识论，其启示是多方面，其启示是多方面的的:(1)、分形整体与局部形、分形整体与局部形态态的相似，启的相似，启发发人人们们通通过过认识认识部分来部分来认识认识整体，从有限中整体，从有限中认识认识无限。无限。(2)、分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复、分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂杂与与简单简单之之间间的新形的新形态态、新秩序。、新秩序。(3)、分形从一个特定的、分形从一个特定的层层面揭示了世界普遍面揭示了世界普遍联联系和系和统统一一的的图图景。景。第21页，本讲稿共33页4.分

16、形的特征分形的特征分形结构有分形结构有2个明显的特征：第个明显的特征：第1个特征是自相个特征是自相似性似性,即重复放大分形的细部即重复放大分形的细部(分形元分形元)又可看到又可看到本身相似结构的再度出现本身相似结构的再度出现,并且这种出现过程并且这种出现过程具有随机性具有随机性,只有大小的区别只有大小的区别,而没有形状的不而没有形状的不同同,亦即标度不变性；第亦即标度不变性；第2个特征是缺乏平滑性个特征是缺乏平滑性,分形总是凹凹凸凸分形总是凹凹凸凸,弯弯曲曲弯弯曲曲,到处都不连续到处都不连续,亦亦不可微分。不可微分。第22页，本讲稿共33页5.分形理论的表达分形理论的表达分形的特点由分形维数分

17、形的特点由分形维数(又称分数维或分维又称分数维或分维)来来描述，分形维数是局部与整体在形态、功能、描述，分形维数是局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间结构等方面相似性的量度。信息、时间与空间结构等方面相似性的量度。维数是几何学和空间理论的基本概念维数是几何学和空间理论的基本概念,根据常根据常识识,点是点是0维的维的,直线是直线是1维的维的,平面是平面是2维的维的,而而普通空间是普通空间是3维的，但用来描述分形特点的维维的，但用来描述分形特点的维数常常不是整数维数常常不是整数维,而是分数维。在土壤学中而是分数维。在土壤学中比较常见的分维有比较常见的分维有3种，即容量维数、信息维种，即容量维数

18、、信息维数和关联维数。数和关联维数。第23页，本讲稿共33页6.分形理论在本学科中的应用分形理论在本学科中的应用作为探索不规则结构和形态的工具，分形几何学被广泛应用于土作为探索不规则结构和形态的工具，分形几何学被广泛应用于土壤学和生态学研究中，用分形法研究土壤机械组成，已经成为土壤学和生态学研究中，用分形法研究土壤机械组成，已经成为土壤机械组成分析方法发展的趋势，在沙漠学中也有较多应用。分壤机械组成分析方法发展的趋势，在沙漠学中也有较多应用。分形理论认为：沙粒粒径分布具有分形特征，其分维值的大小差异形理论认为：沙粒粒径分布具有分形特征，其分维值的大小差异体现了沙物质分布的区域差异性；风沙地貌是

19、一种典型的分形几体现了沙物质分布的区域差异性；风沙地貌是一种典型的分形几何实体，沙丘分布具有分形特征，其分维值体现了风沙地貌的自何实体，沙丘分布具有分形特征，其分维值体现了风沙地貌的自相似性规律；风沙流结构不但是分形，而且是多重分形，其分维相似性规律；风沙流结构不但是分形，而且是多重分形，其分维值与风速有着极大的关系；荒漠值与风速有着极大的关系；荒漠-绿洲景观镶嵌结构具有分形特征，绿洲景观镶嵌结构具有分形特征，各景观要素的分维值大小代表着该要素镶嵌结构的复杂性和稳定性程各景观要素的分维值大小代表着该要素镶嵌结构的复杂性和稳定性程度；荒漠化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量荒度；荒

20、漠化过程具有多重分形特征，如果用降水和风速为标度度量荒漠化过程，可给出荒漠化复杂程度的描述。漠化过程，可给出荒漠化复杂程度的描述。第24页，本讲稿共33页7.几篇文章几篇文章武生智武生智,马崇武马崇武,苗天德苗天德.沙粒级配和沙丘分布的分形分沙粒级配和沙丘分布的分形分析析.中国沙漠中国沙漠,1999,19(3):247-250朱晓华朱晓华,杨秀春杨秀春.水旱灾害时间序列的分形研水旱灾害时间序列的分形研究方法究方法.安徽农业科学安徽农业科学,2000,28(1):35-36程先富程先富,史学正史学正.分形几何在土壤学中的应用分形几何在土壤学中的应用及其展望及其展望.土壤土壤,2003,35(6)

21、:461464赵文智赵文智,刘志民刘志民,程国栋程国栋.土地沙质荒漠化过程土地沙质荒漠化过程的土壤分形特征的土壤分形特征.土壤学报土壤学报,2002,39(6):877-881第25页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例8.18.1 自相似维数自相似维数 一般来说，如果在一般来说，如果在d d维空间中考虑一个维空间中考虑一个d d维的几维的几何对象把每个方向的尺寸都放大何对象把每个方向的尺寸都放大L L倍，就会得到一个倍，就会得到一个d d维体积为原来的维体积为原来的L Ld d倍的几何体。倍的几何体。这个定义一般适用于具有自相似性质的分形集合，常称这个定义一般适用于具有自相似性质的分

22、形集合，常称为自相似维数。为自相似维数。第26页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例8.1自相似性维数自相似性维数我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为立方体分别被等分为21、22和和23个相似的子图形，其个相似的子图形，其中的指数中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般，正好等于与图形相

23、应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的的相似的b个图形个图形所组成，有：所组成，有：aD=b,D=logb/loga的关系成立，则指数的关系成立，则指数D称为相似性维数，称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。可以是整数，也可以是分数。第27页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例8.28.2 盒维数盒维数一、盒维数的定义一、盒维数的定义 适用于不具有严格自相似的图形适用于不具有严格自相似的图形第28页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例8.28.2 盒维数盒维数例如，例如，对对于于Cantor三分集，用三分集，用长长

24、度度为为的的线线段段需要需要个个这样这样的的线线段才能覆盖，段才能覆盖，存在，从而三分存在，从而三分Cantor集的盒集的盒维维数数为为与它的自相似与它的自相似维维数相同。数相同。去覆盖。显然，对于去覆盖。显然，对于第29页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例8.38.3 Hausdorff Hausdorff维数维数第30页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例Hausdorff测测度是度是对长对长度、面度、面积积、体、体积积概念的推广。概念的推广。长长度、面度、面积积、体、体积积具有比例性具有比例性质质：当比例放大：当比例放大倍时，线段的长度放大倍时，线段的长度放大倍，平面面积放大倍，平面面积放大倍，空间物体的体积放大倍，而对于倍，空间物体的体积放大倍，而对于维维Hausdorff测度的放大倍数为测度的放大倍数为第31页，本讲稿共33页8.简单应用实例简单应用实例第32页，本讲稿共33页第33页，本讲稿共33页