常微分方程 全微分方程优秀课件.ppt

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1、常微分方程常微分方程 全微分全微分方程方程1第1页，本讲稿共40页1.全微分方程的定义设是一个连续可微的二元函数,则若若则有则有这是一大类可求解的微分方程这是一大类可求解的微分方程.2第2页，本讲稿共40页则称则称 为全微分方程。为全微分方程。若连续可微的二元函数 使得 此时，全微分方程 的解为 3第3页，本讲稿共40页例如,下列方程都是全微分方程:因为函数因为函数的全微分就分别是这三个方程的左端,他们的解分别是4第4页，本讲稿共40页但并不是所有的方程都能方便地找到对应的的函数,或者这样的就不存在.所以我们有三个问题需要解决:(1)(1)方程是否就是全微分方程方程是否就是全微分方程;(2)(

2、2)若方程是全微分方程若方程是全微分方程,怎样求它的解怎样求它的解;(3)(3)若方程不是全微分方程若方程不是全微分方程,有无可能有无可能将它转化为一个全微分方程来求解将它转化为一个全微分方程来求解?5第5页，本讲稿共40页是全微分方程的充要条件为是全微分方程的充要条件为:（2.3.3)证明：一证明：一.先证必要性先证必要性2.2.方程为全微分方程的充要条件方程为全微分方程的充要条件设设是全微分方程,则有函数 使得 中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理2.1 设函数 和 在一个矩形区域6第6页，本讲稿共40页故 成立。故有故有 计算的二阶混合偏导数:由于由于M(x,y)和和N(x,y)有连续一

3、阶偏导数有连续一阶偏导数,从而有7第7页，本讲稿共40页二二.再证充分性再证充分性构造函数 满足 设 满足 取取 待定，对上式关于y求偏导数得 在矩形R中取一点 令 是R的一个动点，8第8页，本讲稿共40页令令 所有与 相差一个常数的函数都满足 则找到一个满足则找到一个满足 的函数的函数 这种方法称为线积分法这种方法称为线积分法.9第9页，本讲稿共40页例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。3.3.全微分方程的积分全微分方程的积分由于 解：当一个方程是全微分方程时当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法我们有三种解法.(1)(1)线积分法线积分法:或或10第10页，本讲稿共40页故通解为其中

4、为任意常数所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。11第11页，本讲稿共40页(2)偏积分法的通解.例：求方程由于 解：假设所求全微分函数为,则有 求求 12第12页，本讲稿共40页而而 即即从而从而即即13第13页，本讲稿共40页解解:偏积分法偏积分法原方程的通解原方程的通解:练习14第14页，本讲稿共40页例：验证方程是全微分方程，并求它满足初始条件：的解。所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。由于由于 解：由于(3)凑微分法15第15页，本讲稿共40页方程的通解为：利用条件 得 最后得所求初值问题得解为：最后得所求初值问题得解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为16第16页

5、，本讲稿共40页通解：通解：解解:分组凑全微分法分组凑全微分法练习17第17页，本讲稿共40页解解是是全微分方程全微分方程将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解：原方程的通解：练习18第18页，本讲稿共40页一阶线性方程一阶线性方程解整理:法一法二 整理:练习19第19页，本讲稿共40页（1）偏积分法）偏积分法原方程的通解原方程的通解:20第20页，本讲稿共40页（2）凑全微分法）凑全微分法原方程的通解原方程的通解:21第21页，本讲稿共40页若一个方程不是全微分方程，若一个方程不是全微分方程，我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。4.4.积分因子积

6、分因子例:求方程解：故该方程不是全微分方程,对该方程两边同时乘以后得:22第22页，本讲稿共40页由于利用凑微分的方法可得通解为利用凑微分的方法可得通解为:如果有函数使方程是全微分方程。则是全微分方程。则一个积分因子。称为方程的23第23页，本讲稿共40页 观察法凭观察凑微分得到 常常见见的的全全微微分分表表达达式式可选用积分因子可选用积分因子24第24页，本讲稿共40页例:验证是方程 的积分因子,并求它的通解.解：对方程两边同乘以后得由于由于 故该方程是全微分方程,是一个利用凑微分的方法可得通解为:积分因子,25第25页，本讲稿共40页例:验证是方程 的一个积分因子，并求其通解。解：对方程有

7、解：对方程有对方程两边同乘以 后，再利用凑微分法通解为通解为:26第26页，本讲稿共40页 求方程解解 不是全微分方程不是全微分方程.将方程两端重新组合将方程两端重新组合,观察法观察法,积分因子积分因子原方程原方程练习27第27页，本讲稿共40页解解将方程两端重新组合将方程两端重新组合,求方程不是全微分方程不是全微分方程.积分因子积分因子,原方程的通解原方程的通解:练习28第28页，本讲稿共40页从上面的例子可看出,当确定了积分因子后,很容易求出其通解,但问题是:(1)(1)积分因子是否一定存在积分因子是否一定存在?(2)(2)如何求积分因子如何求积分因子?这两个问题是十分困难的问题这两个问题

8、是十分困难的问题,一般来说无法一般来说无法给出答案,但对一些特殊的函数或方程是可以给出一些充分条件的.29第29页，本讲稿共40页定理2.2 微分方程有一个仅依赖的积分因子得充要条件是:于有关；仅与因子得充要条件是同理，方程有一个仅依赖于的积分仅与有关。30第30页，本讲稿共40页即即上式左端只与有关,故右端也只能是的函数.反之,若方程的右端函数仅与有关,我们取证明:仅证第一部分.不妨设上式就是方程的一个积分因子上式就是方程的一个积分因子,故定理得证故定理得证.31第31页，本讲稿共40页例：求微分方程 的通解。解：由于故它不是全微分方程。故它不是全微分方程。利用积分因子的表达式利用积分因子的

9、表达式得 又因为 它与 无关。由定理知，方程有一个仅与有关的积分因子。32第32页，本讲稿共40页对方程两边同乘以积分因子 得 这是一个全微分方程。分组凑微分这是一个全微分方程。分组凑微分,得方程通解得方程通解:33第33页，本讲稿共40页注:积分因子是求解微分方程的一个重要方法,绝大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决.但是求一个微分方程的积分因子比较困难,需要灵活的方法和技巧.34第34页，本讲稿共40页熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子例如:当一个微分方程中出现时,函数都有可能成为其积分因子.35第35页，本讲稿共40页例.求微分方程的通解

10、.解解:因为因为所以方程不是全微分方程所以方程不是全微分方程.将方程的左端重新分组得将方程的左端重新分组得:选择作为方程的积分因子.方程两边同时乘以方程的通解为方程的通解为36第36页，本讲稿共40页设微分方程左端可以分为两组,即其中第一组和第二组各有积分因子其中第一组和第二组各有积分因子和使得使得由于对任意可微函数和是第一组的积分因子是第一组的积分因子,是第二组的积分因子是第二组的积分因子,37第37页，本讲稿共40页例：求微分方程的通解。解：将方程左端分组解：将方程左端分组 前一组有积分因子和通积分 后一组有积分因子和通积分 如果能选取的和使得则就是方程的一个积分因子.38第38页，本讲稿共40页从而得原方程的积分因子为从而得原方程的积分因子为 用它乘原方程得用它乘原方程得 所以方程的通解为所以方程的通解为:外加特解 和 我们要寻找可微函数 使 只要取只要取 39第39页，本讲稿共40页P.62 3（1,3）作 业2（1,3）,4,6（3,4）40第40页，本讲稿共40页