备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题.doc

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1、1专题专题 6060 特殊值法解决二项式展开式系数问题特殊值法解决二项式展开式系数问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数 n，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下对于二项式系数问题，往往利用“赋值法”.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立.所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式

2、3、常用赋值举例：（1）设011222nnnnrn rrnn nnnnnabC aC abC abC abC b，令1ab，可得：012nn nnnCCC 令1,1ab ，可得： 012301nn nnnnnCCCCC ，即：02131nn nnnnnnCCCCCC（假设n为偶数） ，再结合可得：0213112nnn nnnnnnCCCCCC（2）设 2 01221nn nf xxaa xa xa x 令1x ，则有： 0122 111n naaaaf ，即展开式系数和 令0x ，则有： 02010naf，即常数项 令1x ，设n为偶数，则有： 01231211n naaaaaf 021311

3、nnaaaaaaf，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由即可求出02naaa和131naaa的值.【经典例题经典例题】例 1.【山东省 2019 年普通高校招生（春季）考试】在的展开式中，所有项的系数之和等于（ ）A. 32 B. -32 C. 1 D. -1【答案】D2【解析】分析：令 x=y=1，则得所有项的系数之和.详解：令 x=y=1，则得所有项的系数之和为，选 D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.例 2.【2019 年【衡水金卷】 （四） 】在二项式8ba

4、xx的展开式中，所有项的系数之和记为S，第r项的系数记为rP，若893S P，则a b的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 2 或2 D. 2 或4【答案】D例 3.已知92112 0121112111xxaaxaxax，则1211aaa的值为（ ）A. 0 B. 2 C. 255 D. 2【答案】B【解析】：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x ，得到01110aaa，只需再求出0a即可.令1x 可得02a ，所以12112aaa答案：B例 4.设4234 0123422xaa xa xa xa x，则22 02413aaaaa的值为（

5、 ）A. 16 B. 16 C. 1 D. 1【答案】A3【解析】思路：所求22 024130123401234aaaaaaaaaaaaaaa，在恒等式中令1x 可得：40123422aaaaa，令1x 时40123422aaaaa，所以4422 02413222216aaaaa答案：A例 5. 【2019 届河南省郑州市一模】在3xx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 3：2，则2x的系数为（ ）A. 50 B. 70 C. 90 D. 120【答案】C令2r 得2222 35390TC xx所以2x的系数为90选 C例 6.在311nxx的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于 1

6、024，则中间项的二项式系数是（ ）A. 462 B. 330 C. 682 D. 792【答案】A【解析】311nxx的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于12102411nn，则中间项的二项式系数是56 1111462CC.故选 A例 7.【2019 届百校联盟 TOP20 四月联考】已知的展开式中所有偶数项系数之和为 496，则展开式中第 34项的系数为_.【答案】270【解析】分析：利用赋值法得到两式相减即故答案为：270例 8.【2019 届浙江省诸暨市高三上期末】已知，则_；则_【答案】 1 60【解析】令 得：1=因为 ，所以 例 9.【2019 届衡水金卷全国大联考】已知的展

7、开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 ， ，则的最小值为_【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为 16.5例 10.若52345 01234523xaa xa xa xa xa x，则0123452345aaaaaa的值是（ ）A. 10 B. 20 C. 233 D. 233【答案】D令1x 可得：12345102345aaaaa而在52345 01234523xaa xa xa xa xa x中，令0x 可得：5 03243a 0123452345233aaaaaa 答案：D【精选精练精选精练】1 【2019 届福建省莆田市第二次检测】若（）

8、展开式的二项式系数和为 32，则其展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项.详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选 B.2 【2019 届安徽省合肥市三模】已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为6A. 64 B. 32 C. D. 【答案】B，解得，二项式系数之和为，故选 B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.

9、二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3 【2019 届四川省雅安市三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）A. B. C. D. 【答案】A7故选 A.4 【2019 届河北衡水金卷模拟一】61231xx的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A. 73 B. 61 C. 55 D. 63【答案】A【解析】令1x ，得61231264xx ，而常数项为01 663

10、29CC ，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973 ，故选 A.5在的展开式中，各项系数的和是_【答案】1. 【解析】分析：令，即可得到二项展开式的各项系数的和详解：由题意，令，即可得到二项展开式的各项系数的和为点睛：本题主要考查了二项展开式各项系数的和求解，其中正确合理赋值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6 【2019 届贵州省凯里市第一中学四模】二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为 32，则展开式中的第 4 项为_【答案】【解析】分析：先由奇数项的二项式系数之和为 32 确定 n 值，然后根据二项展开式通项公式求出第 4 项即可.8详解：二项式的展开式中奇数项的

11、二项式系数之和为 32，即展开式中的第 项为故答案为：7 【2019 届安徽省安庆市二模】如果13n xx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中41 x的系数是_.【答案】-1898若13n xx的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 64，则n _；该展开式中的常数项是_【答案】 3 -27【解析】 （1）因为系数的绝对值之和为 64，则当1x 时，有3 164n，所以3n ；（2） 3 3332 1331331kkkkkkk kTCxCxx ，所以1k ，常数项为 112 33127C .9.【2019 届北京市海淀区高三上期末】已知51nx展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之

12、比为64:1，则n _【答案】6【解析】令二项式中的 x=1 得到展开式中的各项系数的和 4n又各项二项式系数的和为 2n据题意得42642n n n解得 n=69故答案为：610 【2019 届浙江省杭州市学军中学 5 月模拟】设，则_，_【答案】 . 80.点睛：（1）本题主要考查二项式定理求值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和观察分析能力.(2)本题解题的关键是 .11 【腾远 2019 年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则_，此多项式的展开式中含 的奇数次幂项的系数之和为_【答案】 -2 -32【解析】分析：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，分别令和，则两式相减，即可求解.详解：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，令，则；令，则，两式相减，则展开式中含 奇次幂的系数之和为.12 【2019 年天津市河西区三模】设，则_【答案】21110