2022-2023学年江苏省南京市2023届高三上学期期末考试模拟数学试卷含答案.pdf

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1、南京市 2023 届高三年级期末调研模拟 数学 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M=x+1|-1x3，N=2x|0 x2，则 MN=（）A.x|0 x4 B.x|0 x4 C.x|1x4 D.x|1x4 2.若复数 z 满足|2,3zzz z，则 z2的实部为（）A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.若等差数列an的前 5 项和为 75，a4=2a2，则 a9=（）A.40 B.45 C.50 D.55 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2），且 P（-15），则 P（-1X5）=（）A.0.

2、5 B.0.625 C.0.75 D.0.875 5.若正 n 边形 A1A2An的边长为 2，2121120 3niiiiiA AAA，则 n=（）A.6 B.8 C.10 D.12 6.已知 O 为坐标原点，椭圆 C：2221(1)xyaa，C 的两个焦点为 F1，F2，A 为 C 上一点，其横坐标为1，且|OA|2=|AF1|AF2|，则 C 的离心率为（）A.14 B.24 C.12 D.22 7.若 sin=2sin，sin（+）tan（-）=1，则 tantan=（）A.2 B.32 C.1 D.12 8.若函数 f（x）的定义域为 Z，且 f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（

3、y）+f（-y），f（-1）=0，f（0）=f（2）=1，则曲线 y=|f（x）|与 y=log2|x|的交点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知点cos,sin,2cos,3sinAB，其中,0,2，则（）A.点A的轨迹方程为221xyB.点B的轨迹方程为22143xy C.AB的最小值为31 D.AB的最大值为31 10.记函数 cos(0)4f xx的最小正周期为T，且*23nTnnN.若6x为 f x的零点，则

4、（）A.23nn B.321n C.2x可能为 f x的零点 D.76x可能为 f x的极值点 11.对于伯努利数nBnN，有定义：001,(2)nknnkkBBC B n.则（）A.216B B.4130B C.6142B D.230nB 12.已知函数 1sin,(,)()(2)2nixf xg x nf xi n，则（）A.,40g xn B.,420nng xf x C.1,0g xnf nf x D.,0g xn nf nf x 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有 5 张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色

5、的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为_.14.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：214yx的焦点为 F，过点 O 的直线与 C 交于点 A，记直线 OA，FA 的斜率分别为 k1，k2，且 k1=3k2，则|FA|=_.15.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAB平面 PCD，则 P-ABCD 体积的最大值为_.16.若函数 f（x）=aex-sinx，g（x）=aex-xsinx，且 f（x）和 g（x

6、）在0，一共有三个零点，则 a=_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10 分）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（ai，bj），其中 i，jN*.记 pij=P（X=ai，Y=bj）是随机变量（X，Y）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：（X，Y）b1 b2 a1 p11 p12 a2 p21 p22 现将 3 张卡片等可能地放入 A，B 两盒，记 A 盒中的卡片数为 X，B 盒中的卡片数为 Y，求（X，Y）的联合分布列.18.（12 分）在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，114,6AC

7、ABAC.（1）求四面体 ACB1D1体积的最大值；（2）若二面角 B-AC-D1的正弦值为53，求 ABCD-A1B1C1D1的体积.19.（12 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为直径的三个圆的面积依次为 S1，S2，S3.已知 S1+S2-S3=A+B.（1）若4C，求ABC 的面积；（2）若ABC 的面积为2 33，求ABC 周长的最小值.20.（12 分）已知数列an，bn满足 a1=b1=1，nnab是公差为 1 的等差数列，1nnbb是公差为 2 的等差数列.（1）若 b2=2，求an，bn的通项公式；（2）若 b2N*，2nbaa

8、，证明：121113nbbb.21.（12 分）已知双曲线 C：2221(0)yxbb的准线方程为12x ，C 的两个焦点为 F1，F2.（1）求 b；（2）若直线 l 与 C 相切，切点为 A，过 F2且垂直于 l 的直线与 AF1交于点 B，证明：点 B 在定曲线上.22.（12 分）已知函数2()ln,()2ln2af xaxx g xxx.（1）若 f（x）g（x），求 a 的取值范围；（2）记 f（x）的零点为 x1，x2（x1x2），g（x）的极值点为 x0，证明：1024xexx.南京市 2023 届高三年级期末调研模拟 数学 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C

9、B C D D A B 二、多选题 9 10 11 12 ABC ABD ACD ACD 三、填空题 13 25 14 52 15 43 16 sin1e或42e2 四、解答题 17.解：由题意，,X Y的所有可能取值为 0,3,1,2,2,1,3,0，且.330103303122131113C,C2828pppp，所以,X Y的联合分布列为：,X Y 3 2 1 0 3 18 2 38 1 38 0 18 18.解：（1）设1,ABa BCb BBc，且111cosAC ABACABCAB，由余弦定理得：214AC ABa，则2a，又22216ACabc，所以222bc，且112222233

10、23ACB DbcVbc，即四面体11ACB D体积的最大值为23；（2）过点D作AC的垂线，垂足为E，连接1D E，因为1DD 平面,ABCD AC 平面ABCD，所以1DDAC，且ACDE，又11,DEDDD DE DD平面1DED，所以AC 平面1DED，且1D E 平面1DED，所以1ACD E，即1DED为二面角1DACD的平面角，记二面角1BACD的平面角为，则二面角1DACD的平面角为，所以24142165sin328DDccD Ecc，则221100cc，且22c，所以1c，且1 1 1122ABCD A B C DVbc，所以1111ABCDABC D的体积为 2.19.解：

11、（1）记ABC的面积为S，因为222123344SSSabcABC，由余弦定理，则2222cos23abcabCab，所以11323sin22242SabC；（2）因为20cosCabC，所以02C，且 1sintan2CSabCCf C，又 2tan0cosCCfCC，所以 f C在0,2单调递增，且 2 33f C，从而8,33Cab，由余弦定理，22282cos3abCabc，所以2228882333cabab，即2 63c，且4 623abab，当且仅当2 63abc时，取等号，所以ABC周长的最小值2 632 63.20.解：（1）因为111,nnaabb是公差为 1 的等差数列，所

12、以nnanb，即nnanb，且211bb，所以121nnbbn，累加得211nbbn，所以2(1)1nbn，则3222nnanbnnn；（2）因为1223nnbbnb，累加得21122nbbnnnb，所以22441nbnnnb，则322441nannnn nb，则 21221,254baabf b，且 226 104 0fbb，所以21baa，且21baa，所以21b，所以233nbnn，且22121,3332nbbbnnnn，从而22111113333221nnbnnnnnn，所以1211113331nnbbbn，当1n 时，1113,2nb 时，121123bb，所以121113nbbb.

13、21.解：（1）设C的半焦距为c，且C的准线方程为12x ，所以2112acc，即2c，所以223bca；（2）由（1）知22:13yC x，设点0012,2,0,2,0A xyFF，首先证明：00:13y yl x x，并将l斜率不存在的情况舍弃，联立2213yx 消去x得：22002330yy yx，且220044 330yx，所以00:13y yl x，即00033xyxyy，所以直线002100:2,:232yyF B yxF A yxxx，联立直线21,F B F A，解得0000222,1212xyBxx，且0022112xx，注意到222000221xyx，且0000224221

14、212xxxx，从而22000042241212xyxx，所以点B的轨迹方程为22(2)4xy，其中1x ，即点B在定曲线上.22.解：（1）记 21ln202ah xfxg xxaxx，当2a时，取102f，不符条件；当2a 时，221122122aaxaxaxxh xxx ，令()0,()0h xh x，所以 h x在10,2单调递减，在1,2单调递增，所以11 ln21 0224aah，即44ln212ln2a，则a的取值范围为44ln2,12ln2；（2）因为 22agxx，令 0gx，则00,4ee4axxa ，且 12fxaxx，令 0,0fxfx，所以 f x在10,2a单调递增，在1,2a单调递减，且1111ln02222faa，所以102ea，取1x，则 10fa，所以1211e2xxa，取1exa，则2111lneeefaaa，记1,02etta ，所以 lnetf tt，且 110eftt，所以 f t在0,2单调递减，所以 0f t，从而10221e4exaxxx.