广东省惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题含答案.pdf

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1、数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2023 届高三第届高三第三三次调研考试试题次调研考试试题 数数 学学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5

2、分，共分，共 40 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，只有一项符合题目要求选项中，只有一项符合题目要求，选对得，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1已知集合0,1,2A，11,Bx，且BA，则实数x（）A12B1 C12或 1 D0 2数列 na为等差数列，4a、2019a是方程2430 xx 的两个根，则 na的前 2022 项和为（）A.1011B.2022C.4044D.80883“2m”是“方程22121xymm表示双曲线”的（）条件 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4已知实数0abc，则下列结论一定正确的是（）A.

3、aabcB.1122acC.11acD.22ac5已知互不重合的三个平面、，其中a，b，c，且abP，则下列结论一定成立的是（）A.b 与 c 是异面直线B.a与 c 没有公共点C.bcD.bcP数学试题 第 2 页，共 6 页 6若函数()xf xa（0a且1a）在R上为减函数，则函数log(|1)ayx的图象可以是（）A.B.C.D.7在“2，3，5，7，11，13”这 6 个素数中，任取 2 个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（）A.15 B.310 C.25 D.12 8已知0,2x，且sinaxxbx恒成立，则ba的最小值为（）A.1 B.2 C.12 D.21 二二、多多项选择

4、题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项选项中，中，有多有多项符合题目要求项符合题目要求。全部选对得。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知复数1 izi，则下列选项正确的是（）Az的虚部为 1 B 2z C2z为纯虚数 Dz在复平面内对应的点位于第一象限 10在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有 20000人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100分）作为样本进行统计，样本容

5、量为n按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分数学试题 第 3 页，共 6 页 布直方图如图所示，其中成绩落在区间50,60内的人数为16 则下列结论正确的是（）A样本容量1000n B频率分布直方图中0.030 x C估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6分 D该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的 学生肯定能得到此称号 11已知函数 32xxf xxR，则下列结论正确的是（）A函数 f x在0，上单调递增 B存在aR，使得函数 xf xya为奇函数 C任意xR，1f x D函数 g xf xx有且仅有 2 个零点

6、12画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22，1F、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线220:layabbx，则下列结论正确的是（）A直线l与蒙日圆相切 B椭圆C的蒙日圆的方程为2222xya C记点A到直线l的距离为d，则2dAF的最小值为4 36 23b D若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为28b 数学试题 第 4 页，共 6 页 三三、填空题：本题共、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分

7、，共20分，其中分，其中16题第一个空题第一个空2分，第二个空分，第二个空3分。分。13已知平面向量(2,4)a，(,1)b，若a与b垂直，则实数_ 14在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点12，则2cossin2_.15在圆22260 xyxy内，过点03E，的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD的面积为_.16用数学的眼光看世界就能发现数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 fx是 f x的导函数，fx是 fx的导函数，则曲线 yf x在点,x f x处的曲率为 3221xffKx则曲线 f xx在（

8、1，1）处的曲率为_；正弦曲线 sing xx（xR）曲率的平方2K的最大值为_ 四四、解答题：、解答题：本题共本题共 6 小题，小题，共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）数列 na中，12a，1=na21na （1）求证：数列1na 是等比数列；（2）若nnban，求数列 nb的前 n 项和nT 18（本小题满分 12 分）条件1cos2aBcb，条件sinsinsinsinACBCbac，条件3 sinsin2B CbaB 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答 已知ABC的内角 A、

9、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ，（1）求A；（2）若AD是BAC的角平分线，且1AD，求2bc的最小值（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）数学试题 第 5 页，共 6 页 19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，2PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（1）证明：平面AEF平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为2 55，求点P到平面AEF的距离 20（本小题满分 12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树

10、木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2)m和材积量（单位：3)m，得到如下数据：样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积ix 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量iy 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得10210.038iix，10211.6158iiy，1010.2474iiix y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数

11、（精确到0.01)；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横 截面积总和为2186m已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数 据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 附：相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，1.8961.377 数学试题 第 6 页，共 6 页 21（本小题满分 12 分）已知函数()2lnf xx ax（1）当1a 时，求函数()yf x的单调区间；（2）若函数()(2)exf xaxx恒成立，求实数 a 的取值范围 22（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab 的右焦点

12、为F，点2,0A 在椭圆上且|3AF.（1）求椭圆C的方程；（2）点P、Q分别在椭圆 C 和直线4x上，OQAP，M为AP的中点，若T为直线OM与直线QF的交点是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由 数学试题答案 第 1 页，共 15 页 惠州市惠州市 2023 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A D C A D 1.【解析】由集合元

13、素的互异性及子集的概念可知12x，解得实数12x 故选 A2【解析】420194aa所以 na的前 2022 项和，120222022420192022()1011()1011 440442aaSaa，故选 C 3【解析】因为方程22121xymm表示双曲线，所以210mm，解得1m或2m，即,12,m ，所以“2m”是“方程22121xymm表示双曲线”的充分不必要条件，故选 B 4【解析】A 项中，因为0abc，所以0aabc，故 A 项正确；B 项中，因为函数12xy在R 上单调递减且ac，所以1122ac，故 B 项错误；C 项中，因为0ac，则110ac，故 C 项错误；D 项中，若

14、12ac，则22ac，故 D 项错误.故选 A5【解析】abP，Pa Pb，ab，PPP，c，Pc，bcP，acP，如右图所示：故 A，B，C 错误；故选 D 6【解析】由函数()xxf xaa在R上为减函数，可知01a，函数log(|1)ayx的定义域为|1x x 或1x，故排除 A，B，又log(1),1log(1)log(1),1aaaxxyxxx ，可知log(|1)ayx在(1,)单调递减，故排除 D.故选 C 7【解析】由题意得，6 个数中任取 2 个数，共有2615C 种可能，2 个素数之和仍为素数，则可能为（2和 3）、（2 和 5）、（2 和 11）共有 3 种可能，所求概率

15、51315P.故选 A数学试题答案 第 2 页，共 15 页 8【解法一】【解法一】数形结合，当0,2x时，曲线sinyx介于直线PA和PB之间,即2sinxxx，又因为sinaxxbx恒成立,所以2axxxbx且，即21ab且 minmaxmin21baba.故选 D 【解法二】【解法二】由sinaxx，0,2x得：sinxax；令 sin02xf xxx，2cossinxxxfxx，令 cossin02g xxxxx，则 sin0g xxx，g x在0,2上单调递减，00g xg，则 0fx，f x在0,2上单调递减，22f xf，2a；令 sin02h xx bxx，则 cosh xx

16、b，02x，0cos1x；当0b时，0h x，h x在0,2上单调增 00h xh，不合题意；当1b时，0h x，h x在0,2上单调减，00h xh，满足题意；当01b时，00,2x，使得00h x，又 h x在0,2上单调递减，当00,xx时，0h x，h x在00,x上单调递增，则 00h xh，不合题意；综上所述minmaxmin21baba 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AC BC ABC AC 数学试题答案

17、 第 3 页，共 15 页 9【解析】211iiiziii ，z 的虚部为 1，2z，22iz 为纯虚数，1 iz 在复平面内对应的点位于第四象限，故选 AC 10【解析】对于 A：样本容量161000.016 10n，故 A 不正确；对于 B：因为0.0160.040 0.010 0.004101x，解得0.030 x，故 B 正确；对于 C：学生成绩平均分为0.16 55+0.30 65+0.40 75 0.10 85 0.04 9570.6，C 正确；对于 D：因为 100.004 0.01080 780.0400.220.20，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成

18、绩为78分的学生不能得到此称号，故 D 不正确，故选 BC 11【解析】对于 A：33222lnlnn3n3ll 22xxxxfx 因为0 x，所以21x，312x，因此3ln3ln3ln22x，故 0fx，所以 f x在0，上单调递增，故 A 正确；对于 B：令6a，则6226xxy，令 6226xxg x，定义域为R，关于原点对称，且 62262266xxxxg xgx，故 g x为奇函数，B 正确 对于 C：0 x时，32102xxf x；0 x时，0f x；0 x时，21xf x；C 正确；对于 D：0 x时，0g x，0 x时，3322102xxxxg x，0 x时，3230212x

19、xxxg x，所以 g x只有 1 个零点，D 错误；故选：ABC 12【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为xa、yb，所以，点,ab在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为2222xyab，因为2222222212ccabbeaaaa，可得222ab.数学试题答案 第 4 页，共 15 页 对于 A 选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为222222abdabab，故l与蒙日圆相切，A 对；对于 B 选项，C的蒙日圆的方程为2222232xabya，B 错；对于 C 选项，由椭圆的定义可得1222 2AFAFab，则212 2AFbAF，所以212 2bdFdAFA，因为22cab，直线l

20、的方程为230 xyb，点1,0Fb到直线l的距离为44 333bdb，所以214 36 22 22 23dAbdAFbdbF，当且仅当1AFl时，等号成立，C 对；对于 D 选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以22222 312MNMHbb，所以矩形MNGH的面积为22262MNMHSMNMHb，D 错.故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中分，其中16题第一个空题第一个空2分，第二空分，第二空3分。分。132；141；156 10；162 525（2 分分），1（3 分分）13【解析

21、】因为a与b垂直，所以0a b，即240，解得2 14【解法一】【解法一】由三角函数的定义可知sin2 55，cos55，所以22252 55c1sin22sin cos()2oscos555 【解法二】【解法二】因为角的终边经过点12，所以tan221，所以222222cosc12sin cos122tan1 2 2sin2sincostan11os 15【解析】圆的标准方程为221310 xy，数学试题答案 第 5 页，共 15 页 则圆心13，半径10r，由题意知最长弦为过 E 点的直径，最短弦为过 E 点和这条直径垂直的弦，即 ACBD，且2 10AC，圆心和 E 点之间的距离为 1，

22、故2221016BD，所以四边形 ABCD 的面积为112 10 66 1022SAC BD.故答案为：6 10 16【解析】（1）由 12fxx，3214fxx，则 333222221122 5425511112fKf，（2）由 cosg xx，singxx，则322sin1 cosxKx，2223322sinsin1 cos2sinxxKxx，令22 sintx，则1,2t，故232 tKt，设 32 tp tt，则 32643226ttttp ttt，在1,2t时 0p t，p t递减，所以 max11p tp，2K最大值为 1.故答案为：2 525，1 四、解答题：本题共四、解答题：本

23、题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分，其中第一小问 4 分，第二小问 6 分）【解析】（1）因为121nnaa，所以112(1)nnaa，且2na 1 分 得1121nnaa 2 分 又11 1a 3 分 所以数列1na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 4 分【注：无首项和公比的说【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】明，本得分点不得分】（2）由（1）可知 1*12nnanN，1 分 数学试题答案 第 6 页，共 15 页 所以121nnnbann 2 分 又由题知 12

24、3nnTbbbb 所以0121(21 1)(22 1)(23 1)(21)nnTn 0121(2222)(1 2 3)nnn 3 分 11 22(1)1 22nn nn 5 分【注：等差等比求和公式各【注：等差等比求和公式各 1 分】分】23212nnn 23212nnnnT 6 分 18（本小题满分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【解析】（1）选 因为sinsinsinsinACBCbac，由正弦定理2sinsinsinabcRABC 所以acbcbac 1 分 即222bcabc,.2 分 由余弦定理222cos2Abcbca .3 分 212bbcc 4 分 因为(0

25、,)A，5 分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：无此步骤，本得分点不得分】所以23A .6 分 选 因为3 sinsin2BCbaB，由正弦定理2sinsinsinabcRABC且AB C 所以3sinsinsinsin2ABAB，.1 分 即3sincos2sincossin222AAABB .3 分 而(0,),sin0,cos02AA BB、，4 分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：无此步骤，本得分点不得分】数学试题答案 第 7 页，共 15 页 所以3sin22A .5 分 因为(0,)22A，所以23A，即23A.6 分 选 因为1cos2aBcb，由正弦定理2sinsins

26、inabcRABC 所以1sin cossinsin2ABCB,1 分 即1sin cossin()sin2ABABB,2 分 所以1cossinsin2ABB,.3 分 而(0,),sin0BB，.4 分 故1cos2A,.5 分 因为(0,)A，所以23A .6 分【备注：从备注：从 3 个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为】（2）【解法一解法一】如图，过D分别作/DEAB，/DFAC 由题意可知ADE和ADF都是边长为 1 的正三角形1 分 由/DEAB得DECDABCB2 分 所以1CDcCB，即CBCDc 同理，DFBD

27、ACBC，所以CBBDb 由CBCDDB得CBCBCBcb，即111bc 3 分 因此1122(2)()3cbbcbcbcbc 4 分 23 23 2 2cbbc ，5 分 当且仅当22 1cb时取等号 6 分【注注：无此步骤无此步骤，本得分点不本得分点不得得分分】所以2bc的最小值为3 2 2.【解法解法二二】由题意可知，ABCABDACDSSS，.1 分 由角平分线性质和三角形面积公式得，1211sin1 sin1 sin232323bcbc 2 分【注注：面积公式正确可面积公式正确可得得 1 分分】A B C D E F 数学试题答案 第 8 页，共 15 页 化简得bcbc，即111b

28、c，.3 分 因此1122(2)()3cbbcbcbcbc 4 分 23 23 2 2cbbc ，5 分 当且仅当22 1cb时取等号 6 分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：无此步骤，本得分点不得分】所以2bc的最小值为3 2 2.19（本小题满分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【解析】（1）【解法一】【解法一】因为PA 底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.1 分 因为ABCD为正方形，所以ABBC，又因为PAABA，PA平面PAB，AB 平面PAB【见注 1】所以BC 平面PAB.2 分 因为AE 平面PAB，所以AEBC.3 分 因为PAAB，E为线段P

29、B的中点，所以AEPB，.4 分 又因为PBBCB，PB 平面PBC，BC平面PBC【见注 1】所以AE 平面.PBC .5 分 又因为AE 平面AEF，所以平面AEF 平面PBC.6 分【注 1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣 1 分】【注 1：证明线面垂直过程中，无写出三个辅助条件，扣 1 分】【解法二】【解法二】因为PA 底面ABCD，PA平面PAB，所以平面PAB 底面ABCD .1 分 又平面PAB底面ABCDAB，BCAB，BC平面ABCD，【见注 1】所以BC 平面.PAB .2 分 因为AE 平面PAB，所以.AEBC .3 分 因为PAAB，E为线段PB的中点，所

30、以.AEPB.4 分 因为PBBCB，PB 平面PBC，BC平面PBC【见注 1】所以AE 平面.PBC.5 分 又因为AE 平面AEF，所以平面AEF 平面PBC .6 分 数学试题答案 第 9 页，共 15 页【解法解法三三】因为PA 底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，以,AB AD AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，1 分 则0,0,0,2,0,0,2,2,0,ABC0,2,0,0,0,2,1,0,1,DPE 设(0,2)BFt t，则2,0Ft 所以1,0,1,AE 2,0AFt，2,0,20,2,0PBBC，2 分 设111,x y

31、 zn为平面AEF的法向量，则0,0,AEAFnn所以11110,20,xzxty取12,y 则11,xt zt,则,2,tt n3 分 设222,x y zm为平面PBC的法向量，则0,0,PBBCmm所以222220,20,xzy取21,x 则220,1yz,则1,0,1m4 分 因为00tt n m，所以nm 5 分 所以平面AEF 平面PBC .6 分 （2）【解法解法一一】（基于（1）解法一、二）因为PA 底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，以,AB AD AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，1 分 则0,0,0,2,0,0AB,0,0

32、,2,1,0,1,PE 易知0,1,0u是平面PAB的法向量 2 分 设(0,2)BFt t，则2,0Ft，所以1,0,1,AE 2,0AFt，所以2|2 5|cos,|15|AFAFAFuuu 即2554tt，解得1t，所以2,1,0AF，3 分 设111,x y zn为平面AEF的法向量，则0,0,AEAFnn 所以平面AEF的法向量1,2,1 n，.4 分 又因为(0,0,2)AP 所以点P到平面AEF的距离为|dAP nn，5 分 x y z x y z 数学试题答案 第 10 页，共 15 页 2636 所以点P到平面AEF的距离为63.6 分【解法二】【解法二】（基于（1）解法一、

33、二）由（1）可知，BAF是直线AF与平面PAB所成的角，所以222 5cos5ABABBAFAFABBF 1 分 解得1122BFABBC，故F是BC的中点.2 分 所以225AFABBF，122AEPB，223EFAFAE AEF的面积为1622AEFSAE EF 3 分 因为2PAAB，PAE的面积为11124PAEPABSSPA AB4 分 设点P到平面AEF的距离为h，则有 16113633P AEFAEFF PAEPAEVShhVSBF .5 分 解得63h 所以点P到平面AEF的距离为63.6 分【解法三】【解法三】（基于（1）解法三）易知0,1,0u是平面PAB的法向量 1 分

34、所以2|2 5|cos,|15|AFAFAFuuu，即2554tt，解得1t 2 分 所以1,2,1 n，.4 分 又因为(0,0,2)AP 所以点P到平面AEF的距离为|dAP nn，5 分 数学试题答案 第 11 页，共 15 页 2636 所以点P到平面AEF的距离为63.6 分 20（本小题满分 12 分，其中第一小问 3 分，第二小问 5 分，第三小问 4 分）【解析】（1）样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610 x 1 分 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y 2 分 据此可估计：该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，

35、平均一棵的材积量为30.39m 3 分【注注：最终结果最终结果无单位扣无单位扣 1 分分】（2）1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010 xxyyx yxyrxxyyxxyy 1 分 22(0.038 10 0.06)(1.6158 10 0.39)0.2474 10 0.06 0.39 2 分 0.01340.0001896 3 分 0.01340.970.01377 4 分 则0.97r 5 分【备注：【备注：运用运用参考公式计算参考公式计算过程过程可通过可通过下面的下面的列表列表进行进行分步分步】：】：【备注：【备注：运用运用变

36、形公式计算变形公式计算过程过程可通过下面的可通过下面的列表列表进行分步进行分步】：】：数学试题答案 第 12 页，共 15 页 （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3 1 分 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y 2 分 解得=1209Y 3 分 则估计该林区这种树木的总材积量为1209m3 4 分 21（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）函数()f x的定义域是(0,)1 分 当1a 时，1()2fxx 2 分 令()0f x得12x，所以函数()f x在1,2上单调递增；3 分 令()0f x得10

37、2x，所以函数()f x在10,2上单调递减.4 分 所以函数()f x的单调递增区间为1,2，单调递减区间为10,2.（2）【解法一】【解法一】()(2)exf xaxx恒成立 等价于eln(e)0 xxxax恒成立，1 分 令()e(0),xtg xxx 因为()(1)e0 xg xx恒成立，所以()g x在(0,)上单调递增，所以()(0)0g xg，即0,t 2 分 所以()(2)exf xaxx恒成立，等价于ln0tat恒成立 令()ln(0),h ttat t 问题等价于()0h t 恒成立 3 分 若0a时，()0h tt 恒成立，满足题意；4 分 数学试题答案 第 13 页，共

38、 15 页 若0a时，则101ae，所以1111ln10()aaaah eeaee，不满足题意；5 分 若0a时，因为()1,ah tt 令()0h t，得ta，(0,)ta，()0h t，()h t单调递减，(,)ta，()0h t,()h t单调递增，所以()h t在ta处取得最小值()(1 ln)h aaa，6 分 要使得()0,h t 恒成立，只需()(1 ln)0h aaa，解得0ea 7 分 综上：0,ea 8 分【解【解法二法二】()(2)exf xaxx恒成立，等价于e(ln)0 xxa xx，1 分 令()e(ln)(0)xh xxa xx x 1()(1)e1(1)exxa

39、h xxaxxx2 分 若0a时，()(1)e0 xh xx，所以()h x在(0,)上单调递增，(0)0h，即()0h x，满足e(ln)0 xxa xx，3 分 若0a时，则0,()0ah x，所以()h x在(0,)上单调递增，当x趋近于0时，()h x趋近于负无穷，不成立，故0a不满足题意4 分 若0a时，令()0,e,xh xax 令 exak xx，因为 k x在0,上单调递增，且当x 时，k x，当0 x时，k x，所以0000(0,),0,exxh xax，5 分 00,()0 xxh x，()h x单调递减，0,()0 xxh x，()h x单调递增，只需00min00000

40、00()elne1ln0 xxh xh xxa xxxxx即可，00001ln0,ln1xxxx，6 分 令1()ln(0),()10,()m xxx xm xm xx 在(0,)上单调递增，0(1)1,(0,1mx 时，00ln1,e,(1)e0 xxxxyxyx，数学试题答案 第 14 页，共 15 页 所以exyx在(0,1上单调递增，e(0,exx，即00e(0,exax，7 分 综上：0,ea 8 分 22（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）因为椭圆 C 过点2,0A，所以2a，1 分 因为|3AF，所以3ac，得1c.2 分 故2223ba

41、c，3 分 从而椭圆 C 的方程为22143xy.4 分（2）【解法一】【解法一】设00,P x y02x，则直线 AP 的斜率为002yx 1 分 因为OQAP，所以直线 OQ 的方程为002yyxx，令4x可得0042yyx，所以0044,2yQx，2 分 又 M 是 AP 的中点，所以002,22xyM，3 分 从而002,22xyOM，0043,2yFQx所以2220000003443222222xyxyOM FQxx5 分因为点 P 在椭圆 C 上，所以2200143xy，故2200312 4xy，6 分 代入式可得0OM FQ，从而OMFQ，7 分所以，点 T 始终在以 OF 为直

42、径的圆上，且该圆方程为2211()24xy8 分【解法二】【解法二】由直线 AP 不与 y 轴垂直，故可设其方程为2xmy0m 1 分联立222143xmyxy消去 x 整理得：2234120mymy，数学试题答案 第 15 页，共 15 页 解得：0y 或21234mm，所以21234pmym，2 分 从而2268234ppmxmym，故2226812,34 34mmPmm 3 分 因为 M 是线段 AP 的中点，所以2286,34 34mMmm 4 分 因为OQAP，所以直线 OQ 的方程为0 x my，联立04xmyx解得：4ym，所以44,Qm，5 分 故2286,34 34mOMmm，43,FQm从而22864303434mOM FQmmm ，6 分 从而OMFQ，7 分 所以，点 T 始终在以 OF 为直径的圆上，且该圆方程为2211()24xy8 分