将军饮马模型.pdf

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1、将军饮马问题将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题 眼）.所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离 是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由.比如题目经常会出现线段 a+b 这样 的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。1。将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：原题：如图，一位将军，从A 地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？AB模型一：一条定直线模型一：一条定直线,同侧两定点同侧两定点在直线在直线

2、 l l 的同侧有两点的同侧有两点 A,BA,B，在，在 L L 上求一点上求一点 P,P,使得使得 PA+PBPA+PB 值最小。值最小。一般做法：作点 A(B）关于直线的对称点，连接 AB，AB 与直线交点即为所求点。AB 即为最短距离。理由：A为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=AP。所以PA+PB=PA+PB.这样问题就化成了求 A到 B 的最短距离，直接相连就可以了。例一例一:某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个分支线路，分支点为 M，同时向新落成的 A、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区 A、B 分别到主干线的距离 AA1=2 千米，BB1=1

3、千米，且 A1B1=4 千米。（1）如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的两旁，如图（1）所示,那么分支点 M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？(2）如果居民小区 A、B 位于主干线 L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点 M在什么地方时总路线最短？此时分支点 M 与 A1 的距离是多少千米？L L AB A BL LA BA B 模型二:一条定直线，一定点,一动点如图，已知直线 L 和定点 A,在直线 K 上找一点 M，在直线 L 上找一点 P,使得 AP+PB 值最小。模型三：一定点,两条定直线如图，在OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找一个点 M、N，使得PM

4、N 周长最短（题 眼）。一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。连接 P1P2。P1P2 与 OA、OB 的交点即为所求点。P1P2 即为最短周长。理由:对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求 P1 到 P2 的最短距离，直接相连就可以了。模型四:两定点,两条定直线如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上做点 A，B，是四边形 PAQB的周长最小。练习题：1。如图，点 P 是AOB 内一点，点 M，N 分别在 OA，OB 上运动,若AOB=30 度,OP=4，则三角形周长的最小值为多少。2 2。.如图，正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上一动点,则DN+MN 的最小值是多少？ADMNBC3.3.如图所示，在边长为 6 的菱形 ABCD 中,DAB=600,E 为 AB 的中点,F 是 AC上一动点，则 EF+BF 的最小值是多少？DCFABEABC中，BC4，4。如图,AC 2 3，ACB 60，P 为 BC 上一点，过点P 作 PD/AB，交 AC 于 D。连结 AP，问点 P 在 BC 上何处时,APD 面积最大？ADBPHC