具有反身性.pdf

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1、1.(1)姊妹关系(2)P(S),关系(3a,b Z-1,(a,b)1。例如,(2,6)=2,(3,6)=3,但(2,3)=1。2.若 b 不存在则上述推理有误。例如 S=a,b,c,R：bc,c b,b b,cc。3(1)一A M,E GLn(R),A二EAE厂A A-A,B M,ifAB,P,Q GLn(R),A 二 PBQ,B 二 PAQ,P，,QGL(R).B A.即，具有对称nVA,BC乏 M,ifA B,B C,2R,Q,P,Q 乏 GL(R),A=P-)BQ,B=PCQ,A=R P?CQ Q,RF2,Q1Q222n12212GLn(R)八 A C 即，具有传递性(2)-A M,E

2、 GL(R),A=E*AE,A A.即，具有自反性nVA,BE M,ifA B,ET w GL(R),A=TT BT,BnT BT,TGL(R),二 B A 即，具有对称性n2nTT22T TT2-A,B,CM,ifA B,B C,T“,TGL(R),A=BT；,B 二 T CT,ATCTt2=T；T CT2T1T2GLn(R),.AC.即，具有传递性GLn,E GLnR,EJAE,AA.即,具有自反性性-A,B GLn(R),ifA-B,T GLn(R),A=T，BT,B=TAT=：T，ATT GLn(R),B A.即,具有对称性-A,B,C GLn(R),ifA B,BC,卫 GLn(R)

3、,A 二 TB，B 二 T?CT?,A 二丁2飞 GLn(R),AC 即,具有传递性4CT2T1二 T2T1证明：(1-a A,(a)=(a),a a 即，具有反身性(2)a,b A,ifa b,(a)二(b),(b)二(a),b=a 即,具有对称性(3)-a,b,c a,ifab,bc,(a)二(b),(b)=(c),.(a)二(c),a c.具有传递性5(1)PSWp(A),则|S=|SS S,-具有反身性设SsP(A)，若sS，则ISITS2，-ISISIi,2.S2 S1，-具有对称性(3)设(丹,若SiS2，sS，则lsTs2，lsTs3-sTs，二ss，二 具有传递性.是 P(A)

4、上的一个等价关系。P(A)/=门,1,1,2,1,2,3,1,2,3,43=：1=1，2,3,41,2=1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,41,2,3=1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,41,2,3,4=1,2,3,4a二x A/(x)=(a),-xA 即,具有 传递性6 证明：(1):PaEQ,a-a=0EZ,”a a,:具有(2)称性设 a,bQ,若 ab,即 a-b乙则 b-a=-(a-b)Z,ba,.具有对(3)设 a,b,cQ,若 ab,bc,即 a-bZ,b c乙那么 a-c=(a-b)+(b-c)三Z,.a c,.具有传递性 是 Q 上的一个等价关系Q/=a|

5、aEQ,且 a 迂0,1)7 证明：(1)VaC，Ta=|a|，二 a a 反身性成立。(2)Va，X C,，若 3,则由闊专 b|,得 b=同，二 b a，对称性成立,b(3)Va，b，cC，若 a b，b c，贝则 a|=|b，b=|d，ja=忖，即 a c，传递性成立。所以是一等价关系。商集为 c/=&设集合 S=在集合 S 中，规定关系”(a,b)(c,d)二 ad=bc证明：是一个等价关系。证明：.a,b-S贝 U ab=ba,所以(a,b)(a,b)即 具有自反性若a,b S,c,d所以具有对称性若(a,b)(c,d)且(c,d)(e,f)由(a,b)(c,d)(b0有 ad=bc

6、 所以 c=ad/bRJ6。S,且(a,b)(c,d)则 ad=bc所以 cb=da,即(c,d)(a,b)有(c,d)(e,f)所以 adf=bde 又 d0有 cf=de 所以(ad/b)*f=de所以 af=be 即（a,b）（e,f）,即具有传递性所以是一个等价关系9 设 A=ab,c,df试写出集合 A 的所有不同的等价关系。解 a,b,c,d沖 2；ab：7,d,P3a,c,b,d 蔦 P4 J：a,d b,c,P5 二爲,b,c d,P6二 Wa,c,d：,b*,P7O,b,d Jc,P8 J；b,c,dHa,P9 二 Ua/b,c,HdP10=ajcFb,d P11-Eab&Jd P12=c,d/aJbP13=abJcJdP14=a,cjb 影 dP15=ab 沢 cjd10不用公式（1.1）,直接算出集合 A=的不同的分类数。,2,3,4i+（c5+c；）+（c5c：/p；）+（c5c4/P；）+（c5c：c；/戌）+1=52