构造法求数列通项公式 .pdf

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1、构造法求数列通项公式构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f(n 1)f(n)=A其中 A 为常数形式，根据等差数列的定义知f(n)是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与an，从而求出an的通项公式。例例1 1在数列an中，a1=3an3an1，an1=n N，求数列an通项公式.an321解析解析：由 an+1=an3得，

2、an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以 an+1 an得，an1设 bn=a，那么 bn+1-bn=13，根据等差数列的定义知，n数列bn是首相 b1=2，公差 d=13的等差数列，51根据等差数列的通项公式得 bn=213n-1=3n3a1n13，1数列通项公式为 an=n53评析评析：本例通过变形，将递推公式变形成为1an11 A形式，应用等差数列的通an项公式，先求出1的通项公式，从而求出an的通项公式。an2例例 2 2在数列an中，Sn是其前 n 项和，且 Sn0，a1=1，an=22SSnn1(n2)，求 Sn与 an。解析解析：当 n2 时，an=Sn-Sn-1代

3、入 an=两边除以 SnSn-1得，1Sn1Sn2Sn22Sn1得，Sn-Sn-1=2Sn22Sn1，变形整理得 Sn-Sn-1=SnSn-1-S1=2，n11Sn是首相为 1，公差为 2 的等差数列12n11=1+2n-1=2n-1,Sn=2n1(n2),n=1 也适合，Sn=12n1(n1)当 n2 时，an=Sn-Sn-1=-2n13=-24n28n3，n=1 不满足此式，an=124n28n3n 1n 2.评析评析：本例将所给条件变形成f(n 1)f(n)A，先求出f(n)的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式二、构造等比数列求数列通项公式运

4、用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f n+1=Afn 其中 A 为非零常数形式，根据等比数列的定义知f(n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与an，从而求出an的通项公式。例例 3 3在数列an中，a1=2，an=an-12(n2)，求数列an通项公式。解析解析：a1=2，an=an-12(n2)0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1lgan=2，根据等比数列的定义知，数列lg an是首相为 lg2，公比为 2 的等比数列，n1lga根据等比数列的通项公式得 lg an=2n-1lg2=lg2数列通

5、项公式为 an=22n12n1评析评析：本例通过两边取对数，变形成logan 2logan1形式，构造等比数列logan，先求出logan的通项公式，从而求出an的通项公式。例例 4 4在数列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列an通项公式。解析解析：设 an+1+A n+1+B=4 an+An+B，A、B 为待定系数，展开得 an+1=4an+3An+3B-A，与比拟系数得23A 13A 33B A 1B 23an+1+n+1+数列an+n+23=4an+n+2，根据等比数列的定义知，3832是首项为83，公比为 q=3 的等比数列，an+n+3=833n-1数列通项公式为

6、an=3-n-23n-1评析评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例例 5 5在数列an中，a1=1，an+1an=4n，求数列an通项公式。解析解析：an+1an=4nanan-1=4 n-1两式相除得an1an1=4，a1，a3，a5与 a 2，a 4，a6是首相分别为 a1，a 2，公比都是 4 的等比数列，又a1=1，an+1an=4n，a2=4an=n12n24nn4.练习练习：1 1.数列an满足a1解：由条件知之，即2n，an1an，求an3n1an1n，分别令n 1,2,3,(n1)，代入上式得(n1)个等式累乘ann1aaa2a3a41123n1nna1a2a3an1234a

7、1nn又a122，an33nan1n，分别令n 1,2,3,(n1)，代入上式得(n1)个等式累乘ann1解：由条件知之，即aaa2a3a41123n1nna1a2a3an1234a1nn又a122，an33n1an1+1n2，求数列an的通项公式。211解：由 an=an1+1n2得 an2=an12，而 a12=12=1，221数列 an2是以为公比，1 为首项的等比数列21n11n1an2=an=2222 2.数列an满足 a1=1，an=3.3.数列an中，a11,a2 2,3an2 2an1 an，求数列an的通项公式。21an1an,设an2 kan1 h(an1 kan)3311

8、21比拟系数得k h，kh，解得k 1,h 或k ,h 1333311假设取k 1,h ，那么有an2an1(an1an)331an1 an是以为公比，以a2 a1 211为首项的等比数列31n1an1an()3由逐差法可得an(an an1)(an1 an2)(a2 a1)a1解：由3an2 2an1 an得an2=()13n2111()n3()2()11333.11()n13 17313=1=1()n11()n1143443134.4.设各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：an2an 4Sn成立，求an的通项 an.22解：an 2an 4Snan12a

9、n1 4Sn1，22anan1 2an2an1 4(Sn Sn1)4an2(anan1)(anan12)0，anan1 0，anan1 2.即an是以 2 为公差的等差数列，且a12a1 4a1 a1 2.an 22(n1)2n1 1通过分解常数通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如 an1=p an+qp1，pq0型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法：设 an1+k=pan+k与原式比拟系数可得 pkk=q，即 k=2q，从而得等比数列an+k。p 12 2通通过过分分解解系系数数，可 转化为特殊 数列anan1的形式 求解。这种 方法适 用于an2 pan

10、1 qan型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列an an1：设an2 kan1 h(an1 kan)，比拟系数得h k p,hk q，可解得h,k。3 3、构造法构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造.假设条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.1 1构造等差数列或等比数列构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，假设能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.2 2构造差式与和式构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3 3构造商式与积式构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法。4 4构造对数式或倒数式构造对数式或倒数式有些数列假设通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.