3.导数应用.ppt

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1、3 导数与微分的应用导数与微分的应用3.1拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3.2导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用3.3函数单调性的判别法函数单调性的判别法3.4函数的极值及其求法函数的极值及其求法3.5最大值、最小值问题最大值、最小值问题3.6函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点3.7函数图像的描绘函数图像的描绘本章介绍如何应用导数与微分来研究函数以及曲线本章介绍如何应用导数与微分来研究函数以及曲线本章介绍如何应用导数与微分来研究函数以及曲线本章介绍如何应用导数与微分来研究函数以及曲线的某些性态。的某些性态。的某些性态。的某些性态。3.1拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理中值定理是导数应

2、用的理论基础。本节介绍中值定理是导数应用的理论基础。本节介绍最具一般性的拉格朗日中值定理。最具一般性的拉格朗日中值定理。定理定理3.1(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(Lagrangemean-valuetheorem)设设y=f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导。内可导。则在开区间则在开区间(a,b)内至少存在一个点内至少存在一个点，使得使得如果连续曲线如果连续曲线如果连续曲线如果连续曲线 y y=f f(x x)的弧的弧的弧的弧 ABAB上除端点外处处具有上除端点外处处具有上除端点外处处具有上除端点外处处具有不垂直于不垂

3、直于不垂直于不垂直于 x x 轴的切线，那么这弧上至少有一点轴的切线，那么这弧上至少有一点轴的切线，那么这弧上至少有一点轴的切线，那么这弧上至少有一点 C C(,f f()使曲线在使曲线在使曲线在使曲线在C C处的切线处的切线处的切线处的切线平行于割线平行于割线平行于割线平行于割线ABAB：a aA Ab bB B C Cy=fy=f(x x)说明：说明：(1)(1)中值定理的几何意义：中值定理的几何意义：中值定理的几何意义：中值定理的几何意义：(2)(2)中值定理的物理意义：中值定理的物理意义：中值定理的物理意义：中值定理的物理意义：路程函数为路程函数为路程函数为路程函数为 s s=f f(

4、t t)的物体作变速直线运动，物体在的物体作变速直线运动，物体在的物体作变速直线运动，物体在的物体作变速直线运动，物体在某时刻某时刻某时刻某时刻 t t0 0 的的的的瞬时速率瞬时速率瞬时速率瞬时速率 f f (t t0 0)等于等于等于等于物体物体物体物体在在在在(a a,b b)上的平上的平上的平上的平均速率。均速率。均速率。均速率。(3)(3)中值定理的医学意义：中值定理的医学意义：中值定理的医学意义：中值定理的医学意义：医学数学模型医学数学模型医学数学模型医学数学模型 y y=f f(t t)在某在某在某在某(c,c,f f(c c)处处处处的瞬时变化率的瞬时变化率的瞬时变化率的瞬时变

5、化率等于等于等于等于 y y=f f(t t)在在在在(a a,b b)上的平均变化率。上的平均变化率。上的平均变化率。上的平均变化率。即：在变量变化过程中，至少有一个时刻的变化率即：在变量变化过程中，至少有一个时刻的变化率即：在变量变化过程中，至少有一个时刻的变化率即：在变量变化过程中，至少有一个时刻的变化率等于平均变化率。等于平均变化率。等于平均变化率。等于平均变化率。(4)(4)的个数，的个数，的个数，的个数，的位置？的位置？的位置？的位置？不确定。不确定。不确定。不确定。(5)(5)如果如果如果如果 f f(b b)=)=f f(a a)，定理结果如何？定理结果如何？定理结果如何？定理

6、结果如何？至少存在一个点至少存在一个点至少存在一个点至少存在一个点 ，使得使得使得使得显然，函数显然，函数y=x3+2x在闭区间在闭区间0,1上连续上连续,在开区间在开区间(0,1)内可导。内可导。例例3.1.1验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函数在区间在区间0,1上的正确性。上的正确性。验证：验证：由于由于由拉格朗日中值定理，要使由拉格朗日中值定理，要使必有必有即即显然，显然，(0,1)。令令f(x)=arcsinx+arccosx。证明恒等式证明恒等式例例3.1.2证明：证明：由拉格朗日中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在 (0,x)，使得使得又又从而从而即即显然，函数在

7、显然，函数在0,x上连续，在上连续，在(0,x)内可导。内可导。令令f(x)=arctanx。证明不等式证明不等式例例3.1.3证明：证明：由拉格朗日中值定理，存在由拉格朗日中值定理，存在 (a,b)，使得使得又又从而从而证毕。证毕。显然，函数在显然，函数在a,b上上满足拉格朗日中值定理的条件。满足拉格朗日中值定理的条件。3.2导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用两个无穷小两个无穷小(或无穷大或无穷大)的比的极限可能存在，的比的极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限称为也可能不存在。通常把这种极限称为未定式未定式，用，用形式形式0/0型型(/)来表示。来表示。利用导数可以方便地求出未定

8、式极限。利用导数可以方便地求出未定式极限。型未定式极限型未定式极限定理定理3.2(洛必达法则洛必达法则-RuleofLHospital)如果如果(2)f(x)和和g(x)在点在点a 附近存在，且附近存在，且g(x)0；(1)(3)存在（或为无穷大），则存在（或为无穷大），则1.定理的结论对定理的结论对定理的结论对定理的结论对 x xa a+、x xa a-或或或或 x x等等等等 说明：说明：2.若新表达式仍为不定式，且满足定理条件，则可继续若新表达式仍为不定式，且满足定理条件，则可继续若新表达式仍为不定式，且满足定理条件，则可继续若新表达式仍为不定式，且满足定理条件，则可继续使用该法则。使用

9、该法则。使用该法则。使用该法则。也有同样的结论。也有同样的结论。也有同样的结论。也有同样的结论。用用LHospital法则求下列极限：法则求下列极限：例例3.2.1(1)(2)(3)(4)(5)型未定式极限型未定式极限定理定理3.3(洛必达法则洛必达法则-RuleofLHospital)如果如果(2)f(x)和和g(x)在点在点a 附近存在，且附近存在，且g(x)0；(1)(3)存在（或为无穷大），则存在（或为无穷大），则用用LHospital法则求下列极限：法则求下列极限：例例3.2.2(1)(2)以上两例说明：当以上两例说明：当以上两例说明：当以上两例说明：当x x+时，虽然对数函数，幂函

10、时，虽然对数函数，幂函时，虽然对数函数，幂函时，虽然对数函数，幂函数和指数函数均趋于无穷大，但指数函数增长较快，幂数和指数函数均趋于无穷大，但指数函数增长较快，幂数和指数函数均趋于无穷大，但指数函数增长较快，幂数和指数函数均趋于无穷大，但指数函数增长较快，幂函数次之，对数函数增长较慢。函数次之，对数函数增长较慢。函数次之，对数函数增长较慢。函数次之，对数函数增长较慢。其他未定式其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例1.求解解:原式解解:原式例例2.求通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例3.求解解:利用利用例例1通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化

11、例例4.求解解:注意到原式不能用不能用LHospital法则的例子：法则的例子：例例3.2.4(1)(2)定理失效！定理失效！定理失效！定理失效！定理失效！定理失效！定理失效！定理失效！例3.例4.说明说明:1)例3.2.2(1)(2)表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.3)若例如例如,极限不存在求求求求例例3.2.54)4)LHospitalLHospital法则是求未定式极限的一种有效方法，法则是求未定式极限的一种有效方法，法则是求未定式极限的一种有效方法，法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结

12、合使用但最好能与其它求极限的方法结合使用但最好能与其它求极限的方法结合使用但最好能与其它求极限的方法结合使用。解：解：如直接用如直接用如直接用如直接用 LHospitalLHospital法则，显然分母的导数法则，显然分母的导数法则，显然分母的导数法则，显然分母的导数(尤其尤其尤其尤其是高阶导数是高阶导数是高阶导数是高阶导数)较繁。如果用一个等价无穷小替代，运算就较繁。如果用一个等价无穷小替代，运算就较繁。如果用一个等价无穷小替代，运算就较繁。如果用一个等价无穷小替代，运算就方便得多：方便得多：方便得多：方便得多：3.3函数单调性的判别法函数单调性的判别法本节介绍利用导数来判别函数的单调性。本

13、节介绍利用导数来判别函数的单调性。定理定理3.4(函数单调性的导数判别法函数单调性的导数判别法函数单调性的导数判别法函数单调性的导数判别法)如果如果f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，则在则在(a,b)内内,1)如果如果f (x)0，那么那么f(x)单调上升；单调上升；2)如果如果f (x)0，那么那么f(x)单调下降。单调下降。证明：证明：关键步骤：利用关键步骤：利用关键步骤：利用关键步骤：利用 LagrangeLagrange中值定理。中值定理。中值定理。中值定理。详见书详见书详见书详见书P P在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的

14、点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法例例3.4.1讨论函数讨论函数f (x)=x3-27x+5的单调性。的单调性。解：解：由定理由定理3.4，利用导数来判别函数的单调性：，利用导数来判别函数的单调性：f (x)=3x2-27=3(x+3)(x-3)列表讨论如下：列表讨论如下：x x(-,-3)(-,-3)-3-3(-3,3)(-3,3)3 3(3,+)(3,+)f f (x x)+0 0 0 0+f f (x x)该函数的定义域为该函数的定义域为(-,+)(-,+)。所以，所以，f (

15、x)在在(-,-3)(3,+)内递增；在内递增；在(-3,3)内递减。内递减。例例3.4.2讨论函数讨论函数的单调性。的单调性。解：解：x 0时，时，列表讨论如下：列表讨论如下：x x(-,0)(-,0)0 0(0,+)(0,+)f f (x x)不存在不存在不存在不存在+f f (x x)该函数的定义域为该函数的定义域为(-,+)(-,+)。x=0时，函数不可导。时，函数不可导。oox x y y所以，所以，f (x)在在(0,+)内递增；在内递增；在(-,0)内递减。内递减。利用函数的单调性可以证明不等式。利用函数的单调性可以证明不等式。例例3.4.3证明证明arctanx0)。证明：证明

16、：令令f(x)=arctanx-x,由定理由定理3.4知，知，f(x)单调递减。单调递减。则则故当故当x0时，时，f(x)f(0)=0，即即arctanx x。证3.4函数的极值及其求法函数的极值及其求法3.5.1极值的概念极值的概念3.5.2极值的求法极值的求法3.5.1极值的概念极值的概念定义定义3.1设函数设函数f(x)在在x=x0的某邻域内有定义，如的某邻域内有定义，如果对该邻域内任意的果对该邻域内任意的x(xx0)，均有均有f(x0)f(x)1.极值表示函数的局部性质还是整体性质？极值表示函数的局部性质还是整体性质？2.极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？a a b b

17、x x11x x22 x x44x x55x x66x x7 73.5.2极值的求法极值的求法定理定理3.5(函数取得极值的必要条件函数取得极值的必要条件函数取得极值的必要条件函数取得极值的必要条件)设设y=f(x)在在x0处有极值，且处有极值，且 f(x0)存在，则存在，则1)1)使函数的一阶导数为零的点叫函数的使函数的一阶导数为零的点叫函数的使函数的一阶导数为零的点叫函数的使函数的一阶导数为零的点叫函数的驻点驻点。可导的极值点必然是驻点。可导的极值点必然是驻点。可导的极值点必然是驻点。可导的极值点必然是驻点。f(x0)=0说明：说明：利用函数的导数判断极值利用函数的导数判断极值a a x

18、x11x x22 x x44x x55x x66b b a a x x11x x22 x x44x x55x x66b b 2)2)几何上，可导的极值点处切线是水平的。几何上，可导的极值点处切线是水平的。几何上，可导的极值点处切线是水平的。几何上，可导的极值点处切线是水平的。说明：说明：3)3)导数不存在的点是否可能是函数的极值点？导数不存在的点是否可能是函数的极值点？导数不存在的点是否可能是函数的极值点？导数不存在的点是否可能是函数的极值点？x x7 74)4)驻点是否一定是函数的极值点？驻点是否一定是函数的极值点？驻点是否一定是函数的极值点？驻点是否一定是函数的极值点？x x3 3极值可疑

19、点首先考察下列函数的图形首先考察下列函数的图形:通过观察以上的图形你得到什么结论？定理定理3.6(函数极值的一阶导数判别法函数极值的一阶导数判别法函数极值的一阶导数判别法函数极值的一阶导数判别法 第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件)设设y=f(x)在在x0的邻域内可导，的邻域内可导，f(x0)=0(或不或不存在存在)。当。当x 递增变动经过递增变动经过x0时：时：1)若若f(x)由负变正由负变正,则则f(x)在在x0处有极小值处有极小值f(x0)；2)若若f(x)由正变负由正变负,则则f(x)在在x0处有极大值处有极大值f(x0)；3)若若f(x)的符号不变，则的符号不变，则f(

20、x)在在x0处没有极值。处没有极值。a a x x11x x22x x3 3 x x44x x55x x66b b x x7 7例例3.5.1求函数求函数 f(x)=x3-6x2+9x+5的极值。的极值。解：解：f(x)的定义域为的定义域为(-,+)。f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，令令 f(x)=0,得驻点得驻点x1=1,x2=3。f(x)处处可导。处处可导。x x(-,1)(-,1)1 1(1,3)(1,3)3 3(3,+)(3,+)f f (x x)+0 00 0+f f(x x)9 9 5 5 列表如下：列表如下：故故f(x)在在x=1有极大值有极大值f(1)=9

21、；在在x=3有极小有极小值值f(3)=5。求函数求函数 的极值。的极值。例例3.5.2解：解：f(x)的定义域为的定义域为(-,+)。x 2时，时，列表如下：列表如下：x=2时，时，f(x)不存在。不存在。x x(-,2)(-,2)2 2(2,+)(2,+)f f (x x)+不存在不存在不存在不存在f f(x x)1 1 oox x y y2 21 1求函数求函数 的极值。的极值。例例3.5.3解：解：f(x)的定义域为的定义域为(-,+)。f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1)令令 f(x)=0得：得：x1=-1，x2=1f(x)在在(-,+)内处处可导。内处处可导。x x(

22、-,-1)(-,-1)-1-1(-1,1)(-1,1)1 1(1,+)(1,+)f f (x x)0 00 0+f f(x x)-11/12-11/12 故故f(x)在在x2=1处取得极值处取得极值f(1)=-11/12。驻点和导数不存在的点为可能的极值点。驻点和导数不存在的点为可能的极值点。定理定理3.7(函数极值的二阶导数判别法函数极值的二阶导数判别法函数极值的二阶导数判别法函数极值的二阶导数判别法 第二充分条件第二充分条件第二充分条件第二充分条件)设设 y=f(x)在点在点 x0二阶可导，二阶可导，f(x0)=0。则则1)若若f (x0)0,则则f(x)在在x0处有极小值处有极小值f(x

23、0)；2)若若f (x0)0,由极值的第二充分条件知，由极值的第二充分条件知，f(x)在在x=0有极小值有极小值f (0)=2。求证函数求证函数 f(x)=sinxsinxex有无穷多有无穷多个个的极大（小）值。的极大（小）值。例例3.5.5解：解：f(x)的定义域为的定义域为(-,+)。f(x)=ex(sinx+cosx)且且f(x)在在(-,+)内处处可导。内处处可导。令令，得驻点：，得驻点：f(x)有有(1)故当：故当：时，驻点时，驻点即即f(x)在在 有极小值有极小值有有(2)故当：故当：时，驻时，驻点点即即f(x)在在 有极大值有极大值3.5最大值、最小值问题最大值、最小值问题将函数

24、的极值与边界点的函数值作比较，可将函数的极值与边界点的函数值作比较，可以确定函数的最大值与最小值。实际操作步骤为：以确定函数的最大值与最小值。实际操作步骤为：1)求出求出驻点处驻点处与与不可导点处不可导点处的函数值；的函数值；2)求出讨论求出讨论区间端点处区间端点处的函数值；的函数值；3)比较以上三种函数值的大小，即可得出函数比较以上三种函数值的大小，即可得出函数的最大值与最小值。的最大值与最小值。最大值与最小值问题最大值与最小值问题则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点

25、时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)求函数求函数f (x)=2x3+3x2-12x+14在在-3,4上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。例例3.6.1解：解：f (x)=2x3+3x212x+14，由于由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，f (x)=6x2+6x 12=6(x+2)(x-1)，解方程解方程 f (x)=0，得得x1=-2，x2=1，比较可得，比较可得，f (x)在在x=4取得它在取得它在-3,4上的最上的最大

26、值大值f(4)=142；在在x=1取得它在取得它在-3,4上的最上的最小值小值f(1)=7。实际判断原则实际判断原则实际判断原则实际判断原则实际问题中，往往可根据问题的性质来判定实际问题中，往往可根据问题的性质来判定函数的最大值和最小值，而免去繁复的验证。函数的最大值和最小值，而免去繁复的验证。例如口服某种药物以后，体内的血药浓度变例如口服某种药物以后，体内的血药浓度变化过程中的极值即为最大值；用一定长度的材料化过程中的极值即为最大值；用一定长度的材料制作窗框，其所围面积的极值即为最大值；制作窗框，其所围面积的极值即为最大值；书例书例P.16用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如

27、何选择它的半径和高度才能使用料最省?设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.用料最省即指容器的表面积 A 最小.应用题解又 A 的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径 如果不放心,可用二阶导数进行判断.某出版社出版一种书,印刷 x 册所需成本为每册售价 p 与假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？由经验公式,得于是得唯一极值可疑点解即为 Q 的最大点.从而应将价格 p 定为此时最大获利为例例.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即

28、由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?!.曲线的凹凸性、拐点3.6函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点本节介绍利用二阶导数来研究函数所表示的本节介绍利用二阶导数来研究函数所表示的曲线的弯曲状况。曲线的弯曲状况。定义定义3.2凹曲线凹曲线(concave):曲线在切线的上方；曲线在切线的上方；凸曲线凸曲线(convex):曲线在切线的下方；曲线在切线的下方；拐点拐点(pointofinflection):曲线凹凸变化的分界点曲线凹凸变化的分界点.凹曲线凹曲线凹曲线凹曲线凸曲线凸曲线凸曲线凸曲线拐点拐点拐点拐点

29、MM凹曲线凹曲线凹曲线凹曲线凸曲线凸曲线凸曲线凸曲线观察下图中切线斜率观察下图中切线斜率(即一阶导数即一阶导数)的变化情况：的变化情况：x x1 1 x x2 2 x x3 3x x4 4 x x5 5定理定理3.8(函数凹凸性的二阶导数判别法函数凹凸性的二阶导数判别法函数凹凸性的二阶导数判别法函数凹凸性的二阶导数判别法)设设y=f(x)在在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则内具有一阶和二阶导数，则1)若在若在(a,b)内内f (x)0,则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内是凹的；内是凹的；2)若在若在(a,b)内内f (x)0，因此因此(0,0)不是曲线的拐不是曲线的拐点。点。曲线在曲线

30、在(-,+)内是凹的，它没有拐点。内是凹的，它没有拐点。3.7函数图像的描绘函数图像的描绘确定函数确定函数y=f(x)的图像的一般步骤：的图像的一般步骤：1.确定函数确定函数y=f(x)的定义域、值域；的定义域、值域；2.讨论基本特性讨论基本特性(奇偶性、周期性、对称性奇偶性、周期性、对称性)；3.利用一阶导数确定单调区间、极值、极值点；利用一阶导数确定单调区间、极值、极值点；4.利用二阶导数确定凹凸区间、拐点；利用二阶导数确定凹凸区间、拐点；5.利用极限确定渐近线利用极限确定渐近线(水平、垂直、斜线水平、垂直、斜线)；6.描点描点(使一阶导数为零的点、使二阶导数为零的点、使一阶导数为零的点、

31、使二阶导数为零的点、使一阶导数为零的点、使二阶导数为零的点、使一阶导数为零的点、使二阶导数为零的点、与坐标轴的交点、必要时补充一些辅助点与坐标轴的交点、必要时补充一些辅助点与坐标轴的交点、必要时补充一些辅助点与坐标轴的交点、必要时补充一些辅助点)；7.结合结合3、4、5步的结果，联结步的结果，联结6步中的点画出步中的点画出图形。图形。无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义.若曲线 C 上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”1.水平与垂（铅）直渐近线水平与垂（铅）

32、直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例例1.求曲线的渐近线.解解:为水平渐近线;为垂直渐近线.2.斜渐近线斜渐近线斜渐近线若(P75题题13)例例2.求曲线的渐近线.解解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.(1)(1)定义域为定义域为定义域为定义域为(-,+)(-,+)；例例3.8.1描绘函数描绘函数y=x3-x2-x+1 的图形。的图形。解：解：(2)(2)令令令令 y y=0,=0,x x=-1/3=-1/3和和和和 1 1；令；令；令；令 yy=0,=0,x x=1/3.=1/3.以点以点以点以点 x x=-1/3,=-1/3,x x=1/3=1/3和和和和 x x=1

33、=1把定义域划分为四个部把定义域划分为四个部把定义域划分为四个部把定义域划分为四个部分列表讨论如下：分列表讨论如下：分列表讨论如下：分列表讨论如下：x x(-,-1/3)(-,-1/3)-1/3-1/3(-(-1/3,1/3)1/3,1/3)1/31/3(1/3,(1/3,1)1)1 1(1,(1,+)+)f f (x x)+0 00 0+f f (x x)0 0+f f(x x)极大极大极大极大32/2732/27极小极小极小极小00拐点拐点拐点拐点16/2716/27(3)(3)没有渐近线。没有渐近线。没有渐近线。没有渐近线。x x(-,-1/3)(-,-1/3)-1/3-1/3(-(-1

34、/3,1/3)1/3,1/3)1/31/3(1/3,(1/3,1)1)1 1(1,(1,+)+)f f (x x)+0 00 0+f f (x x)0 0+f f(x x)极大极大极大极大32/2732/27极小极小极小极小00拐点拐点拐点拐点16/2716/27x xo oy y1 1-1-1(-1/3,32/27(-1/3,32/27)(1/3,16/27(1/3,16/27)1 1(3/2,5/8(3/2,5/8)(4)(4)描点：描点：描点：描点：(-1,0),(-1,0),(-1/3,32/27),(-1/3,32/27),(0,1),(0,1),(1/3,16/27),(1/3,1

35、6/27),(3/2,5/8).(3/2,5/8).定义域为定义域为(-,+)，偶函数；，偶函数；f(x)=ex-e-x，f(x)=0的点：的点：x=0；f(x)不存在的点：无；不存在的点：无；f(x)=ex+e-x 0。列表如下：列表如下：例例3.8.2描绘函数描绘函数 f(x)=ex+e-x 的图形。的图形。解：解：x x(-,0)(-,0)0 0(0,+)(0,+)f f (x x)0 0+f f (x x)+f f(x x)2 22 2x x(-,0)(-,0)0 0(0,+)(0,+)f f (x x)0 0+f f (x x)+f f(x x)极小值点极小值点极小值点极小值点(0,

36、2)(0,2)；x x0 0y y没有拐点；没有拐点；没有拐点；没有拐点；特殊点特殊点特殊点特殊点:(-:(-ln2,2.5),(ln2,2.5),(-ln4,4.25),(ln4,4.25)ln2,2.5),(ln2,2.5),(-ln4,4.25),(ln4,4.25)。-ln2-ln2ln2ln2-ln4-ln4ln4ln42 2定义域为定义域为定义域为定义域为(-,+)(-,+)，偶函数；，偶函数；，偶函数；，偶函数；例例3.8.3描绘函数描绘函数 的图的图形。形。解：解：令令令令 y y=0,=0,得得得得x x=0;=0;y y 不存在的点不存在的点不存在的点不存在的点:无。无。无

37、。无。令令令令 f f (x x)=0,=0,得：得：得：得：f f (x x)不存在的点：无不存在的点：无不存在的点：无不存在的点：无x x(-,-0.7)(-,-0.7)-0.7-0.7(-(-0.7,0)0.7,0)0 0(0,0.7)(0,0.7)0.70.7(0.7,(0.7,+)+)f f (x x)+0 0f f (x x)+0 00 0+f f(x x)极大值极大值极大值极大值拐拐拐拐拐拐拐拐极大值点极大值点极大值点极大值点(0,1)(0,1)；渐近线渐近线渐近线渐近线 y y=0=0。拐点拐点拐点拐点:(0.7,0.6);:(0.7,0.6);x x0 0y yx x(-,-

38、0.7)(-,-0.7)-0.7-0.7(-(-0.7,0)0.7,0)0 0(0,0.7)(0,0.7)0.70.7(0.7,(0.7,+)+)f f (x x)+0 0f f (x x)+0 00 0+f f(x x)1 1-0.7-0.70.70.7极大值极大值极大值极大值拐拐拐拐拐拐拐拐例例.描绘方程的图形.解解:1)定义域为2)求关键点3)判别曲线形态(极大极大)(极小极小)4)求渐近线为铅直渐近线无无定定义义又因即5)求特殊点为斜渐近线6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无无定定义义三角函数之三角函数之和差化积公式和差化积公式：课后练习课后练习P.786.-10

39、.预习预习P.80-86.3.3(2)习题参考解答习题参考解答解解2：解解1：解解3：3.3(2)3.4由由P.70(3.3)式，有式，有(2)(1)3.10(1)x x(-,1)(-,1)1 1(1,2)(1,2)2 2(2,+)(2,+)y y+0 0y y 0 0+y y极大极大极大极大拐拐拐拐渐近线渐近线渐近线渐近线 y y=0=0。x x0 0y y(2,2e(2,2e-2-2)=(2,0.27)=(2,0.27)(1,e(1,e-1-1)=(1,0.37)=(1,0.37)(-1,e)=(-1,2.72)(-1,e)=(-1,2.72)3.10(1)x x(-,-1)(-,-1)-1-1(-1,0)(-1,0)0 0(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)f f (x x)0 0+f f (x x)0 0+0 0f f(x x)极小极小极小极小拐拐拐拐拐拐拐拐渐近线渐近线渐近线渐近线 y y=0=0。x x0 0-1-11 1y y