5.2静定平面桁架.ppt

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1、5.2静定平面桁架静定平面桁架 计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。一、结点法一、结点法 结点法是截取桁架一个结点为隔离体，利用平面汇交力结点法是截取桁架一个结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件，求解各未知轴力的方法。系的两个平衡条件，求解各未知轴力的方法。结点法最适合用于计算简单桁架。结点法最适合用于计算简单桁架。根据截取隔离体方式的不同，又区分为根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法结点法和和截面法截面法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1、利用力三角形与长度三角形对应边成比例的关系

2、简化计算、利用力三角形与长度三角形对应边成比例的关系简化计算 为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力FN，而而是将其分解为水平分力是将其分解为水平分力Fx和和Fy先行计算。利用这个比例关先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。需要使用三角函数进行计算。FNFNFxFylxlyloxyBAa a(长度三角形长度三角形)(力三角形力三角形)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院用图示桁架为例，来说明结点法的应用：用图示桁架为例，

3、来说明结点法的应用：首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。注于图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13All Rights Reserved重庆大学土木工程学院按结点按结点1，2，6依次计算各结点相关杆件轴力依次计算各结点相关杆件轴力。结点。结点7用于校核。用于校核。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kN

4、F7V=45kN1515252012021520201531525152030405060460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-120201515255040300604575-456060-+All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆(1)关于零杆的判断关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架杆件中轴力为零的杆件

5、，称为在给定荷载作用下，桁架杆件中轴力为零的杆件，称为零杆零杆。1）L型结点：型结点：成成L型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。皆为零杆。2）T型结点：型结点：成成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。图正负号相同（同为拉力或压力）。图5-6c可视为可视为T型结点的推型结点的推广，图中单杆的轴力广，图中单杆的轴力FN2=0。L型结点型结点FN1=0FN2=0T型结点（推广）型结点（

6、推广）FN1=FPFN2=0FPT型结点型结点FN3=0(单单杆杆)FN2=FN1FN1=All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)关于等力杆的判断关于等力杆的判断1）X型结点：型结点：成成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线彼此共线的杆件的内力两两相等的杆件的内力两两相等。2）K型结点：型结点：成成K型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共不共线的两杆内力大小相等而符号相反。线的两杆内力大小相等而符

7、号相反。3）Y型结点：型结点：成成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同两杆内力大小相等且符号相同。X型结点型结点FN1FN3FN2=FN1FN4=FN3K型结点型结点FN1FN3FN2=-FN1FN4 FN3a aa aY型结点型结点FN1FN3FN2=FN1a aa aAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-1】试求图示桁架各杆的轴力。试求图示桁架各杆的轴力。解：解：

8、(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力，并的反力，并标注于图中。标注于图中。(2)判断零杆判断零杆(3)计算其余杆件的轴力计算其余杆件的轴力 ABCDEFPFP1.5aaaaa1.5a4FP/34FP/312345678910EFPFNE1FNE2FxE2FyE2ABCDEFP-4 FP/3-4 FP/3-4 FP/3-4 FP/35FP/35FP/35FP/35FP/3All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-2】试求图试求图5-9a所示桁架杆件所示桁架杆件a的轴力。的轴力。首先，假设首先，假设FN14=FN，取结点取结点

9、1为隔离体，由为隔离体，由 可得可得 FN12=FN14=FNllllFP1234a1设设FN14=FNFN12=FNFNaAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 依次由结点依次由结点2（属（属K型结点推广情况）和结点型结点推广情况）和结点3（属（属K型结型结点情况），可判定点情况），可判定 FN23=-FN12=-FNFN34=-FN23=FN llllFP1234a1设设FN14=FNFN12=FNFNaAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院再取结点再取结点4为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得（拉力）（拉力）llllFP1234a1设设FN14=FN

10、FN12=FNFNa4FNFNFPAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院最后，再回到结点最后，再回到结点1，由，由 ，得，得（压力）（压力）llllFP1234a14设设FN14=FNFN12=FNFNaFNFNFPAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 上述这种解题方法，称上述这种解题方法，称通路法通路法（或（或初参数法初参数法）。通路法）。通路法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一“通路通路边界的平衡条件边界的平衡条件”。通路法的具体作法是通路法的具体作法是：1）选择一适当的通路（如本例从）选择

11、一适当的通路（如本例从1234再回到再回到1），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力为为FN。2）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力，表为初参数力，表为初参数FN的函数。的函数。3）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界的平衡条件，求出边界的平衡条件，求出FN，于是，整个桁架的计算即无困于是，整个桁架的计算即无困难。难。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的

12、简便方法、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法由由 ，得，得于是，可由比例关系求得于是，可由比例关系求得 FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-All Rights Reserved重庆大学土木工程学院又由又由 ，得，得 于是，可由比例关系求得于是，可由比例关系求得 一般来说，在研究平衡问题时，可将任何一个力（如斜杆一般来说，在研究平衡问题时，可将任何一个力（如斜杆中的轴力）在其作用线上之任一点（如某结点），沿中的轴力）在其作用线上之任一点（如某结

13、点），沿x、y方向方向分解为两个分力，用以代替原力参加计算。分解为两个分力，用以代替原力参加计算。FPFPFPFPABCDEFGH2m122m2m2m1m1m3FP1.5FP-1.5FP1.5FP1.5FP3FP3FPCFADGFNACFN1Fx1FN2Fx2Fy1Fy2-All Rights Reserved重庆大学土木工程学院二、截面法二、截面法 截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算

14、；简单桁架中少数指定方法。截面法最适用于联合桁架的计算；简单桁架中少数指定杆件的内力计算。杆件的内力计算。1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力、选择适当的截面，以便于计算要求的内力【例例5-3】试求图示桁架指定杆件试求图示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体，将使问题得以截面左边（或右边）部分为隔离体，将使问题得以顺利解决。而且，可由一个平衡方程解出一个未知力。顺利解决。而且，可由一个平衡方程解出一个未知力。由由 ，可得

15、，可得 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa All Rights Reserved重庆大学土木工程学院由由 ，可得，可得 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,1012345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFAyFByaABC0FPFAyFByaC

16、AB0FPFPFAyCFNa(矩心矩心)FPFAyACxyFNaAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-4】试求图试求图5-14a所示桁架指定杆件所示桁架指定杆件1、2、3的轴力。的轴力。解：截取截面解：截取截面-左边部分为隔离体（参见图左边部分为隔离体（参见图5-14b、c、d），），只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2

17、FN3Fx3Fy3D(矩心一矩心一)FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二)FPAC1.5FP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2FAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(1)求求FN3 在在 图图5-14b中，由中，由 ，得，得 1.5FP4-FP2+Fx32=0 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一矩心一)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)求求FN2：在图在图5-14c中，由中，由 ，得，得 FPFPFPABCD

18、EFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)求求FN1：在图在图5-14d中，由中，由 ，得，得 在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。轴力，从而

19、使计算工作得以简化。FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2FAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、截面法求解联合桁架、截面法求解联合桁架 截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。力。作作-截面并取左边（或右边）为隔离体，由截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出求出FNa。FPFPFPFPFAyFByABCDEa(联系杆联系杆)FPFPFPFPFAyACDFNaAll Rights Reserved重庆大学土木工

20、程学院FPFPFAyFByABCDabc12FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2BC可作一封闭截面可作一封闭截面-，截取隔离体如图，截取隔离体如图5-16b所示。所示。由由 可求出可求出FNb。由由 ，可求出，可求出FNa。由由 ，可求出，可求出FNc。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院三、结点法与截面法的联合运用三、结点法与截面法的联合运用【例例5-5】试求图试求图5-17所示桁架指定杆件所示桁架指定杆件a、b、c的轴力。的轴力。解：解：(1)求求FNa：取截面取截面-上边部分为隔离体上边部分为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-Al

21、l Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)求求FNb：取结点取结点1为隔离体为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)求求FNc：取结点取结点2为隔离体为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-6】试求图试求图5-18a所示桁架指定杆件所示桁架指定杆件a、b、c的轴力。的轴力。解：解：(1)求求FNa：取截面取截面-左边为隔离体左边为隔离体 由由 求得求得FNa 1234567891011121314abc F1yF12yFP

22、123F1y46FNa(矩心一矩心一)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)求求FNb：取截面取截面-左边为隔离体左边为隔离体 由由 求出求出Fxb，从而按比例求得从而按比例求得FNb。1234567891011121314abc F1yF12yFPF1y1234567FNaFNb(矩心二矩心二)FxbFybAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)求求FNc：取结点取结点5为隔离体为隔离体,该结点属于该结点属于K型结点型结点 FNc=-FNb 1234567891011121314abc F1yF12yFP5FNc=-FNbFNbAll Rig

23、hts Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-7】试求图试求图5-19a所示桁架指定杆件所示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。解：解：(1)取结点取结点6为隔离体（图为隔离体（图5-19b），），由由 ，得，得由由 ，得，得 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN660kN-60kN-60kNFN76=60kNAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)取截面取截面-左边为隔离体（图左边为隔离体（图5-19c），），由由 ，得，得 再由再由 （图（图5-19c），），得得 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60

24、kN60kN80kN80kN573960kN80kNFN76=60kNFNbFN13FN38(矩心一矩心一)(矩心二矩心二)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)取结点取结点8为隔离体（图为隔离体（图5-19d），），属于属于X型结点，可知型结点，可知 12345678ab2m2m2m2m2m2m2m60kN60kN80kN80kN8FNaFN38FN18FN84All Rights Reserved重庆大学土木工程学院四、对称桁架的计算四、对称桁架的计算 若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸及材料）都关于某一轴

25、线对称，则称此桁架为及材料）都关于某一轴线对称，则称此桁架为对称桁架对称桁架。FPFPFPFPAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院1、对称桁架的基本特性、对称桁架的基本特性(1)在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相等，且拉压一致。等，且拉压一致。(2)在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大小相等，但拉压相反。小相等，但拉压相反。(3)在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组，分别计算出

26、内力后再叠加。荷载两组，分别计算出内力后再叠加。对称荷载对称荷载，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而反对称反对称荷载荷载，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-8】试利用比较简捷的方法计算图试利用比较简捷的方法计算图5-21a所示桁架各杆的轴力。所示桁架各杆的轴力

27、。解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图5-21b和图和图5-21c所示。所示。然后将各对应杆的轴力叠加然后将各对应杆的轴力叠加。计算过程从略。计算过程从略。1 11 12 23 34 45 52 2FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345=+All R

28、ights Reserved重庆大学土木工程学院【例例5-9】利用对称性重新计算例利用对称性重新计算例5-2中图中图5-9所示桁架杆件所示桁架杆件a的轴的轴力。力。解：解：(1)将图将图5-22a荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称荷载，如图对称荷载，如图5-22b、c所示。所示。(2)求在对称荷载作用下杆件求在对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa1：FNa1=-FP。FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+=FP/2FP/21 12 23 34 45 5

29、6 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)求在反对称荷载作用下杆件求在反对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa2：FNa2=0(4)将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件a的轴力叠加，的轴力叠加，即可得出图即可得出图5-22a所示杆件的轴力为所示杆件的轴力为 FNa=FNa1+FNa2=(-FP)+0=-FP FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+=FPFPFP/2FP/2-FPallll1234

30、567FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、利用对称性判定桁架零杆、利用对称性判定桁架零杆1）在对称荷载作用下，位于）在对称荷载作用下，位于对称轴处的对称轴处的K型结点，若无外型结点，若无外力作用（图力作用（图5-21b中的结点中的结点2），），则两斜杆轴力为零。则两斜杆轴力为零。2）在反对称荷载作用下，位于对称轴上且与对称轴线垂直的）在反对称荷载作用下，位于对称轴上且与对称轴线垂直的横杆（图横杆（图5-21c中的杆中的杆45）或与对称轴线重合的竖杆（图）或与对称轴线重合的竖杆（图5-22c中的杆中的杆12）轴力均为零。）轴力均为零。FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2FPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345All Rights Reserved重庆大学土木工程学院