2019高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程练习 新人教A版必修2.doc

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1、14.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程【选题明细表】 知识点、方法题号圆的标准方程1,3,4,5,8,9 点与圆的位置关系2,7 圆的标准方程的应用6,10,11,121.圆(x-3)2+(y+2)2=13 的周长是( B )(A) (B)2 (C)2(D)2 解析:由圆的标准方程可知,其半径为,周长为 2.故选 B. 2.点 P(m,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A ) (A)在圆外(B)在圆内(C)在圆上(D)不确定 解析:把 P(m,5)代入 x2+y2=24,得 m2+2524.所以点 P 在圆外,故选 A. 3.(2018湖北宜昌期末)以两点 A(-3,-1)

2、和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=25(B)(x+1)2+(y+2)2=25 (C)(x+1)2+(y+2)2=100 (D)(x-1)2+(y-2)2=100解析:由题意可得,圆心为线段 AB 的中点 C(1,2),半径为 r= AB= =5,故要求的圆 的方程为(x-1)2+(y-2)2=25,故选 A. 4.已知圆心为 P(-2,3),并且与 y 轴相切,则该圆的方程是( B )(A)(x-2)2+(y+3)2=4(B)(x+2)2+(y-3)2=4 (C)(x-2)2+(y+3)2=9(D)(x+2)2+(y-3)2=9 解析:由题意知,

3、该圆的圆心为(-2,3),半径为 2,所以其标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 5.(2018江西赣州期末)圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 x-y-2=0 对称的圆的方程为( A )(A)(x-4)2+(y+1)2=1(B)(x+4)2+(y+1)2=1 (C)(x+2)2+(y+4)2=1(D)(x-2)2+(y+1)2=1 解析:由于圆心(1,2)关于直线 x-y-2=0 对称的点的坐标为(4,-1),半径为 1,故圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 x-y-2=0 对称的圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=1,故选 A.6.(2018河南濮阳一模)圆 x2+

4、(y-1)2=1 的圆心到直线 y=-x-2 的距离为 . 解析:圆 x2+(y-1)2=1 的圆心(0,1)到直线 y=-x-2 的距离为d=.答案:7.(2018江西师大附中高一测试)自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线,切点为 B,则 AB 的长为 . 解析:点 A 到圆心 C(2,3)的距离为=,所以切线长为=3.2答案:3 8.求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心在 x 轴上,半径为 5,且过点 A(2,-3). (2)经过点 A(-4,-5),B(6,-1)且以线段 AB 为直径; (3)圆心在直线 y=-2x 上,且与直线 y=1-x 相切于点(2

5、,-1); (4)圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3),B(-2,-5). 解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+y2=25,因为点 A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,解得 a=-2 或 a=6.所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意得 a=1,b=-3, 又因为点(6,-1)在圆上, 所以 r2=(6-1)2+(-1+3)2=29. 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29. (3)法一 设圆心为(a,-2a). 因为圆与直

6、线 y=1-x 相切于点(2,-1),所以=,解得 a=1. 所以所求圆的圆心为(1,-2).半径 r=.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 法二 设过(2,-1)且与 y=1-x 垂直的直线为 y=x+b,把(2,-1)代入,得 b=-3. 所以圆心(a,b)在 y=x-3 上,即 b=a-3, 又因为圆心在直线 y=-2x 上, 所以 b=-2a, 解之得 a=1,b=-2,则圆心为(1,-2),所以 r=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (4)法一 设点 C 为圆心, 因为点 C 在直线:x-2y-3=0 上, 所以可设点 C 的坐标为(2a+3,a)

7、. 又该圆经过 A,B 两点, 所以|CA|=|CB|.所以=,解得 a=-2, 所以圆心坐标为 C(-1,-2), 半径 r=. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 法二 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.3由条件知所以故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 法三 线段 AB 的中点为(0,-4),kAB= , 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为-2, 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+4=-2x, 即 y=-2x-4, 圆心是直线 y=-2x-4 与直线 x-2y-3=0 的交点,由得即圆心为(-1,-2),圆的半径 r=.故

8、所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.9.(2018内蒙古包头市一模)圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在 x 轴的正半 轴上,则圆 E 的标准方程为( C )(A)(x- )2+y2=(B)(x+ )2+y2=(C)(x- )2+y2=(D)(x- )2+y2= 解析:根据题意,设圆 E 的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为 r, 则圆 E 的标准方程为(x-a)2+y2=r2.则有解得 a= ,r2=,所以圆 E 的方程为(x- )2+y2=.故 选 C.10.(2018河南鹤壁高一期末)如果实数 x,y 满足 x2+(y-3)2=1,那么

9、 的取值范围是( D ) (A)2,+) (B)(-,-2 (C)-2,2 (D)(-,-22,+)解析:因为实数 x,y 满足 x2+(y-3)2=1,所以 表示以(0,3)为圆心,1 为半径的圆上的点和原 点连线的斜率 k,设直线方程为 y=kx,联立 x2+(y-3)2=1 和 y=kx 消去 y 并整理可得(1+k2)x2- 6kx+8=0,由 =36k2-32(1+k2)=0 可解得 k=2,4结合图形可知 的取值范围是(-,-22,+). 11.如图所示,一座圆拱桥,当水面在如图位置时,拱顶离水面 2 m,水面宽 12 m,当水面下降 1 m 后,水面宽多少 m?解:如图,拱顶 O

10、 为坐标原点,设圆的半径为 r m,则圆心 C(0,-r), 即圆的方程为 x2+(y+r)2=r2. 将 A 点的坐标(6,-2)代入方程解得r=10. 所以圆的方程为 x2+(y+10)2=100. 当水面下降 1 m 后, 可设点 A的坐标为(x0,-3)(x00), 将 A的坐标(x0,-3)代入方程,解得 x0=. 所以水面下降 1 m 后,水面宽为 2x0=214.28 m.12.已知圆 C 的圆心坐标为 C(x0,x0),且过定点 P(4,2). (1)求圆 C 的方程(用含 x0的方程表示); (2)当 x0为何值时,圆 C 的面积最小?并求出此时圆 C 的标准方程. 解:(1)由题意,设圆 C 的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r0).因为圆 C 过定点 P(4,2), 所以(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r0),所以 r2=2-12x0+20.所以圆 C 的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.(2)因为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,所以当 x0=3 时,圆 C 的半径长最小,即面积最小, 此时圆 C 的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.