概论第2章-2.3.ppt

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1、 连续型随机变量连续型随机变量 X 所有可能取值充满若所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能像离散型干个区间。对这种随机变量，不能像离散型随机变量那样随机变量那样,指出其取各个值的概率，指出其取各个值的概率，给给出概率分布。而是用出概率分布。而是用“概率密度函数概率密度函数”表示表示随机变量的概率分布。随机变量的概率分布。2.3 连续型随机变量连续型随机变量例例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的得该厂生产的100个零件长度个零件长度(单位单位:mm)如

2、下如下:2.3.1 频率频率直方图直方图129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,

3、150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。128155作频率直方图的步骤作频率直方图的步骤(1).先确定作图区间先确定作图区间 a,b;a=最小数据最小数据-/2，b=最大数据最大数据+/2，是数据的精度。是数据的精度。本例中本例中 =1,a=127.5,b=155.5。(2).确定数据分组数确定数据分组数 m=1.87(n1)2/5+1，组距组距

4、d=(b a)/m，子区间端点子区间端点 ti=a+i d,i=0,1,m；(3).计算落入各子区间内观测值频数计算落入各子区间内观测值频数 ni=#xj ti1,ti)，j=1,2,n，频率频率 fi=ni/n，i=1,2,m；子区子区间间频频数数频频率率(127.5,131.5)(127.5,131.5)6 60.060.06(131.5,135.5)(131.5,135.5)12120.120.12(135.5,139.5)(135.5,139.5)24240.240.24(139.5,143.5)(139.5,143.5)28280.280.28(143.5,147.5)(143.5,

5、147.5)18180.180.18(147.5,151.5)(147.5,151.5)8 80.080.08(151.5,155.5)(151.5,155.5)4 40.040.04(4).(4).以小区间以小区间 ti-1，ti 为底，为底，yi=fi/d (i=1,2,m)为高作一系列小矩形，组成了频为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。率直方图，简称直方图。由于概率可以由频率近似，由于概率可以由频率近似，因此这个直因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。用用上上述述直直方方图图刻刻画画随随机机变变量量X的的概概率率分分布布

6、情情况况是是比比较较粗粗糙糙的的。为为更更加加准准确确地地刻刻画画X的的概概率率分分布布情情况况，应应适适当当增增加加观观测测数数据据的的个个数数,同同时时将将数数据据分分得得更更细细一一些些。当当数数据据越越来来越越多多,分分组组越越来来越越细细时时,直直方方图图的的上上方方外外形形轮轮廓廓就就越越来来越越接接近近于于某某一一条条曲曲线线,这这条条曲曲线线称称为为随随机机变变量量X的的概概率率密密度度曲曲线线，可可用用来来准准确确地地刻刻画画X的的概概率分布情况。率分布情况。2.3.2 概率密度函数概率密度函数 定义定义2.3.1：若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x),使随使随机变

7、量机变量X取值于任一区间取值于任一区间(a,b 的概率可表示的概率可表示成成则称则称 X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为 X 的概率密的概率密度函数，简称度函数，简称概率密度概率密度或或密度密度。密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为这两条性质是判定函数这两条性质是判定函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充的概率密度函数的充要条件。要条件。密度函数的性质密度函数的性质f(x)与与 x 轴所围轴所围 面积等于面积等于1。注意：注意：对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X和任意实数和任意实数a a，总有，总有 PX=a=0PX=a=0 说明，一

8、方面连续型随机变量取任意一说明，一方面连续型随机变量取任意一点的概率为零，另一方面，从点的概率为零，另一方面，从P(A)=0P(A)=0，并不，并不能推出能推出A A是不可能事件。是不可能事件。若若随机变量随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间 a,b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua,b1.均匀分布均匀分布(Uniform)(注注:有时也记作有时也记作 X U(a,b)。2.3.3 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量 若若X Ua,b，则对于满足，则对于满足 acdb 的的c 和和 d，总有，总有已知已知X U(2,5).现在对现在对

9、X 进行三次进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大独立观测，试求至少有两次观测值大于于 3 的概率的概率.解：解：记记 A=X 3,则则 P(A)=P(X 3)=2/3设设 Y 表示三次独立观测中表示三次独立观测中 A 出现的次数出现的次数,则则 Y b(3,2/3)，所求概率为所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例例1例例2 2 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程有实根的概率。有实根的概率。解解 方程有实数根方程有实数根 即即 而而 的密度函数为的密度函数为 所求概率为所求概率为 指数分布常用于可靠性统计研究中，如指数分布常用于可靠

10、性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布元件的寿命服从指数分布。若随机变量若随机变量 X 具有概率密度具有概率密度2.指数分布指数分布 则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布，记成记成 X E()。例例3：设某电子管的使用寿命设某电子管的使用寿命X(单位：小时单位：小时)服从参数服从参数=0.0002的指数分布，求的指数分布，求电子管使电子管使用寿命超过用寿命超过3000小时的概率。小时的概率。解：解：解解 正态分布是应用最广泛正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。的一种连续型分布。正态分布是十九世纪初，由高斯正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)(Gauss)给出并推广的

11、一种分布。故，也称给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布高斯分布。3.正态分布正态分布I.正态分布的定义正态分布的定义 若随机变量若随机变量 X 的的概率密度函数为概率密度函数为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线。(Normal)其中其中和和都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称，则称X服从参数为服从参数为和和的正态分布。的正态分布。II.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点特点特点“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”。正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于X=对称对称的的钟形曲线钟形曲线。正态分布的特性：正态分布的特性：（

12、1）关于直线）关于直线x=对称（单峰对称）对称（单峰对称）（2）在）在x=处取得最大值处取得最大值（3）在）在x=+处有拐点处有拐点（4）当）当 时，曲线以时，曲线以x轴为渐近线轴为渐近线 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 决决定了定了图图形的中心位置形的中心位置,决定了决定了图形形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。是位置参数是位置参数.是尺度参数是尺度参数.III.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0 0，1 1的正态分布称为的正态分布称为标准正标准正态分布，记作态分布，记作 X XN(0,1)N(0,1)。其其密度函数密度函数表示为表示为记记 由概率密度函数的对称性，可以推出由概率密度函

13、数的对称性，可以推出 (-x)(-x)1 1 (x)(x)；一般的概率统计教科书均附有标准正态分布一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅表供读者查阅(x)的值的值(附表附表2)。利用此表，我。利用此表，我们可以计算参数已知的情形下，正态随机变量落们可以计算参数已知的情形下，正态随机变量落在一个区间内的概率。如：在一个区间内的概率。如：ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个一任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通

14、过线性变换转化为标准正态分布。正态分布。设设 X N(,2),则则 Y N(0,1).一般正态分布的标准化：一般正态分布的标准化：定理定理2.3.1 若随机变量若随机变量X N(,2),则对任意则对任意a，b（a 1.96),P(|X|1.96)P(|X|175 的概率为的概率为解解:设车门高度为设车门高度为 h，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h。例例5 5：公共汽车车门的高度是按成年男性与车公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某

15、地设某地区成年男性身高区成年男性身高(单位单位:cm)XN(170,7.692),问车门最低高度应是多少问车门最低高度应是多少?因为因为XN(170,7.,7.692),),求满足求满足 P(X h)0.99 的最小的最小 h。故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。定义定义2.3.2:设设 X是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数 F(x)=PXx,-x 为随机变量为随机变量 X 的分布函数的分布函数。分布函数的性质分布函数的性质(1).(1).a b,总有总有F(a)F(b)()(单调非减性单调非减性

16、)；且且 PaXb=F(b)-F(a).2.3.4 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 证明：证明：因因 aXb=Xb-Xa，而而 Xa Xb，所以，所以 PaXb=PXb-PXa =F(b)-F(a).又又，因，因 PaXb0，故故 F(a)F(b).它表明随机变量落在区间它表明随机变量落在区间(a,b 上的概率上的概率可以通过分布函数来计算。可以通过分布函数来计算。(2).(2).x R，总有，总有00F(x)1()1(有界性有界性)，且，且是不是某一随机变量是不是某一随机变量的分布函数？的分布函数？答：不是答：不是 函数函数 可作为分布函数可作为分布函数因为因为 设离散型随机变量设离散

17、型随机变量X 的概率分布为的概率分布为 pk=P X=xk ,k=1,2,X 的分布函数为的分布函数为离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数P29P29，例，例2.2.12.2.1中中X 的分布函数为的分布函数为 连续型连续型随机变量随机变量的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的变上限积分。即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：由上式，得：在在 f(x)的连续点，有的连续点，有 若若X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f(x)是是X 的的密度密度函数，函数，F(F(x)是分布函数，则对任意是分布函数，则对任意xR，总有，总有求连续型求连续型随机变量的分布函数随机变量的

18、分布函数例例6：设随机变量设随机变量 X 的密度函数的密度函数解：解：求求 F(x).对对 x 1，有有 F(x)=1.即即 常见连续型随机变量的分布函数总结：常见连续型随机变量的分布函数总结：（1）均匀分布的分布函数）均匀分布的分布函数（3）标准正态分布的分布函数）标准正态分布的分布函数（2）指数分布的分布函数）指数分布的分布函数 本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续型随机变量：型随机变量：正态分布，均匀分布正态分布，均匀分布和和指数分布指数分布；最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。小结小结