连续性概念.ppt

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1、 1 连续性概念连续性概念 2 连续函数的性质连续函数的性质 3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1 连续性概念连续性概念解：1、y12021x2、(1,2)从图象上看，在 处“连续”，在 处“间断”。2、，1、引例 求下列函数在处的函数值和极限，并作出图象。图象：图象：yx01122(1,2)函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 DxDyu 函数的增量 u 函数的改变量（增量）设有函数 ，在函数定义域内，当

2、 从变到 时，函数 相应地从 变到 称为函数 在 处的改变量（增量）。当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值的差 为变量 的改变量（增量），记为 ，即 一、函数连续性的概念那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。2、函数在一点处的连续性 定义 如果（1）函数 在 处及其近旁有定义；（2）存在；（3）提示:设xx0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 Dyf(x0+Dx)f(x0)2、函数在一点处的连续性 讨论:如何用ed 语言叙述函数的连续性定义？e 0 d 0 当|xx0|d 有|f

3、(x)f(x0)|e 提示:设函数 yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 yf(x)在点x0处连续 2、函数在一点处的连续性 左连续与右连续结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 2、函数在一点处的连续性（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。（1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，称函数 在 内连续。3、函数在区间上的连续性 如果 在开区间 内连续，且在右

4、端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在闭区间 上连续。连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例3、函数在区间上的连续性例1、设 ，求适合下列条件的函数的改变量（增量）。（1）由1变到1.2 （2）由1变到0.8（3）由1变到（2）（3）解：（1）练习1、求函数 ，当 ，时的改变量。解：的初值为1，终值为1.5例2 讨论函数 在 处的连续性，并作出函数的图象。解：根据定义的三个步骤进行

5、验证：（1）的定义域是 ，故 在 及其附近有定义，;（2）所以（3）因此 在 处连续。x041 2 3-1-2123y 符合定义的三个步骤。在 处连续。例3 适当选取 的值，使函数解：（1）的定义域是 ，在 及其附近有定义 。（2）即 ，此时欲使 在 处连续，须有（3）所以 时，在 处连续。练习2 用定义讨论函数在 处的连续性并作图。解：由定义的三个步骤进行验证：（1）（2）所以，（3）函数 在 处连续。1-1xy0二、函数的间断点 如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。由函数 在 处连续的定义知，当函数有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。

6、（1）在 近旁有定义，但在 处没有定义。（2）虽在 处有定义，但 不存在。（3）虽在 处有定义，且 存在，但定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点v间断点的类型注:.)(,)()(,)(lim0000的可去间断点为则称或有定义但无定义在点而若xfxAxf，xxfAxfxx不相等者称为跳跃间断点 注:.)(),(lim)(lim,)(0000的跳跃间断点为

7、函数则称点但右极限都存在的左在点若函数xfxxfxfxxfxxxx+无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点（2）函数 在 处有定义，但 不存在。所以，是该函数的间断点。例如：（1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。2-22yx01-1xy0(3)函数 ，在 处有定义，且 ，但所以 是该函数的间断点。xy101间断点举例 例1 例2 当x0时 函数值在1与+1之间变动无限多次 所以点x0是函数的间断点 所以点x0称为函数的振荡间断点 间断点举例所以点x1是函数的间断点 如果补充定义 令x1时y2 则所给函数在x1成为连续 所以x1称为该函数的可去间断点 例3 间断点举例所以x1是函数f

8、(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x1处的定义 令f(1)1 则函数在x1成为连续 所以x1也称为此函数的可去间断点 例4 间断点举例 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点 例5 间断点举例例4 已知函数 问函数 有无间断点。解：点 处可能间断，分三步验证。（1）在 及其附近有定义，且（2）不存在所以，函数 在 处间断。三、初等函数的连续性1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，有3、分段函数只可能在分段点处间断。例5 求解：设 因为 是初等函数，其定义域为 ，而 根据初等函数连续性的定理 得到函

9、数在 处连续，练习3 讨论下列函数在给定点处的连续性。（1）在 处（2）在 处解：，解：所以 ，在 处连续所以，不存在，在 处间断。求下列 函数的间断点（3）（4）解：为初等函数，在定义域内连续 ，定义域为 间断点为解：不是初等函数，分段点 且因为 所以，在 处间断。（5）求极限解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为 所以，小结小结(1),函数的连续性函数的连续性;(3),函数的间断点函数的间断点;(2),函数左连续与右连续函数左连续与右连续;(4),初等函数的连续性初等函数的连续性.作业作业 P73:2,3,4,5,6,7.2 连续函数的性质连续函数的性质v定理1 (局部有界性)v定理

10、2 (局部保号性)内有界在则连续在点若函数);()(,)(00dxUxfxxf).)()();(),;(),(0()(0)0)(0)(,)(0000000rxfrxfxUxxUxfrxfrxfxfxxf或有使得或则或且连续在点若函数dd一、连续函数的性质v定理3 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 例1 因为sin x和cos x都在区间(+)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的(连续函数四则运算法则)v定理4 如果函数f(x)在区间I

11、x上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的 例2 同样 yarccos x 在区间1 1上是连续的 yarctan x 在区间(+)内是连续的 yarccot x 在区间(+)内是连续的(反函数的连续性)反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的v定理4 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的

12、所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的 例2 (反函数的连续性)注:(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理提示:v定理5 例3 解 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成(复合函数的连续性)设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续v定理5 v定理5 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成(复合函数的连续性)(复合函数的连续性)sin u 当u0 f(1)2二、零点定理与介值定

13、理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 v定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)C 小结小结(1),最大值与最小值定理最大值与最小值定理;(3),零点定理零点定理;(2),有界性定理有界性定理;(4),介值定理介值定理.作业作业 P81:9,10,12,13,14,15,17,18.