中国石油大学工程力学课件tm404mat.ppt

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1、第四章第四章 弯曲应力弯曲应力Chapter 4 Bending Stresses海盗船长海盗船长2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-2Contents4.1 Introduction4.2 Normal stress in beams4.3 Shear stress in beams4.4 Some measurements improving the strength of beams2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-3N内力内力应力应力4.1 Introduction回顾与比较FAyVM2023/1/28KylinsoftKy

2、linsoftMOM-4-4梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲(pure bending)(pure bending)When a segment of a beam is in equilibrium under the action of bending moments alone,such a condition is referred to as pure bending梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲(nonuniformnonuniform bending)bending)纯弯曲纯弯曲(P

3、ure Bending)2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-54.2 Normal stress in beams 平平平平面面面面假假假假设设设设 变变 形形 物物物物理理理理关关关关系系系系 静静静静 力力力力 方方方方 程程程程应变分布应变分布应变分布应变分布应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式1 正应力分析方法正应力分析方法the fundamental hypothesis of the flexure theory梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度plane sections

4、 through a beam taken normal to its axis remain plane after the beam is subjected to bending.(0)平面假设平面假设(plane assumption)2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-7中性轴中性轴 neutral axis：中性层与横截面的交线为截面的。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。中性层中性层 neutral surface：在变形中既不伸长也不缩短的一层。还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。中性轴

5、纵向对称面中性层横截面对称轴MM2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-8(1)变形几何关系(Geometry of deformation)距中性轴为 y 处的纵向层 a-a 弯曲后的长度为(-y)d，其纵向正应变为：:中性层纤维的曲率半径(Radius of curvature)纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。ydxya aMMr rOyMMda a2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-9(2)物理关系(Stress-strain relation)梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所

6、以纯弯梁各点处于单向应力状态(uniaxial stress state)。对于线弹性材料，根据虎克定律Hookes law 纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离 y 成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布.Mxss2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-10(3)静力关系(Static equilibrium relationship)zyxuS My=0横截面对 z 轴的静矩Sz为零，说明 z 轴(中性轴)必须过截面的形心。u S Mz=Mu S X=0y 轴是对称轴，横截面对 y 和 z 轴的惯性积 Iyz 为零。MsdAyz2023/1/28

7、KylinsoftKylinsoftMOM-4-11P90-4.1横力弯曲横截面上有剪力，但用纯弯曲的公式计算横横力弯曲横截面上有剪力，但用纯弯曲的公式计算横截面上的正应力，误差不大截面上的正应力，误差不大，弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之比之比 l/h 5（细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。2 正应力公式正应力公式（M、y取绝对值，根据弯矩图取绝对值，根据弯矩图判断判断s s是拉应力还是压应力）是拉应力还是压应力）2023/1/28KylinsoftKylinso

8、ftMOM-4-123 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件（Criterion of strength）抗弯截面系数Section Modulus 横截面上最大正应力横截面上最大正应力 (Maximum stresses at a cross section)2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-13 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZShaped Steel2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-14弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材

9、料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-15选择截面：矩形(h/b=2)，普通工字钢、圆形及圆管形(D/d=2)四种截面，并比较其截面面积。已知s=160MPa.解：RA=13.75kN RB=21.25kNM2.513.75V13.7516.255作剪力图、弯矩图30kN5kN/m1m1m1mRARB最大弯矩：Mmax=13.75kN-m例题：2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-16由强度条件：得到:矩形截面 圆形截面

10、b=5.05cm h=10.1cm A=51.cm2d=9.57cm A=71.93cm2 管形截面D=9.78cm d=4.89cm A=56.34cm2 14号工字钢 W=102cm3 A=21.5cm2工字钢表2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-17梁的合理截面梁的合理截面14号工字钢 Wz=102cm3 A=21.5cm2矩形截面 b=5.05cm h=10.1cm A=51.cm2圆形截面 d=9.57cm A=71.93cm2管形截面 D=9.78cm d=4.89cm A=56.34cm2对于相同的承载能力如何节省材料-W相同而截面面积小。使用相同的

11、材料如何提高承载能力-相同的面积得到更大的W。型钢的截面设计合理。型钢的具体数据查书后面的表。W=85.94 cm32023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-18例:铸铁材料的拉、压许用应力分别为s+=40MPa及s-=80MPa。试校核此梁是否安全。(2)计算截面的几何性质 求得形心C距上、下边缘的距离分别为52mm和88mm，形心主惯性矩 Iz=7.64106mm4。解：(1)绘内力图-弯矩图5kN1m1m1m12kNABCD3.55MB截面MBC截面MC528880z2012020(3)危险截面危险截面:截面C,最大正弯矩 3.5kN-m 截面B,最大负弯矩 5k

12、N-m2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-19例铸铁材料的拉、压许用应力分别为s+=40MPa及s-=80MPa。试校核此梁是否安全。5kN2m2m2m12kNABCD3.55MB截面MBC截面MC528880z2012020危险点：危险点：最大压应力发生在B截面下边缘的各点处;最大拉应力发生在C截面下边缘,也可能出现在的B截面上边缘的各点处。2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-20最大压应力:B下边缘最大拉应力:C截面下边缘若将梁倒着放置时，此梁是否仍然安全？最大拉应力也可能发生在 B 截面上边缘脆性材料常采用关于中性轴不对称的截面

13、。3.55MB截面MBC截面MC528880z2012020虽然大于s+=40MPa，但没超过5%，故仍然认为是安全的。2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-21dxVzxy4.3 弯曲剪应力弯曲剪应力(Shear Stresses in Beam)dxy矩形截面梁横截面上剪应力分布的假定:1）横截面上剪应力都与剪力 V 平行。2）剪应力沿宽度方向均匀分布。tt2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-22h/2dxyh/2x剪应力M VM+dMV+dVdxdxMM+dMN1N2N3yh/2h/2bz y1ydAA1t t2023/1/28K

14、ylinsoftKylinsoftMOM-4-23剪应力MVM+dMV+dVdxdxMM+dMyh/2h/2bz y1ydAA1S X=0h/2dxyh/2xN1N2N3t t2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-24V:横截面上的剪力；Iz:整个截面对z轴的惯性矩；Sz*:距中性轴为y的横线以外部分面积对z 轴的静矩；b:截面的宽度。剪应力横截面上的剪应力2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-25矩形截面梁横截面上剪应力是抛物线规律分布。梁上下边缘个点(y=h/2)，剪应力为零;中性轴上各点(y=0)，剪应力最大。矩形截面梁横截面上最大

15、剪应力是平均剪应力的1.5倍。矩形截面梁横截面上剪应力yh/2h/2bz y1ydA矩形截面梁横截面上剪应力ycCtmaxA12023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-26工字形截面腹板上的剪应力 Shear Stress in the WebyH/2 h/2BbH/2 h/2yC2yC1A1A22023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-27工字形截面腹板上的剪应力Shear Stress in the WebyH/2 h/2BbH/2 h/2yC2yC1A1A2剪力 V 的95%-97%为腹板承担，tmax tmin，可近似认为截面上剪力均匀分

16、布，即：2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-28zV圆形截面梁的剪应力 Shear Stress in Beams of Circular Cross SectionPyABR 各点的剪应力的竖直分量 ty最大剪应力在中性轴上各点 由b=2R得到 圆截面上最大剪应力为截面上平均剪应力的 4/3 倍。上半圆的面积A=pR2/2 形心 yC=4R/3ptmaxycAB上各点的剪应力相交于P点，在A点、B点与圆周相切；AB上各点的剪应力的竖直分量 ty 相等。2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-29例a PP aABRARBhbzyoVPP

17、Mx矩形截面木梁 AB。b=100mm,h=150mm.a=0.5m.s=11MPa 顺纹t=1.2MPa,求许用载荷PmaxPa解：约束反力，剪力图和弯矩图最大剪力 Vmax=P 最大弯矩Mmax=Pa取 Pmax=8.25kN由正应力强度条件由剪应力强度条件2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-30例外伸梁受力如图。梁由钢板焊接而成，截面尺寸如图。已知s=120MPa，t=60MPa，试校核梁的强度，并求焊缝ab处的剪应力。解解：(1)求支座反力 RA=25kN RB=105kN作内力图：V,M Mmax=40kN-m Vmax=65kN(2)建立参考坐标 z1

18、，求得形心和惯性矩zC=82mm Iz=3.97107mm41m90kN2m1m20kN/mADCBRARB254065VM2540202020014020z182Ca b2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-31例(3)求 B截面下边缘正应力(4)求 B左截面中性轴上点的剪应力满足正应力和剪应力强度条件。1m90kN2m1m20kN/mADCBRARB254065VM2540202020014020z182C2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-32例(5)焊缝ab处的剪应力：20202001402082Ca b2023/1/28Kyl

19、insoftKylinsoftMOM-4-334.4 提高梁的弯曲强度的措施提高梁的弯曲强度的措施(Some measurements improving the strength of beams)1.合理安排支座，降低梁的最大弯矩6aP4aPaa2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-34FFF2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-35采用超静定结构采用超静定结构2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-362.合理安排载荷，降低梁的最大弯矩PF2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-3

20、7合理放置截面合理放置截面3.合理设计截面2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-38合理设计截面合理设计截面2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-39金贸大厦内部2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-404.采用等强度梁(Fully Stressed Beam)PlABhBbxhx等强度梁:梁的各个截面上的最大正应力都相等。MPl弯矩方程:M=Px设计受一集中力作用的等强度悬臂梁，梁截面宽度 b保持不变，高度随 x 变化。梁高:固支端 x=l 处:设计梁高:2023/1/28KylinsoftKylinsoft

21、MOM-4-412023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-422023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-43结论与讨论结论与讨论2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-44(1)正六边形截面的简支梁承载如图所示，若按a，b两种方式放置，则 A a有较高的抗弯强度B b有较高的抗弯强度C a、b的抗弯强度相同D a、b的抗弯强度相对大小要视具体材料性质而定ab答案:A2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-45(2)悬臂梁受如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A都相等，试分析哪一种形

22、式截面梁的强度最高：答案:A2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-46(3)铸铁制简支梁承受集中力偶M0如图所示，试判断四种截面（截面面积均为A）形状中，哪一种可使许可外力偶矩M0最大：答案:C2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-47(4)图示四根梁中的FP、l、抗弯模量W、许用应力s均相同，试判断哪一根梁具有最高强度：答案:D2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-48(5)图示四根梁中的q、l、抗弯模量W、许用应力s均相同，试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的：A 强度：图(a)图(b)图(c)图(d)B 强度：图(b)图(d)图(a)图(c)C 强度：图(d)图(b)图(a)图(c)D 强度：图(b)图(a)图(d)图(c)答案:B2023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-49HomeworkP90-4.6*、P91-4.8、P91-4.132023/1/28KylinsoftKylinsoftMOM-4-50制作群制作群素材收集素材收集海盗船长海盗船长多媒体制作多媒体制作海盗船长海盗船长总编辑总编辑海盗船长海盗船长审核审核海盗船长海盗船长总策划总策划海盗船长海盗船长赞助赞助海盗船长海盗船长