2019版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、11.3.21.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n.思考 3

2、二项式系数的最大值有何规律？答案 当n2,4,6 时，中间一项最大，当n3,5 时中间两项最大梳理 (1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC .kn1k1nk n(2)二项式系数的性质性质内容对称性C C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两m nnmn个二项式系数相等如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项12nT 的二项式系数最大增减性与最大值如果n为奇数，那么其展开式中间两项1 2nT与112nT的二项式系数相等且同时取得最大值2二项展开式中各二项式系数的和等于

3、 2n，即C C C C 2n0n1n2nn n各二项式系数的和奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于 2n1，即 C C C C C C 2n11n3n5n2n4n6n1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( )2二项式展开式的二项式系数和为 C C C .( )1n2nn n3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( )类型一 与杨辉三角有关的问题例 1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是( )A第 6 行 B第 7 行 C第 8 行 D第 9 行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭

4、头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A144 B146 C164 D461考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 (1)B (2)C解析 (1)由题意，第 6 行为 1,6,15,20,15,6,1，第 7 行为 1,7,21,35,35,21,7,1，故第 7行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除(2)由题干图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是 C ，第 152 21 22 31 3项是 C ，第 16 项是 C ，所以S(16)C C C C C C

5、 (C C C )2 91 91 22 21 32 31 92 91 21 31 93(C C C )2 22 32 9(C C C C C )(C C C )2 21 21 31 92 23 32 32 9CC1164.2 103 10反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 23.考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 34解析 由题意设第n行的第 14 个数与第 15 个数的比为 23，它等于二项展开式的第 14 项和第 15 项的二项式系数的比，所以 CC

6、23，即 ，解得n34，所以在第13n14n14 n132 334 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 23.类型二 二项式系数和问题例 2 已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x1，得a0a1a2a51.(2)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.4由(2x1)5的通项Tk1C (1)k25kx5k知a1，a3，a5为负值，k5所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.

7、(3)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得 2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.135 2引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解 (1)因为a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a4122.135 2(2)因为a0是(2x1)5展开式中x5的系数，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.(3)因为(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以两边求导数得 10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1 得

8、5a04a13a22a3a410.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR R，m，nN N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对(axby)n(a，bR R，nN N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，f1f12偶数项系数之和为a1a3a5.f1f12跟踪训练 2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；5(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和考

9、点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为 C C C C 29.0 91 92 99 9(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，591 2即所有奇数项系数之和为.591 2类型三 二项式系数性质的应用例 3 已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项

10、考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或 2n32，n5.(1)由于n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3C2 532 3x (3x2)290x6，T4C22 3x (3x2)327022 3x.3 5(2)展开式的通项公式为Tk1C 3k2(52 )3kx，k5假设Tk1项系数最大，则有Error!Error!6即Error! k ，kN N

11、，k4，7 29 2展开式中系数最大的项为T5C2 3x(3x2)440526 3x.4 5反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1 项最大，应用Error!解出k，即得出系数的最大项跟踪训练 3 写

12、出(xy)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T6Cx6y5，T7Cx5y6.5 116 11(2)(xy)11展开式的通项为Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk，k11k11项的系数的绝对值为|C(1)k|C，k11k11项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6Cx6y5，T7Cx5y6.5 116 11(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又第

13、6 项系数为负，第 7 项系数为正，故项的系数最大的项为T7Cx5y6，项的系数最小的项为T6Cx6y5.6 115 11(4)展开式中，二项式系数的和为 CCCC211.0 111 112 111111(5)令xy1，得展开式中各项的系数和为 CCCC(11)110.0 111 112 11111171观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )A8 B6 C4 D2考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4a10，得a6.2(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )An，n1 Bn1，nCn1，n2 D

14、n2，n3考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 C解析 2n1 为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第(2n11 21)项，即第n1 项与第n2 项，故选 C.(2n11 21)3已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则n等于( )(x33x)A4 B5C6 D7考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x1，各项系数和为 4n，二项式系数和为 2n，故有64，所以n6.4n 2n4设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_考点 展开式中系数的和问

15、题题点 二项展开式中系数的和问题答案 158解析 令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C (3)4k(2x)k，k4当k4 时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，则展开式中二项式系数最大(1 42x)的项的系数为_考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 35 8解析 由 C C C 37，得 1nn(n1)37，解得n8(负值舍去)，则第 5 项的二0n1n2n1 2项式系数最大，T5C (2x)4x4，该项的系数为.4 81 4435 835 81二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的

16、系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 0,1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n一、选择题1如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a7 时，b等于( )A20 B21 C22 D23考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题9答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a7 时，上面一行的第一个数为 6，第二个数为 16，所以b

17、61622.2若n(nN N*)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x31 x2)A210 B252C462 D10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 A解析 由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为 11，从而n10，于是得其常数项为 C210.6 103已知关于x的二项式n展开式的二项系数之和为 32，常数项为 80，则a的值为( )(xa3x)A1 B1 C2 D2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由条件知 2n32，即n5，在通项公式Tk1C ()5kkCa

18、k15 5 6k x 中，令k5x(a3x)k5155k0，得k3.所以 Ca380，解得a2.3 54(x1)11的展开式中，x的奇次幂的系数之和是( )A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 (x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，则a0a1a2a11211，令x1，则a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024. 25若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为( )A10 B45C9 D45考点 二项式定理10题点 逆用二项式定理求和、化简答案 B解

19、析 x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a8CC45.8 102 106设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若MN240，则展开式(5x1x)中x的系数为( )A150 B150 C300 D300考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 由已知条件 4n2n240，解得n4，Tk1C (5x)4kk(1)k54kC342kx，k4(1x)k4令 41，得k2，3k 2所以展开式中x的系数为(1)252C 150.2 47已知(2x1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 38，则C C C C 的值为(

20、 )1n2n3nn nA28 B281C27 D271考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知，BA38.令x1，得，a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二项式系数性质可得，C C C C 2nC 281.1n2n3nn n0n8关于下列(ab)10的说法，错误的是( )A展开式中的二项式系数之和是 1 024B展开式的第 6 项的二项

21、式系数最大11C展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 由二项式系数的性质知 CCCC2101 024，故 A 正确二项式系0 101 102 101010数最大的项为 C，是展开式的第 6 项，故 B 正确由展开式的通项为Tk1Ca10k(b)5 10k10k(1)kCa10kbk知，第 6 项的系数C最小，故 D 正确k105 10二、填空题9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10，若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是_考点 二项式系

22、数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n10 时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为 6.10在n的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则中间项系数是_(1 x31 x3)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 462解析 二项式的展开式中所有项的二项式系数和为 2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得 2n11 024，n11，展开式共 12 项，中间项为第六项、第七项，其系数为 CC462.5 116 1111若x4(x3)8a0a1(x2)a

23、2(x2)2a12(x2)12，则 log2(a1a3a11)_.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.三、解答题1212设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值3(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (

24、1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，3所以a1a2a100(2)1002100.3(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.3与式联立相减得a1a3a99.2 31002 31002(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.33(5)|a0|a1|a100|，即(2x)100的展开式中各项系数的和，在(2x)100的展33开式中，令x1，可得各项系数的和为(2)100.313已知n展开式的二项式系数之和为 256.(xm x)(1)求n；(

25、2)若展开式中常数项为，求m的值；35 8(3)若(xm)n展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项，求m的取值情况考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为 2n256，可得n8.(2)设常数项为第k1 项，则Tk1Cx8kkCmkx82k，k8(m x)k8故 82k0，即k4，则 Cm4，解得m .4 835 81 213(3)易知m0，设第k1 项系数最大则Error!化简可得k.8m1 m19m m1由于只有第 6 项和第 7 项系数最大，所以Error!即Error!所以m只能等于 2.四、探究与拓展14设(3x2)6a0a1(2

26、x1)a2(2x1)2a6(2x1)6，则_.a1a3a5 a0a2a4a6考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 63 65解析 令x1，得a0a1a2a61，令x0，得a0a1a2a664，两式相减得 2(a1a3a5)63，两式相加得 2(a0a2a4a6)65，故.a1a3a5 a0a2a4a663 6515已知(x2)2n的展开式的系数和比(3x1)n的展开式的系数和大 992，求2n的3x(2x1 x)展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得 22n2n992，解得n5.(1)10的展开式中第 6 项的二项式系数最大，(2x1 x)即T6C(2x)558 064.5 10(1 x)(2)设第k1 项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10kkk10(1 x)(1)kC210kx102k.k10Error!得Error!即Error! k，kN N，k3，8 311 314故系数的绝对值最大的是第 4 项T4(1)3C27x415 360x4.3 10