lecture6一阶逻辑基本概念.ppt

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1、在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有很大的局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理:所有的人都是要死的；苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。这个苏格拉底三段论是我们公认的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(pq)r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨论这三个要素。个体个体词词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体

2、。例如，小王，小李，中国，3等都可以作为个体词。将表示具体或特定的客体的个体词称作个体个体常常项项，一般用小写英文字母a，b，c表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体个体变项变项，常用x，y，z表示。称个体变项的取值范围为个体域个体域(或称或称论论域域)。个体域可以是有穷集合，例如，1，2，3，a，b，c，d，a，b，c，x，y，z，；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N=0，1，2，实数集合R=x|x是实数。有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全全总总个体域个体域。本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互

3、关系的词。同个体词一样，谓词也有常项和变项之分。表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项谓词常项，表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项谓词变项。无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G，H，表示，可根据上下文区分。是无理数。是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示该命题。用P(x1,x2,xn)表示含n(n1)个命题变项的n元谓词。问：它是不是命题？要想使它成为命题，必须用谓词常项取代P，用个体常项a1,a2,an取代x1,x2,xn，得P(a1,a2,an)是命题。有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之间数量关系的词。称表示

4、个体常项或变项之间数量关系的词为量词量词。量词可分两种:日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，将它们符号化为“”。并用x，y等表示个体域里的所有个体，而用xF(x)，yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F和都有性质G。日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，将它们都符号化为“”。并用x，y等表示个体域里有的个体，而用xF(x)，yG(y)等分别表示个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质G等。例例4.2在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个命题符号化:(1

5、)凡人都呼吸。(2)有的人用左手写字。其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。解解(a)令F(x):x呼吸。G(x):x用左手写字。(1)在D1中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为xF(x)(4.1)(2)在D1中的有些个体(人)用左手写字，因而“有的人用左手写字”符号化为xG(x)(4.2)(b)D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必须考虑将人分离出来。令M(x):x是人。在D2中，(1)，(2)可以分别重述如下:(1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。(2)在宇宙间存在着用左手写字的人。于是(1)，(2)的符号

6、化形式分别为x(M(x)F(x)(4.3)和x(M(x)G(x)(4.4)其中F(x)与G(x)的含义同(a)中。命题(1)，(2)在不同的个体域D1和D2中符号化的形式不一样。主要区别在于，在使用个体域D2时，要将人与其他事物区分开来。为此引进了谓词M(x)，像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定要正确使用特性谓词。问问:(a)能否将(1)符号化为x(M(x)F(x)？(b)能否将(2)符号化为x(M(x)G(x)？问：1.在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。2.同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。注意1.一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换

7、。例如，考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10，则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化形式为xyH(x,y)(4.17)所给命题显然为真命题。但是如果改变两个量词的顺序，得yxH(x,y)(4.18)(4.18)已经不表示原命题，而且它所表示的命题是假命题。2.有些命题的符号化形式可不止一种。由于引进了个体词，谓词和量词的概念，现在可以将本章开始时讨论的推理在一阶逻辑中符号化为如下形式:x(F(x)G(x)F(a)G(a)(4.21)其中，F(x):x是人，G(x):x是要死的，a:苏格拉底.定义定义4.5在公式xA和xA中，称x为指导变元指导变元，A为相应量词的

8、辖域辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的。定义定义4.6设A是任意的公式，若A中不含有自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式封闭的公式，简称闭式闭式。例例4.7将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题:(1)x(F(x)G(x)(4.25)解解(1)指定个体变项的变化范围，并且指定谓词F，G的含义，下面给出两种指定法:(a)令个体域D1为全总个体域，F(x)为x是人，G(x)为x是黄种人，则(4.25)表达的命题为“所有人都是黄种人”，这是假命题。(b)令个体域D2为实数集合R，F(x)为x是自然数，G(x)为x是整数，则(4.2

9、5)表达的命题为“自然数都是整数”，这是真命题。我们还可以给出其他各种不同指定，使(4.25)表达各种不同形式的命题。定义定义4.8设A为一个公式，若A在任何解释下均为真，则称A为永真式永真式(或称逻辑有效式或称逻辑有效式)。若A在任何解释下均为假，则称A为矛盾式矛盾式(或永假式或永假式)。若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式可满足式。定义定义4.9设A0是含有命题变项p1,p2,pn的命题公式，A1,A2,An是n个谓词公式，用Ai(1in)处处代替A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例代换实例。例如，F(x)G(x)，xF(x)yG(y)等都是pq的代换实例。问：x(F(x)G

10、(x)是不是pq的代换实例？定理定理4.2重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。主要内容主要内容 3.量词全称量词存在量词4.一阶逻辑中命题符号化5.一阶逻辑公式原子公式合式公式（或公式）闭式6.解释7.一阶逻辑公式的分类逻辑有效式（或永真式）矛盾式（或永假式）可满足式1.个体词个体常项个体变项个体域全总个体域2.谓词谓词常项谓词变项n(n1)元谓词特性谓词学习要求学习要求 要求准确地将给出的命题符号化：当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。