Maple在微积分上的应用.ppt

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1、Maple在微積分上的應用教授：蔡桂宏 博士 學生：施凱晏 學號：9535607195503統資軟體課程講義統資軟體課程講義Let us start!報告大綱：函數與極限導數與導函數導數的應用積分積分應用與技巧第一章 函數與極限 1.1 函數1.2 函數的運算1.3 極限的基本概念1.4 Maple的極限計算法1.5 函數的連續性1.1 函數(1)偶函數與奇函數：如果 ，則稱f為偶函數(even function)。若 ，則稱f為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱於原點。EX:(2)片段函數(piecewise function)：Maple以pie

2、cewise指令來定義片段函數，其語法如下:piecewise(cond1,f1,cond,f2,condn,fn,otherwise)若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預設值為0。EX:1.2 函數的計算(1)函數的合成：以函數g合成f，而產生的函數f(g(x)稱為合成函數(composite function)，記為f。g。因此(f。g)(x)=f(g(x)。而Maple以小老鼠符號來代表。EX:合成函數也可以由片段函數組成。EX:,而 ，試以Maple求出(f。g)(

3、x)1.3 極限的基本概念極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。(1)極限的直觀介紹:考慮 ，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。EX:(2)夾擠定理(squeeze theorem):定理:設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x)f(x)h(x)，若則I:2007springgradMaple施凱晏sqeeze new.mw以函數圖形來說明 夾擠定理意義，1.4 Maple的極限計算法(1)Limit&limit:計算函數的極限值。趨近方向dir為一選項，其值可以是left或ri

4、ght。若沒有指定，則以雙方向趨近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、-infinity。EX:I:2007springgradMaple施凱晏limit piece.mwlimit指令也可以用來求解片段函數的極限值。1.5 函數的連續性(1)連續性:定義函數的連續:如果(1)f(a)有定義，(2)存在，而且(3)，則稱函數f(x)在x=a為連續。EX:利用Maple來判別函數是否連續。(2)Maple有關測試函數連續性的指令:EX1:EX2:(3)介值定理(the intermediate value theorem):定理:如果函數f於閉區間a,b連續，且 ，則於閉區間

5、a,b至少存在一數c使得f(c)=N。由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間a,b連續且f(a)*f(b)0(亦即f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間a,b內至少存在一解c使得f(c)=0。EX:第二章 導數與導函數2.1 導函數與導數2.2 導函數的求法2.3 Maple的微分指令2.4 鏈鎖律2.5 高階導函數2.6 隱微分法2.1 導函數與導數(1)導函數:f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。定義導函數:函數f(x)的導函數定義為 ，而 的定義域為使得該極限存在的所有x所組成。EX:(2)導數:定義導數:函數f(x)在x=a的導數記為 ，亦即 。若函數f(x)

6、在x=a的導數存在，亦即則稱f在x=a可微分(differentiable)。一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況:1.函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX:2.函數於x=a不連續(斷點)。3.函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為 )。EX:4.I:2007springgradMaple施凱晏D success.mw可微分例子。2.2 導函數的求法(1)乘幕律(power rule)若n為正整數，則 。EX:(2)和與差的公式:若f與g為可微分函數，則EX:試求 的導函數。(3)積的公式(product rule):若f與g皆為可微分函數，則(4)商的公式(quoti

7、ent rule):若f與g皆為可微分函數，且g(x)0，則EX:設 ，試求 。到目前為止，皆以導函數的定義式來計算函數的導函數。事實上，Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分。2.3 Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處裡函數的微分。diff是用來計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用來求出運算子的微分式。(1)微分指令diff:EX1:diff指令的用法EX2:Diff指令的用法 p.s:數學上慣用以 來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函 數，則習慣上以 來表示f對x的偏微分(partial differentiation

8、)。Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號 來取代慣用的 。(2)微分運算子:Maple的內建函數如sin,cos,abs與sqrt等皆為函數運算子，而函數運算子加上引數(如:sinx,cosx等)即成為一個標準函數。定義函數運算子D():D(f):求函數運算子f的一階微分運算子I:2007springgradMaple施凱晏D.mw內建&自定函數運算子2.4 鏈鎖律定義鏈鎖律:設g在x可微分，且f在g(x)為可微分，則合成函數f。g在x為可微分，且廣義的成幕律:若f(x)為x的可微分函數，則EX:2.5 高階導函數Maple計算二階以上之導函數的指令與一階相同，只是語法稍有不同。下面列出了d

9、iff指令與微分運算子D在二階以上之導函數的用法。EX:2.6 隱微分法如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的形式，則前幾節所介紹的微分法便不適用，因此必須嘗試隱微分法來求得函數f的微分。EX:顯然地，上式無法把它表示成y=f(x)的形式，那麼如何求出?Sol:I:2007springgradMaple施凱晏impli 2.mw設 ，利用隱微分法求 。事實上，Maple提供了一個簡單的implicitdiff指令，可以更方便的計算函數的n階隱微分。前EX:EX:第三章 導數的應用3.1 函數圖形的判別3.2 極大值與極小值3.1 函數圖形的判別函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數

10、來判別。下面介紹(1)函數的遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。(1)函數的遞增遞減：EX:(2)函數圖形的凹向性：若要知道函數圖形凹向上(concave upward)或凹向下(concave downward)等幾何上的性質，則必須求助二次導函數。EX:3.2 極大值與極小值EX:第四章 積分4.1 不定積分4.2 Maple的積分運算4.3 代換積分法4.4 定積分:曲線下的面積4.5 面積的估算4.6 微積分基本定理4.1 不定積分把函數f微分，可以得到它的導函數f。若已知一函數的導含數為f，則求其反導函數(anti-derivative)的過程稱為反微分(anti-differentat

11、ion)。EX:試求 的反導函數。F(x)的導函數為 則F(x)即為 ，其中c稱為積分常數，因為它會伴隨著每一個不定積分產生。的反導函數。，所以 為 的反導函數，但是反導函數並不唯一，因此 的反導函數為。而函數f的反導函數則表示成，此式稱為f(x)的不定積分(indefinite integral)。因此，的反導函數為，故 4.2 Maple的積分運算注意，大部分的符號運算軟體如Maple、Mathematica等，在計算不定積分時多半不會自動加上積分常數。EX:4.3 代換積分法Maple的student程式庫裡也提供了一個變數變換的指令changevar，以方便執行積分的變數變換。如下：C

12、hangevar(g(x)=u,Int(f(x),x)將被積分函數f(x)裡的部份表示式g(x)代換成u，並回應一個代換過後的積分式。EX:4.4 定積分:曲線下的面積此處重心放在求兩條曲線間的面積，而這種求算面積的方法可以視為定積方(definite integral)的一種基本應用。簡單來說，定積分可看成是兩條曲線所包圍起來的面積。想要算出曲線下面積A時，可以先把所圍成的區域分割成n個寬度相等的小矩形，再分別求這些小矩形的面積，然後把它們相加即可求得近似的面積。若分高的等份數越多，所求得的結果也就越精準。Maple的student程式庫提供了幾個指令來繪製小矩形，並估算這些小矩形面積的總和

13、(下節介紹)。EX1:I:2007springgradMaple施凱晏box 2.mw試以下列所指定的方法，用Maple計算 於區間0,4內與x軸 所圍成的面積，並比較各種方法的精確度。(a)左接矩形，分別取n=4，n=8與n=20。(b)中接矩形，取n=20。4.5 面積的估算在student程式庫裡有三個指令用來估算兩曲線之間的面積。I:2007springgradMaple施凱晏sum 1.mw此範例是利用Maple的leftbox指令以不同的方法計算定積分EX:4.6 微積分基本定理I:2007springgradMaple施凱晏fun theo 1.mw試以微積分基本定理計算EX:第五章 積分的應用與技巧5.1 面積5.2 分部積分5.1 面積EX1:EX2:5.2 分部積分EX:EX:Thanks For Your Listening