概率统计2.3.ppt

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1、第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、数学期望一、数学期望(Mathematical Expectation)二、方差二、方差(Variance)三、三、切比雪夫切比雪夫(a)不等式不等式四、矩四、矩（Moment).1 在许多实际问题中在许多实际问题中,随机变量分布规律不易求得或不需随机变量分布规律不易求得或不需求得，而只需了解其某些数字特征，而数字特征常常容易求得，而只需了解其某些数字特征，而数字特征常常容易通过通过数理统计数理统计的方法得到的方法得到.本节要讨论三个数字特征：本节要讨论三个数字特征：数学期望，方差（数学期望，方差（涉及涉及切切比雪夫不等式比雪夫不等式）与与

2、矩矩.2 一、一、数学期望数学期望 (Mathematical Expectation)1.1.序：对数学期望的理解序：对数学期望的理解3有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：1 1）离散型随机变量的数学期望）离散型随机变量的数学期望 例例1 1甲：甲：击中环数击中环数 891030%10%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 891020%50%30%频率频率 问哪一个射手问哪一个射手水平较高？水平较高？解解假定各射假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：4问哪一个射手问哪一个射手水平较高？水平较高？解解假定各射假

3、定各射N枪，则平均每枪所得环数约为枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：乙：乙：可见甲的水平高些可见甲的水平高些.甲：甲：击中环数击中环数 891030%10%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 891020%50%30%频率频率 50-10-1分布分布例例2 2 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 0-10-1分布分布,求求EX.6例例3 3 面额为面额为1元的彩票共发行元的彩票共发行1万张，其中可得奖金万张，其中可得奖金1000元、元、20元、元、5元的彩票分别有元的彩票分别有 2张、张、50张和张和500张张.若某人购买若某人购买1张彩票，则他获奖金额张彩票，则

4、他获奖金额 X 的数学期的数学期望望 E(X)为多少？为多少？解解10002050.0002XP 00.0050.050.9448则则7 首先要对未来市场作出适当估计首先要对未来市场作出适当估计.假定企业领导假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对对1之比，即市之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为场萧条和繁荣的概率分别为 2/3和和1/3,因此因此,如果立即如果立即扩展，则利润的期望值是扩展，则利润的期望值是 例例4 4 假假定定有有一一个个商商业业企企业业面面临临着着是是否否扩扩大大经经营营问问题题，根根据据现现有有资资料料估估计计，如如果果未未来来的的

5、市市场场繁繁荣荣而而现现在在就就进进行行扩扩展展经经营营，则则一一年年内内可可以以获获利利328(万万元元)；如如果果未未来来市市场场萧萧条条，则则将将损损失失80(万万元元).如如果果这这个个企企业业等等待待下下一一年年再再扩扩展展，在在市市场场繁繁荣荣的的情情况况下下，将将获获利利160(万万元元),而而在在市市场场萧萧条条的的情情况况下下，则则仅仅能能获获利利16(万万元元).现现在在的的问问题题 是是，这这 个个 企企 业业 的的 领领 导导 人人 将将 怎怎 样样 作作 出出 决决 策策？数学期望在数学期望在经济经济管理中管理中经经常用到，特常用到，特别别是在决策是在决策问题问题中中

6、.解解8市场萧条和繁荣的概率分别为市场萧条和繁荣的概率分别为 2/3和和 1/3,如果立即扩如果立即扩展，则利润的期望值是展，则利润的期望值是如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为 按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利.如果领导人对未来市场的估计不是如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为那么，他立即扩展所期望的利润为 9 如果领导人对未来市场的估计不是如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为，那么，他

7、立即扩展所期望的利润为 而推迟扩展所期望的利润为而推迟扩展所期望的利润为 按此计算结果，则立即扩展较为有利按此计算结果，则立即扩展较为有利.10例例5 5 (一一种种验验血血新新技技术术)在在一一个个人人数数很很多多的的单单位位中中普普查查某某种种疾疾病病,N个个人人去去验验血血,有有两两种种方方法法:(1 1)每每个个人人的的血血分分别别化化验验,共共需需N次次;(2 2)把把 k个个人人的的血血样样混混在在一一起起化化验验,如如果果结结果果是是阴阴性性,那那么么一一次次就就够够了了；如如果果呈呈阳阳性性,那那么么对对这这k个个人人的的血血样样再再逐逐次次化化验验,共共需需k+1次次.假假定

8、定对对所所有有人人来来说说,呈呈阳阳性性的的概概率率为为p,且且相相互互独独立立,下下面面说说明明当当p较较小小时时,方方 法法(2 2)能能减减少少化化验验的的次次数数.解解用方法用方法(2)(2)验验血血时时,每个人需化每个人需化验验的次数的次数X的概率分布的概率分布为为 11用方法用方法(2)(2)验验血血时时,每个人需化每个人需化验验的次数的次数X的概率分布的概率分布为为 因此，因此，N个人需化个人需化验验的次数的数学期望的次数的数学期望为为 例如，例如，2 2）连续型随机变量的数学期望）连续型随机变量的数学期望 12例例6 6 设随机变量设随机变量X 服从区间服从区间 a,b上上的均

9、匀分布的均匀分布,求求EX.解解X 的概率密度为的概率密度为区间中点区间中点13解解例例7 7 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 求求 X 的数学期望的数学期望.14解解例例8 8 某种某种电电子元器件的使用寿命子元器件的使用寿命 X 是个随机是个随机变变量，量，其概率密度其概率密度为为 若若规规定定使使用用寿寿命命在在5 50 00 0小小时时以以下下为为废废品品，产产值值为为0 0；在在5 50 00 0到到1 10 00 00 0小小时时之之间间为为次次品品，产产值值为为1 10 0元元；在在 1 10 00 00 0到到1 15 50 00 0小小时时之之间间

10、为为二二等等品品，产产值值为为3 30 0元元；1 15 50 00 0小小时时以以上上者者为为一一等等品品，产产值值为为4 40 0元元，求求该该种种产产品品的的平平均均产产值值.设该设该种种产产品的品的产值为产值为 Y 元，元，15所以所以16解解例例9 9 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 由由规规范性，范性，而而172.2.数学期望的性质数学期望的性质1 1）线性性质）线性性质其中其中a，b，C 是常数是常数.特例：特例：2）乘积的性质）乘积的性质18182）的证明的证明19关于推论：独立条件下，协方差等于零的证明关于推论：独立条件下，协方差等于零的证明203

11、 3）随机变量的函数的数学期望）随机变量的函数的数学期望21解解X-2-100.1P 10.20.30.4例例10 10 设随机变量设随机变量 X 的概率分布如下：的概率分布如下：或利用性质：或利用性质：22解解例例11 11 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为拉普拉斯分布拉普拉斯分布 23例例12 12 设随机变量设随机变量 X 服从区间服从区间 a,b上上的均匀分布，的均匀分布，求求 E(X 2 2)及及 E(X-EX)2 2.解解X 的概率密度为的概率密度为24解解例例13 13 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的

12、第个整点的第5分钟、分钟、25分钟和分钟和 55分钟从底层起行假设分钟从底层起行假设有一游客在早上有一游客在早上8 8点的第点的第X分钟到达底层等候电梯，且分钟到达底层等候电梯，且X在在0,600,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望以以Y 表示游客的等候时间，则表示游客的等候时间，则故故25二、二、方差方差 (Variance)随机随机变变量量 X 的数学期望，描述了随机的数学期望，描述了随机变变量量 X 取取值值的集中的集中趋势趋势或平均水或平均水平，但是平，但是仅仅仅仅知道知道 X 的数学期望有的数学期望有时还时还不能完全刻划随机不能完全刻划随

13、机变变量量X的的统计统计特特征征.1.1.引例引例 引例引例 现有两个单位，甲单位共三人，工资结构为：现有两个单位，甲单位共三人，工资结构为：15001500，20002000，25002500。乙单位共。乙单位共7 7人，工资结构为：人，工资结构为：500500，500500，500500，500500，10001000，10001000，10000.10000.乙单位领导对外宣称，其单位工人收入不比甲单位低，平均收入乙单位领导对外宣称，其单位工人收入不比甲单位低，平均收入也是也是20002000，但不读书的人都能看出：除了个别人外，该单位工人的收入，但不读书的人都能看出：除了个别人外，该单

14、位工人的收入远没有那么高。由此看出远没有那么高。由此看出“平均值平均值”往往是某些人糊弄别人的伎俩往往是某些人糊弄别人的伎俩要全面的了解工人的收入，还需了解工资的偏差，即分散程度。要全面的了解工人的收入，还需了解工资的偏差，即分散程度。262728 上面我们得到了方差的公式，但是显然不能用定义去上面我们得到了方差的公式，但是显然不能用定义去计算方差，有什么好方法吗？计算方差，有什么好方法吗？事实上，我们有如下推导：事实上，我们有如下推导：二、方差的性质二、方差的性质29性质性质1.1.推论推论1 1.推论推论2 2.性质的证明性质的证明30性质性质1 1证明如下：证明如下：31补充命题补充命题

15、1.1.补充命题补充命题2.2.32例例14 14 设设 X 表示机床表示机床A一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表示表示机床机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P 30.30.10.1解解Y0120.6P 30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等.均值相等均值相等,据此不能判断优劣据此不能判断优劣,再求方差再求方差.例例33X0120.5P 30.30.10.1Y0120.6P 30.10.20.1均值相等均值相等,据此不能据此不能判断优劣判断

16、优劣,再求方差再求方差.由于由于D(X)D(Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较机床B的波动小的波动小,质量较稳定质量较稳定.34解解例例15 15 设设随机随机变变量量 X 的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX,DX.350-10-1分布分布例例16 16 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 0-10-1分布分布,求求DX.解解36例例17 17 设随机变量设随机变量 X 服从区间服从区间 a,b 上上的均匀分的均匀分布，布，求求 EX 和和 DX.解解X 的概率密度为的概率密度为37*三三、有有时时我我们们并不知道随机并不知道随机变变量的分布，但却希望

17、量的分布，但却希望对对随机随机变变量的偏差大小量的偏差大小进进行概率估行概率估计计，在知道方差的前提下，在知道方差的前提下这这是可行是可行的，事的，事实实上，我上，我们们有：有：定理定理成立成立.切比雪夫不等式切比雪夫不等式38证证 设设 X是是连续连续型随机型随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为f(x),则则 定理定理成立成立.39上式可改写为上式可改写为 切切比比雪雪夫夫不不等等式式具具体体地地估估算算了了随随机机变变量量X取取值值时时，以以数数学学期期望望 E(X)为为中中心心的的分分散散程程度度.不不难难看看出出，方方差差D(X)越越小小，则则随随机机变变量量X的的取取值值越越集集

18、中中在在数数学学期期望望 E(X)的的附附近近，由由此此可可以以进进一一步步体体会会到到方方差差的的概概率率意意义义，它它刻刻划划了了随随机机变变量量的的分分散散程程度度.如取如取40例例1 18 8 已已知知正正常常男男性性成成人人血血液液中中，每每一一毫毫升升白白细细胞胞数数平平均均是是 7300，均均方方差差是是 700.利利用用切切比比雪雪夫夫不不等等式式估估计计每每毫毫升升白白细细胞胞数数在在 52009400 之之间间的的概概率率.设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X，依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002，解解由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式，41四、四、矩矩 (Moment)其中其中 k 是正整数是正整数.42练习：练习：习题二(P77)1、2、3、4、9、13、14、15、16、18、19、20、22、23、26、27、29、31、34、40、41、47、52、53、55、62、63、66、68、69、70、72*一、16；三、1、2、3