结构有限元法精选文档.ppt

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1、结构有限元法课件本讲稿第一页，共三十七页本讲稿第二页，共三十七页 3.2 位移函数的多项式形式位移函数的多项式形式 一维单元中，位移函数的多项式形式表示为 二维单元中 三维单元中本讲稿第三页，共三十七页本讲稿第四页，共三十七页 插值多项式阶次的选择原则插值多项式阶次的选择原则 （1）插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求）插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求 （2）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关 （3）多项式的数目应等于单元结点自由度的数目）多项式的数目应等于单元结点自由度的数目 第第(1)条要求在后面讨论。第条要求在后面讨论。第(2)

2、条要求即在不同局部坐标系中，位移条要求即在不同局部坐标系中，位移函数函数(多项式多项式)表达式不变，这种性质称为几何等向性，为获得几何等向表达式不变，这种性质称为几何等向性，为获得几何等向性，多项式中应含有不违反下图所示对称性的那些项。性，多项式中应含有不违反下图所示对称性的那些项。本讲稿第五页，共三十七页本讲稿第六页，共三十七页本讲稿第七页，共三十七页 收敛性要求收敛性要求 （1）位移函数中必须含有反映刚体运动的项数。）位移函数中必须含有反映刚体运动的项数。多项式形式的常数项即体现这一刚体位移。多项式形式的常数项即体现这一刚体位移。（2）位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数中必须有常

3、数）位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数中必须有常数项存在。项存在。当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单元位移函当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单元位移函数中应包括常应变项。数中应包括常应变项。平面应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变即要求位移函平面应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变即要求位移函数含有一次项。数含有一次项。（3）位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的）位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的 在有限单元法中，按位移求解时，只计算了各单元内部的应变能，在有限单元法中，按位移求解时，只计算了各单元内部的应

4、变能，没有计算相邻两单元接触面上的功，由于接触面的厚度是零，当接触没有计算相邻两单元接触面上的功，由于接触面的厚度是零，当接触面上的应变是有限值时，此功等于零，反之，当接触面上的应变不是面上的应变是有限值时，此功等于零，反之，当接触面上的应变不是有限值时，此功就可能不等于零，忽略它会引起一定的误差。有限值时，此功就可能不等于零，忽略它会引起一定的误差。本讲稿第八页，共三十七页3.3 单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵建立（1）虚位移原理）虚位移原理（2）单元位移）单元位移（3）单元应力与应变）单元应力与应变（4）节点力与单元刚度矩阵）节点力与单元刚度矩阵（5）节点载荷）节点载荷本讲稿第九页，共三十七

5、页3.3.1 虚位移原理 外力在虚位移上所做的虚功是 在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能是 整个物体的虚应变能是本讲稿第十页，共三十七页虚位移原理:如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即3.3.2 单元位移 单元内任一点的位移可表示如下：本讲稿第十一页，共三十七页 3.3.3 单元应变与应力 本讲稿第十二页，共三十七页3.3.4 结点力与单元刚度矩阵 本讲稿第十三页，共三十七页3.3.5 结点载荷 1分布体积力 本讲稿第十四页，共三十七页 2分布面力 本讲稿第十五页，共三十七页本讲稿第十六页，共三十七页3.4 组装总刚组装总刚本

6、讲稿第十七页，共三十七页本讲稿第十八页，共三十七页本讲稿第十九页，共三十七页本讲稿第二十页，共三十七页3.5 解方程组求节点位移解方程组求节点位移（1）约束位移边界条件处理）约束位移边界条件处理（2）斜支座处理）斜支座处理（3）高斯消去法解方程组）高斯消去法解方程组（4）三角分解法）三角分解法本讲稿第二十一页，共三十七页位移边界条件位移边界条件 得到结构的刚度方程后，结构刚度方程的求解相当于总刚得到结构的刚度方程后，结构刚度方程的求解相当于总刚K求逆的过程。求逆的过程。但从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列但从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式

7、值为零，不能立即求逆。式值为零，不能立即求逆。从物理意义看，结构处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产从物理意义看，结构处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移。生任意的刚体位移。所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程唯一所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程唯一地解出结点位移。地解出结点位移。为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件。界条件。本讲稿第二十二页，共三十七页 首先要通过施加适当的约束，消除结构的刚体位移，再根据首先要通过施加适当的约束，消除结构的

8、刚体位移，再根据问题要求设定其它已知位移。问题要求设定其它已知位移。约束的种类包括使某些自由度上位移为零，或给定其位移值，还有给约束的种类包括使某些自由度上位移为零，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种。处理约束的方法，常用的有删行删列定支承刚度等，本书涉及前两种。处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置法、分块法、置大数法和置“1”法等，法等，下面分别予以介绍。下面分别予以介绍。本讲稿第二十三页，共三十七页删行删列法删行删列法 若结构的某些结点位移值为零时，则可将总体刚度矩阵中相应的行、若结构的某些结点位移值为零时，则可将总体刚度矩阵中相应的行、列删行删列划掉，

9、然后将矩阵压缩即可求解。列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。阵的阶数可大大缩小。通常用人工计算时常采用该方法。通常用人工计算时常采用该方法。若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题不太采用。不太采用。本讲稿第二十四页，共三十七页不是奇异的，因而可以解方程 分块法 由于全部给定

10、的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的。因此，可以采用下述等价方法。本讲稿第二十五页，共三十七页置“1”法 实际计算中，上述方程可以在不重新排列的情况下用下述分块的方法来进行。本讲稿第二十六页，共三十七页 置大数法 在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素 乘上一个很大的数，此行其它元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用 来代替本讲稿第二十七页，共三十七页 这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解。当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零。删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移(包括零位移)。本讲稿第二十八页，共三十七页斜支座的处理斜支座的处理 对于边界结点i，须限定 方向位移 为此，将边界结点i的位移及载荷都变换到局部坐标，本讲稿第二十九页，共三十七页本讲稿第三十页，共三十七页斜支座处理斜支座处理本讲稿第三十一页，共三十七页本讲稿第三十二页，共三十七页高斯消去法解方程组高斯消去法解方程组本讲稿第三十三页，共三十七页本讲稿第三十四页，共三十七页三角分解法三角分解法总体刚度平衡方程是对称、正定矩阵，因而可作如下分解 本讲稿第三十五页，共三十七页是单位上三角矩阵 本讲稿第三十六页，共三十七页结结 束束本讲稿第三十七页，共三十七页