复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考).ppt

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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换A（闭卷）（闭卷）考试时间：考试时间：2011年年1月月13日日14：0016：00电子信息电子信息1，2班：教三班：教三101电子信息电子信息3，4班：教三班：教三103考试题型：填空题考试题型：填空题8题（共题（共32分），分），解答题解答题7题（共题（共68分），分），满分满分100分分其中：其中：积分变换不考填空题，只考积分变换不考填空题，只考 大题（占大题（占20分），复变函数分），复变函数 （占（占80分）分）复变函数考查内容：复变函数考查内容：1.复数复数(一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模

2、)2.复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。3.复变函数：主要考察把曲线从复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到平面映到uv平面的象的求法。平面的象的求法。第一章：第一章：第二章：第二章：1.1.解析函数：主要考察定义和解析函数：主要考察定义和P41P41页的定理一和二页的定理一和二(C(CR R方程方程)2.2.几个重要的初等函数的表达式几个重要的初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数函数与幂函数，三角函数与双曲函数)第三章：重点是计算积分第三章：重点是计算积分1.1.复变函数积分的概

3、念复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系理解，掌握积分路径与积分值的关系)2.2.灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式解题高阶导数公式解题3.3.理解原函数与不定积分的概念及其计算。理解原函数与不定积分的概念及其计算。4.4.掌握解析函数与调和函数的关系掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部虚部，已知虚部会求实部)第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数1.1.理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗

4、级数的定义理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义2.2.掌握幂级数求法，求收敛半径掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法比值和根值判别法)3.3.使用已知级数使用已知级数(识记五种简单级数展开式识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰和间接法展开泰勒级数和罗朗级数勒级数和罗朗级数(P117(P117定理四定理四)，注意在不同点展开后是，注意在不同点展开后是不一样的。收敛域的求法。不一样的。收敛域的求法。第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊类型的积分类型的积分1.判别孤立奇点类型判别孤立奇点类型(掌握三种孤立起点的定义，灵掌握三

5、种孤立起点的定义，灵活运用活运用)，理解无穷远点的性态。，理解无穷远点的性态。2.灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。理灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。理解无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。解无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。3.三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如何转化为留数来计算的方法。何转化为留数来计算的方法。积分变换考查内容：积分变换考查内容：第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程1.理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念2.灵

6、活应用傅里叶变换的性质灵活应用傅里叶变换的性质(4条条)和卷积定理来求傅里叶变和卷积定理来求傅里叶变换换3.掌握微分和积分方程的傅立叶解法掌握微分和积分方程的傅立叶解法4.熟记若干简单的函数的傅立叶变换熟记若干简单的函数的傅立叶变换(傅立叶逆变换傅立叶逆变换)第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程1.1.理解拉普拉斯变换的概念理解拉普拉斯变换的概念2.2.灵活应用拉普拉斯变换的性质灵活应用拉普拉斯变换的性质(4(4条条)和卷积定理来求拉普拉和卷积定理来求拉普拉斯变换，以及理解用留数定理求拉普拉斯逆变换的方法斯变换，以及理解用留数定理

7、求拉普拉斯逆变换的方法3.3.掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法掌握微分和积分方程的拉普拉斯解法4.4.熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换熟记若干简单的函数的拉普拉斯变换(拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换)例例1 1 计算计算例例2 2 求复数求复数的实部，虚部和模。的实部，虚部和模。函数函数将将平面上的曲线平面上的曲线变成变成平面上的曲线平面上的曲线 例例3 3是是_._.例例4 4 若若试求试求n的值的值例例5 5 设设试证试证例例6 6 求求例例7 7 求求p，m，n的值使得函数的值使得函数为解析函数。为解析函数。例例8 设设f(z)=(1)求求f(z)解析区域；解析区域；(2)求求 例例9 9

8、设设C C是正向圆周是正向圆周则则=（）（）例例1010设设C C是正向圆周是正向圆周，则，则=（）例例11设设C为从为从-i到到i的左半单位圆周，则的左半单位圆周，则()()例例12 12 设设。求求，使得，使得。其中。其中（D D为复平面内的区域）。为复平面内的区域）。为解析函数，且满足为解析函数，且满足例例13.f(z)=在圆环域在圆环域0|z|1内的罗朗展开式为内的罗朗展开式为 .例例1414求求处的泰勒展开式，并指出收敛圆域处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.例例15 15 若若_。将函数将函数在点在点z=1处展开为泰勒级数处展开为泰勒级数.例例16公共邮箱：公共邮箱：fbhs_密码：1

9、23456 例例17 z=1是函数是函数f(z)=的的_.（填孤立奇点的类型）（填孤立奇点的类型）例例18 设设f(z)=，则则Resf(z),0=_ Res=.例例19z=i是是f(z)=的的_ 例例20（填孤立奇点的类型（填孤立奇点的类型(若是极点说明其级数若是极点说明其级数)）例例21 设设函数函数则则Resf(z),-i=_例例22（1）求）求 在上半平面的所有孤立奇点；在上半平面的所有孤立奇点；（2）求）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分）利用以上结果计算积分.例例23（1）求）求 在上半平面的所有孤立奇点；在上半平面的所有孤立奇点；

10、（2）求）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分）利用以上结果计算积分第一章 Fourier变换1 重点和难点重点和难点2 内容提要内容提要3 典型例题典型例题26 一、重点与难点一、重点与难点重点重点：难点难点：1 求函数的求函数的Fourier变换变换(Laplace变换变换)求函数的求函数的Fourier(Laplace)变换变换2 Fourier变换变换(Laplace变换变换)的的简单应用简单应用傅氏积分定理傅氏积分定理 若若f(t)在在(-,+)上满足条件上满足条件:1).f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件在任一有限区间上满足狄氏条件

11、;2).f(t)在无限区间在无限区间(-,+)上绝对可积上绝对可积,则有则有1 Fourier积分定理积分定理二、内容提要二、内容提要若函数若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件满足傅氏积分定理的条件,则在则在f(t)的连的连续点处续点处,有有(1)式叫做式叫做f(t)的的Fourier变换式变换式,(2)式为式为F(w w)的的Fourier逆逆变换式变换式,f(t)与与F(w w)可相互转换可相互转换,可记为可记为F(w w)=f(t)和和 f(t)=-1F(w w)2 Fourier变换变换称称de(t)的弱极限为的弱极限为d-函数函数,记为记为d(t).即即de(t)1/eeO3 单位脉

12、冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换（2 2）函数为偶函数函数为偶函数,即即（3 3）其中其中,称为单位阶跃函数称为单位阶跃函数.反之反之,有有 d-函数有性质函数有性质:(1)(1)两个常用的积分：一般地，有一般地，有(1).(1).线性性质线性性质 设设F1(w w)=f1(t),F2(w w)=f2(t),a a,b b是常是常数数,则则 a af1(t)+b bf2(t)=a aF1(w w)+b bF2(w w)同样同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即即 -1a aF1(w w)+b bF2(w w)=a af1(t)+b bf2(t)4 Fo

13、urier变换的性质变换的性质(2).(2).微分性质微分性质 如果如果f(t)在在(-,+)上连续或只有上连续或只有有限个可去间断点有限个可去间断点,且当且当|t|+时时,f(t)0,则则 f(t)=j w w f(t).同样同样,我们还能得到象函数的导数公式我们还能得到象函数的导数公式,设设 若=为实常数,则 (3).位移性质位移性质:2）象函数的位移性质象函数的位移性质 若=为实常数,则 1 1）象原函数的位移性质）象原函数的位移性质(4).(4).积分性质积分性质 实际上实际上,只要记住下面几个常用的只要记住下面几个常用的Fourier变换变换,则则所有的所有的Fourier变换都无须

14、用公式直接计算而可由变换都无须用公式直接计算而可由Fourier变换的性质导出变换的性质导出.卷积满足下列性质卷积满足下列性质:5 卷积和卷积定理卷积和卷积定理卷积定理卷积定理 假定假定f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中都满足傅氏积分定理中的条件的条件,如如 f1(t)=F1(w w),f2(t)=F2(w w)则则 f1(t)*f2(t)=F1(w w)F2(w w)以及以及 同理可得同理可得任给函数任给函数f(t),都有都有f(t)*d d(t)=f(t),这是因为这是因为单位脉冲函数单位脉冲函数d d(t)在卷积运算中起着类似数的在卷积运算中起着类似数的运算中的运算中的1 1的作

15、用的作用.首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解再取逆变换得最后的解.如如下图所示下图所示.象原函数象原函数(微分方程的解微分方程的解)象函数象函数微分、积分方程微分、积分方程象函数的象函数的代数方程代数方程取傅氏逆变换取傅氏逆变换取傅氏变换取傅氏变换解代数解代数方程方程6 微分、积分方程的微分、积分方程的Fourier解法解法三、典型例题三、典型例题例例1 求函数求函数的傅氏的傅氏变换变换，其中，其中 例例3 证明证明 (f(t)(f(t)(例例4 求积分方程求积分方程 已知已知 例例5 已知已知(试利用傅氏变换的性质，求下列函数的傅氏变换.f(t)积积分分变换变换（1）（2）利用拉氏利用拉氏变换变换解常微分方程初解常微分方程初值问题值问题：