第五章Green函数法.ppt

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1、数理方程分类数理方程分类数理方程分类数理方程分类与时间与时间 有关有关稳定态稳定态格林函数法格林函数法格林函数法格林函数法无源：无源：拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程有源：有源：泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程 无源无源有源有源第五章第五章 格林函数法格林函数法Method of Green functionMethod of Green function 5.1 5.1 函数函数 物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、点电荷的概念）力学中集

2、中作用在一点的力所产生的压点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、瞬时电压等瞬时电压等 。它们不在某一空间范围内出现，也它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内不在某一时间间隔内出现，出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的函数函数1 1 函数的函数的引入引入设在设在x x轴上有一金属线，则在任意点处金属线的密度为轴上有一金属线，则在任意点处金属线的密度为若取

3、金属线的总质量为若取金属线的总质量为1 1，且集中分布在，且集中分布在x=0处处，则，则更一般的更一般的即即另外的例子另外的例子 显然，上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示，为显然，上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示，为了确定这类工程中常见的函数，必须引入广义函数了确定这类工程中常见的函数，必须引入广义函数,简记为简记为函数函数.有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量，有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量，例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中非常窄的脉冲等，都能够像处理连续分布的量那样，中非常窄的脉冲等，都能

4、够像处理连续分布的量那样，以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决.从数学上弄清从数学上弄清函数的定义，要涉及到广义函数的定义，要涉及到广义函数的知识。为方便起见，我们可把函数的知识。为方便起见，我们可把函数看作函数看作是弱收敛函数序列的弱极限是弱收敛函数序列的弱极限.这表明这表明函数可以看成一个普通函数序列的弱极函数可以看成一个普通函数序列的弱极限限.工程上常将工程上常将函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数.有时将有时将函数函数用一个长度等于用一个长度等于1 1的有向线段表示，的有向线段表示，线段的长度表线段的长度表示示函数的积分值称为函数的积分值称为函数的强度函数的强度.由函数的定义，

5、可以推出函数的一个重要结果，称为函数的筛选性质:1.筛选性质5.根据函数的定义，容易得出宗量为函数的函数的性质 证明证明:根据根据函数的定义函数的定义现将全部积分区间分成若干间隔，使每一间隔现将全部积分区间分成若干间隔，使每一间隔 含有一个含有一个 的单根，则对于任意的连续函的单根，则对于任意的连续函数有数有最后一步用了中值定理，其中最后一步用了中值定理，其中 令令 因因即即又由于又由于所以有所以有于是于是根据根据函数的筛选性质和函数的筛选性质和FourierFourier变换的定义，变换的定义，容容易求出易求出函数的函数的FourierFourier变换变换.另外另外比较上述二式，得比较上述

6、二式，得注意：这时的广义积分不是普通意义下的积分值，注意：这时的广义积分不是普通意义下的积分值，函数的函数的FourierFourier变换是一种广义的变换是一种广义的FourierFourier变换变换.一些常见函数的广义一些常见函数的广义Fourier变换变换:解解5.2 5.2 泊松方程的边值问题泊松方程的边值问题 泊松方程的泊松方程的基本解基本解基本解基本解 第一边值问题第一边值问题 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 第二边值问题第二边值问题 第三边值问题第三边值问题 格林函数的格林函数的定义：定义：一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的

7、场。的场。如如格林函数的定义格林函数的定义格林函数格林函数线性定解问题的叠加原理线性定解问题的叠加原理一般一般“源源”产生产生“场场”的方法的方法 格林函数格林函数 点源函数点源函数 应用应用第一格林公式第一格林公式推导过程推导过程第二格林公式第二格林公式令函数令函数G G满足：满足：则则？格林函数法格林函数法 点源函数法点源函数法如定解问题如定解问题积分形式解积分形式解挖掉包含点挖掉包含点M M0 0的区域的区域 ，利用第二格林公式：利用第二格林公式：两式相减两式相减,有有考虑到考虑到前式左端第一项为零前式左端第一项为零,即即前式右端第一项中之前式右端第一项中之s se e积分项积分项（并令

8、（并令0,0,即有）即有）前式右端第二项中之前式右端第二项中之s se e积分项积分项在式在式故有故有中中,已有已有 泊松方程第一边值问题泊松方程第一边值问题可以证明可以证明(p256)D-D-氏积分公式氏积分公式所以所以,得得代入上式，得代入上式，得称基本积分公式称基本积分公式 泊松方程第三边值问题泊松方程第三边值问题用用左乘左乘 用用左乘左乘 二式相减，得二式相减，得代入基本积分公式代入基本积分公式*泊松方程第二边值问题泊松方程第二边值问题得得代入基本积分公式代入基本积分公式 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 三维空间三维空间 二二维空间维空间5.3 5.3 格林函数的一般求法格林函数

9、的一般求法 有界有界空间空间的格林函数的格林函数 球内球内 半空间半空间 圆内圆内 半平面半平面三维无界区域的格林函数（基本解）三维无界区域的格林函数（基本解）问题：问题：方法方法1 1：利用：利用微分形式的微分形式的高斯定理，高斯定理，M M0 0位置的点电荷位置的点电荷0 0产生的电势产生的电势(M,M(M,M0 0)无界区域的格林函数无界区域的格林函数或或令无穷远处电势为零，则令无穷远处电势为零，则C C2 2=0=0方法方法2 2：利用：利用拉普拉斯方程在球坐标系下的解拉普拉斯方程在球坐标系下的解拉普拉斯方程在球坐标系下的解拉普拉斯方程在球坐标系下的解先假设先假设 r r0 0=0=0

10、。以以r r0 0=0=0为心，为心，为半径做球为半径做球，则，则若电荷位于任意点若电荷位于任意点 r r0 0，则，则无界区域的格林函数无界区域的格林函数此即三维此即三维无界空间的格林函数。无界空间的格林函数。二维无界区域的格林函数二维无界区域的格林函数 r r0 0位置位置，均匀带电的无限长直导线，电荷线，均匀带电的无限长直导线，电荷线密度密度0 0，在空间产生的电势分布，在空间产生的电势分布(r,r(r,r0 0)方法方法1 1：二维无界区域的格林函数二维无界区域的格林函数pozA电场强度电场强度电势电势如果选择为如果选择为 A A 点电势零点，且令点电势零点，且令那么有那么有先考虑带电

11、直导线通过原点先考虑带电直导线通过原点O O。如果带如果带电直导线通过任意点电直导线通过任意点那么那么方法方法2 2：利用：利用拉普拉斯方程在极坐标系下的解拉普拉斯方程在极坐标系下的解拉普拉斯方程在极坐标系下的解拉普拉斯方程在极坐标系下的解先考虑带电直导线通过原点先考虑带电直导线通过原点O O。再考虑带再考虑带电直导线通过任意点电直导线通过任意点求求解过程解过程解过程解过程方方程变为程变为程变为程变为解之，得解之，得解之，得解之，得对方对方程两边作面积分，得程两边作面积分，得程两边作面积分，得程两边作面积分，得利用二维散度定理利用二维散度定理利用二维散度定理利用二维散度定理所以所以所以所以即即

12、即即所以所以所以所以下面主要介绍下面主要介绍电像法电像法(Method of images)(Method of images)有界区域的格林函数有界区域的格林函数有界区域的格林函数有界区域的格林函数令令且且而而电像法的基本问题电像法的基本问题 在在点点电电荷荷附附近近有有导导体体或或介介质质存存在在时时，空空间间的的静静电电场场是是由由点点电电荷荷和和导导体体的的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在在所所求求的的场场空空间间中中，导导体体的的感感应应电电荷荷或或介介质质的的极极化化电电荷荷对对场场点点而而言言能能否否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某

13、个或几个假想的电荷来代替呢？用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？光光学学理理论论给给我我们们的的启启发发，看看过过哈哈哈哈镜镜的的人人会会有有这这样样的的印印象象：平平面面镜镜内内的的像与物大小一样，凸面镜内的像比物小，凹面镜内的像比物大。像与物大小一样，凸面镜内的像比物小，凹面镜内的像比物大。当当我我们们把把点点电电荷荷作作为为物物，把把导导体体或或介介质质界界面面作作为为平平面面镜镜，那那么么导导体体的的感感应应电电荷荷或或介介质质的的极极化化电电荷荷就就可可作作为为我我们们所所说说的的像像，然然后后把把物物和和像像在在场场点点处处的的贡献迭加起来，就是我们讨

14、论的结果。贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。电像法电像法(Method of images)(Method of images)5.4 5.4 5.4 5.4 用电像法求某些特殊区域的格林函数用电像法求某些特殊区域的格林函数用电像法求某些特殊区域的格林函数用电像法求某些特殊区域的格林函数电像法的注意事项电像法的注意事项 a)a)唯唯一一性性定定理理要要求求所所求求电电势势必必须须满满足足原原有有电电荷荷分分布布所所满满足足的的PoissonPoissons s equation equation or or LaplaceLaplaces s equationequation。因因此此，在在所

15、所研研究究的的场场域域内不可放置像电荷，也就是说，内不可放置像电荷，也就是说，像电荷必须放在研究的场域外像电荷必须放在研究的场域外。b)b)由由于于像像电电荷荷代代替替了了真真实实的的感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷的的作作用用，因因此此放放置置像像电电荷荷后后，就就认认为为原原来来的的真真实实的的导导体体或或介介质质界界面面不不存存在在。也也就就是是把把整整个个空空间间看成是无界的均匀空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。c)c)像像电电荷荷是是虚虚构构的的，它它只只在在产产生生电电场场方方面面与与真真实实的的感感应应电

16、电荷荷或或极极化化电电荷荷有有等等效效作作用用。而而其其电电量量并并不不一一定定与与真真实实的的感感应应电电荷荷或或真真实实的的极极化化电电荷荷相相等等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。，不过在某些问题中，它们却恰好相等。d)d)镜镜像像法法所所适适应应的的范范围围是是：场场区区域域的的电电荷荷是是点点电电荷荷，无无限限长长带带电电直直线线；导体或介质的边界面必是简单的导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面规则的几何面（球面、柱面、平面）。（球面、柱面、平面）。电像法电像法(Method of images)(Method of images)电像法的具体应用电像法的具体应用 用电像法解题

17、大致可按以下步骤进行用电像法解题大致可按以下步骤进行 ：a)a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；b)b)根据根据给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置；给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置；c)c)由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；下面按界面形状的不同分类举例讨论下面按界面形状的不同分类举例讨论,首先讨论界面为球面的情况。首先讨论界面为球面的情况。电像法电像法(Method of images)(Method of images)例例1 1 求解球（域内）的求解球（域内）的D-D-氏问题氏问

18、题解：由基本公式解：由基本公式非奇次项非奇次项第一类边界条件第一类边界条件所以基本公式变为所以基本公式变为其中其中 G G为为D-D-氏格林函数，满足氏格林函数，满足F F自由电荷自由电荷产生的电势产生的电势g g是感应电荷产生的电势是感应电荷产生的电势g g的的求求解解不不从从数数学学上上直直接接求求解解上上述述方方程程，而而是是采采用用电电像像法。法。G G函函数数物物理理意意义义：M M0 0处处放放置置点点电电荷荷0 0的的接接地地导导体体球球内内任任意意M M处处的的电电势势，而而静静电电场场中中导导体体外外任任一一点点的的电电势势是是点点电荷与感应电荷产生的电势之和电荷与感应电荷产

19、生的电势之和前述前述且且故故球球域域内内的的D-D-氏氏问问题题，转转化化为为求求边边界界为为球球面面的的三三维维泊泊松松方程的方程的D-D-氏格林函数氏格林函数用一个虚构的点电荷代替感应电荷整体的作用。用一个虚构的点电荷代替感应电荷整体的作用。MM0M101rr1MM0M1=a01rr11 1）像）像电荷电荷的空间位置的空间位置2 2）像电荷的大小）像电荷的大小1 1）像点的确定：）像点的确定：）域外；）域外；）半径延长线）半径延长线电像法的关键在于：电像法的关键在于：如图，记如图，记使使则则M1M1为为M0M0关于球面关于球面 的像点的像点2 2）像电荷的大小）像电荷的大小当当M M点在球

20、面上点在球面上 时，有时，有 所以，有所以，有即即所以所以由此可以确定，对于点电荷由此可以确定，对于点电荷0，相应的负电荷是，相应的负电荷是它在球域内它在球域内M M点产生的电势为点产生的电势为满足满足MM0M1=a01rr1在一接地导体球在一接地导体球(R(R=a)=a)外点外点M M0 0(r(r0 0)处放置一电量为处放置一电量为0 0的点电荷。求导体球的点电荷。求导体球外外任一点的电势。任一点的电势。则有：则有：例例2 2 球外第一边值问题的格林函数球外第一边值问题的格林函数例例3 3 半空间第一边值问题的格林函数半空间第一边值问题的格林函数在一在一接地无限大导体板上方的接地无限大导体

21、板上方的点点M M0 0(r(r0 0)处放置一电量为处放置一电量为0 0的点电荷。求的点电荷。求导体板导体板上方上方任一点的电势。任一点的电势。像电荷所带电量为像电荷所带电量为0，位置如图所示位置如图所示故金属薄板上方任一点的电势为故金属薄板上方任一点的电势为例例4 4在在半空间半空间z0z0内内求解拉普拉斯方求解拉普拉斯方程的第一边值问题程的第一边值问题解：解：相应的第一边值问题的格林函数：相应的第一边值问题的格林函数：泊松方程第一边值问题的解：泊松方程第一边值问题的解：代入代入积分表达式中，即积分表达式中，即可求出解。可求出解。例例5 5 圆外第一边值问题的格林函数圆外第一边值问题的格林

22、函数有一线电荷密度为有一线电荷密度为=-0 0的无限长带电直线与半径为的无限长带电直线与半径为a的接地的接地无限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为无限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为r r0 0(r r0 0 a)，试求圆柱外的电势分布。，试求圆柱外的电势分布。分析分析 空间任一点的电势是带电线和感应电荷分别产生的电势空间任一点的电势是带电线和感应电荷分别产生的电势的迭加的迭加垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，因此可垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，因此可取一个垂直于柱轴的平面来讨论取一个垂直于柱轴的平面来讨论y yr r0 0 x x-0 0a

23、aror1r0 xRRP(x,y)a圆圆柱外空间任一点的电势为柱外空间任一点的电势为其中其中即即故有故有于是有于是有比较两边系数得比较两边系数得从而得从而得 化简得化简得解此一元二次方程得到解此一元二次方程得到其中其中 r r1 1=r r0 0不符合物理要求。不符合物理要求。故有：故有：因而圆柱外任一点的电势为因而圆柱外任一点的电势为圆柱外任一点的电势为圆柱外任一点的电势为ror1r0 xRRP(x,y)a有一线电荷密度为有一线电荷密度为0 0的无限长带电直线与半径为的无限长带电直线与半径为a a的接地无的接地无限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为r r0 0(r r0 0 a a)，试求圆柱内的电势分布。，试求圆柱内的电势分布。