3.1-分岔.ppt

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1、第三章第三章 混沌混沌 第一部分第一部分分岔与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子一一 简单数学分岔简单数学分岔 引言引言 分岔概念分岔概念 1 1 切分岔切分岔 2 2 转换键型分岔转换键型分岔 3 3 叉式分岔叉式分岔 4 4 霍夫型分岔霍夫型分岔弹性压杆的分岔引言引言 分岔概念分岔概念 分分岔岔是是一一种种普普遍遍的的自自然然现现象象。力力学学上上指指一一种种力力学学状状态态在在临临界界点点发发生生的的转转变变、分分开开或或一一分分为为二二。如如：一一根根受受力力的的弹弹性性压压杆杆当当压压力力超超过过压压杆杆的的临临界界负荷时，会出现弯曲。负荷时，会出现弯曲。许许多多重重要要物物理理现现象象数数

2、学学上上可可以以某某类类微微分分方方程程来来描描述述。数数学学上上分分岔岔研研究究非非线线性性微微分分方方程程当当某某一一参参数数变变化化时时其其解发生突变的临界点附近的行为。解发生突变的临界点附近的行为。弹性压杆的分岔引言引言 分岔概念分岔概念 在在Ps 平面上平面上 当当 PPc 时时有有三三种种平平衡衡状状态态：保保持持直直线线(OC方方向向)、偏偏向向+s 或或-s 方方向向,不不同同平平衡衡状状态态的的分分岔岔点点为为 Pc。这这时时保保持持直直线线是是不不稳稳定定的的，稍稍有有扰扰动动平平衡衡状状态态便便会会偏偏向向+s 或或-s。两两种种偏偏向向+s 或或-s 状态是稳定的状态是

3、稳定的。1.切分岔切分岔数学模型数学模型方程：方程：由由 得平衡点得平衡点 (a)当当0时时,解解 x0 为虚数为虚数，因此不存在因此不存在奇点，奇点，(b)当当0时出现两个奇点时出现两个奇点,表明上述方程的解在表明上述方程的解在 x0=0 处发生了分处发生了分裂。裂。1.切分岔切分岔数学模型数学模型0 两个奇点的两个奇点的稳定性稳定性 在解在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设设距离：距离：,随时间变化：随时间变化：忽略高阶量忽略高阶量解解 ，当，当 时，时，解是稳定的，是稳定的，解是稳定的，是稳定的结点结点。解解 ，当，当 时，时

4、，解是不稳定的，它是，解是不稳定的，它是鞍点鞍点。切分岔是一个鞍切分岔是一个鞍结分岔结分岔 相流形状相流形状 解的稳定性与相流解的稳定性与相流1.切分岔切分岔解2 转换键型分岔转换键型分岔利用方程：利用方程：解在分岔点解在分岔点(x0 ,)(0,0)处处发生转折，故称发生转折，故称 转换键型分岔转换键型分岔 解的稳定性解的稳定性采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：0，平衡点，平衡点 x0=0 是稳定的是稳定的,平衡点平衡点 x0=是不稳定的；是不稳定的；0，平衡点，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点是不稳定的，平衡点x0=是稳定的。是稳定的。数学模型数

5、学模型平衡点平衡点 由分岔图可见，由分岔图可见，0或或0都是一对鞍都是一对鞍结点：结点：0时，时，x0=0 轴线是结点，轴线是结点，x0=是不稳定的；是不稳定的；0时，时，x0=0 的轴线是不稳定的，的轴线是不稳定的，x0=是稳定结点。是稳定结点。由由鞍鞍点点与与稳稳定定结结点点附附近近的的相相轨轨线线流流向向，转转换换键键型型分分岔岔的的相相流流形状如下图。形状如下图。2 转换键型分岔转换键型分岔相流相流3 叉式分岔叉式分岔利用方程：利用方程：由由 得平衡点得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性解的稳定性：0时只有时只有 x0=0 的的平衡点，

6、经分平衡点，经分析方法可知它是稳定的。析方法可知它是稳定的。0有三个平衡点，有三个平衡点，x0=0 是不稳是不稳定的，解定的，解 是稳定的。是稳定的。数学模型数学模型相流图形相流图形杜芬杜芬方程具有叉式分岔方程具有叉式分岔由势能曲线知：由势能曲线知：a.在在 时仅有一个平衡点：时仅有一个平衡点：b.b.在在 时存在三个平衡点：时存在三个平衡点：可见在参数可见在参数 k k=0 处发生了一次从单解处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。转为三解的叉式分岔。c.c.在这三个平衡点中，在这三个平衡点中，处，处在势能极小点，是稳定的；在势能极小点，是稳定的；处在处在势能极大点，是不稳定的平衡点。势能极大

7、点，是不稳定的平衡点。3 叉式分岔叉式分岔杜芬方程的叉式分岔杜芬方程的叉式分岔4 霍夫型分岔霍夫型分岔 数学模型引入极坐标引入极坐标求导求导代入原方程代入原方程令正弦余弦系数令正弦余弦系数相等相等4.霍夫型分岔霍夫型分岔分岔分析分岔分析C，t0 为积分常数。为积分常数。1.0，距距离离 随随时时间间而而缩缩短短，当当时时间间t时时 0。这这表表明明 轴轴线上各点是稳定的焦点。线上各点是稳定的焦点。2.0，值值随随时时间间增增长长，不不论论初初始始 的的大大小小如如何何，当当t时时都有都有 1/2，形成闭合圈即，形成闭合圈即极限环极限环。4.霍夫型分岔霍夫型分岔分岔分析分岔分析参参数数从从负负变

8、变到到正正，从从焦焦点点产产生生出出极极限限环环,这这种种分分岔岔称称霍夫分岔霍夫分岔。分岔点位于。分岔点位于=0。4.霍夫型分岔霍夫型分岔极限环极限环Hopf 分岔有超临界和亚临界的区别 二二 平方映射与倍周期分岔平方映射与倍周期分岔 1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解 物物理理学学上上一一个个动动力力学学系系统统可可以以用用连连续续变变量量表表示示，也也可可以以用用离离散散数数表示。一个以表示。一个以x为连续变量的单参数的动力学系统：为连续变量的单参数的动力学系统：这这里里 为为系系统统参参数数。设设系系统统状状态态作作等等间间隔隔 t，t+1，t+2，t+3，

9、变变化化，则时间演化方程改写为：则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成当时间间隔不取整数，各时刻写成 相应的状态为相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：时间演化方程变成离散方程：数学上称为数学上称为映射的方程映射的方程。映射方程映射方程1平方映射平方映射 映射方程计算映射方程计算1平方映射平方映射 对一个映射对一个映射 的的计计算算采采用用的的是是迭迭代代方方法法。即即给给定定一一个个初初值值 将将其其代代入入映映射射计计算算得得 ，将将 代代入入映映射射计计算算得得 ，由由 可可算算得得 ，如如此此一一直直计算得计算得 。例如：例如：一个简单映射一个简单映射 1 次迭代：次迭

10、代：2 次迭代：次迭代：n 次迭代：次迭代：于是有：于是有：映射与微分方程对应关系映射与微分方程对应关系迭代计算迭代计算解方程解方程 1平方映射平方映射 动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：，两者对应关系为：平方映射导出平方映射导出生态平衡方程生态平衡方程 1838年年，生生物物学学家家伏伏埃埃胡胡斯斯脱脱（Verhulst）在在研研究究生生物物种种群群演演化化时时提提出出一一种种设设想想：一一个个世世代代交交替替的的生生物物种种群群是是在在一一个个受受制制约约的的环境中生息繁衍的环境中生息繁衍

11、的。第第 n 代数量代数量:第第 n+1+1 代数量代数量:A 如如不不考考虑虑生生存存环环境境对对种种群群生生存存的的影影响响，第第 n 代代与与第第 n+1 1代代有有如下关系：如下关系：当当 R 11，种群数量将线性地无限制增长。，种群数量将线性地无限制增长。1平方映射平方映射 平方映射导出平方映射导出生态平衡方程生态平衡方程B 种群受环境制约，数量有最大限额种群受环境制约，数量有最大限额 ，种群繁殖空间，种群繁殖空间 ，第第 n 代与第代与第 n+1 1代关系代关系 1平方映射平方映射 平方映射计算方程展开方程展开 xn+1 值值与与 xn 值值是是平平方方关关系系，称称平平方方映映射

12、射，文文献献中中称称洛洛吉吉斯斯蒂蒂映射映射 (logistic map),该式是抛物线表示式，也称该式是抛物线表示式，也称抛物映射抛物映射。由由于于亲亲、子子两两代代种种群群数数约约化化值值均均在在0 1间间，因因此此参参数数取取值值在在0，4内内。1.平方映射平方映射 可可用用迭迭代代方方法法计计算算上上述述离离散散映映射射，即即给给定参数定参数值与初始值值与初始值 x0 0 ，就有：，就有：该该迭迭代代过过程程还还可可以以采采用用图图解解的的方方法法来来表示表示作图计算作图计算准备准备:1.1.建立坐标系建立坐标系2 2.作条抛物线：作条抛物线：3 3.作对角线，称作对角线，称恒等线恒等

13、线 通过它做投影。通过它做投影。1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一条抛物线，平面上是一条抛物线，抛物线高度由抛物线高度由 值决定。值决定。作图计算作图计算1.平方映射平方映射 平平方方映映射射 在在 平平面面上上是是一一条条抛抛物物线线，抛物线高度由抛物线高度由 值决定。值决定。一一、从从横横坐坐标标 x x0 0 处处作作竖竖直直线线与与抛抛物物线线相相交交，这这点点的的纵纵坐坐标标高度即为高度即为 x1 1;二二、从从此此点点作作水水平平线线与与对对角角线线相交，此交点横坐标即为相交，此交点横坐标即为x1 1；三三、再再由由此此点点作作竖竖直直线线，得得到到与与抛抛物

14、物线线相相交交时时的的高高度度x2 2，再再将将x2 2移移植植到到对对角角线线上上，找找到到横横坐坐标标x2 2。从从这这里里作作竖竖直直线线与与抛抛物线相交得物线相交得x3 3，如此反复，如此反复作图计算作图计算1.平方映射平方映射 平方映射平方映射 在在 平面上是一条平面上是一条抛物线，抛物线高度由抛物线，抛物线高度由 值决定。值决定。平方映射的不动点 通通过过作作图图或或数数值值计计算算表表明明，当当参参数数取取某某些些值值时时，计计算算可可以以得得到到一一个个不不变变的的终终值值，它它被被称称为为映映射射的的不不动动点点。一一个个映映射射的的不不动动点点就就是是xi与与xi+1相相同

15、同时时的的数数值值，它它不不再再因因继继续续迭迭代代而而发发生生变变化。化。对平方映射，不动点为：对平方映射，不动点为：解此方程得：解此方程得：即有两个不动点。即有两个不动点。2.平方映射的不动点平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点平方映射的不动点实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与与B。抛物线的高度与抛物线的高度与值有关，最大高度在值有关，最大高度在 m=1/2 处且等于处且等于/4。如果参数如果参数 较小较小(m1)，抛物，抛物线高度较低，它与迭代线只线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点有一个交点，即原点

16、A。在。在这种情况下，不管初值如何这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。唯一的不动点。11时走向不动点时走向不动点 A A 当当参参数数 1 1 时时平平方方映映射射会会出出现现第第二二个个不不动动点点。下下图图 值值为为2.0与与1.8时时的的迭迭代代，可可以以看看到到虽虽然然起起始始值值很很小小，但但每每次次迭迭代代值值增增加加，这这是一个指数增长并最终稳定的过程。是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点平方映射的不动点2.3 时振荡走向不动点B 当当 值值增增大大到到2.3 2.3 时时，迭迭

17、代代结结果果开开始始出出现现振振荡荡起起伏伏，然然后后逐逐步步稳稳定定在在某某个个数数值值。例例如如，当当 =2.8 时时，迭迭代代值值经经过过多次衰减振荡后逐步稳定。多次衰减振荡后逐步稳定。2.3 时通过时通过振振荡走向荡走向不动点不动点B2.平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳定性不动点的稳定性 非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上上述述计计算算可可见见，当当3迭迭代代值值出出现现持持续续振振荡荡，说说明明迭迭代代在在=3附附近近发发生生了了变变化化，稳稳定定不不动动点点变变得得不稳定了。不稳定了。如一维映射如一维映

18、射 具有不动点，即有解具有不动点，即有解 设设 e en n 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在对右边在 x*附近展开：附近展开：2.平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳定性不动点的稳定性 略去高阶小项，并利用不动点方程则得：略去高阶小项，并利用不动点方程则得：对于对于稳定的不动点稳定的不动点，应有：应有：，即，即对于对于不稳定的不动点不稳定的不动点,应有应有:，即，即 2.平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳定性 对于对于稳定的不动点稳定的不动点，应有，应有 ,即：即：映射在不动点处斜率为映射在不动点处斜率为 45迭代单调的趋近于

19、迭代单调的趋近于 迭代经过几次起伏趋近于迭代经过几次起伏趋近于超超稳稳定定不不动动点点，最最有有利利的的稳稳定定情况，迭代图上对应于情况，迭代图上对应于2.平方映射的不动点平方映射的不动点 不动点的稳定性 对于对于稳定的不动点稳定的不动点，应有，应有 ,即：即：2.平方映射的不动点平方映射的不动点 二周期解 当当参参数数从从=2.8 继继续续增增大大时时，迭迭代代出出现现的的振振荡荡将将维维持持下下去去，这这种种情情况况称称为为周周期期解解。图图为为=3.2时时迭迭代代情情况况，取取 x0=0.04，在在迭迭代代进进行行几几次次后后，其其终终值值在在一一大大一一小小的的两两个个定定值值之之间间

20、跳跳跃跃，并并与起始值无关，称为与起始值无关，称为周期周期2 轨道运动轨道运动。3.平方映射的周期解平方映射的周期解=3.2 时时xn+1在一大一小两个值间跳跃在一大一小两个值间跳跃四周期解 值值进进一一步步增增大大时时迭迭代代会会出出现现的的振振荡荡起起伏伏。值值增增大大到到3.5 以以上上，迭迭代代的的终终值值起起伏伏每每隔隔四四次次出出现现重重复复，称称为为周周期期 4 轨轨道道运运动动。图为图为=3.52 时时的的 xn+1n 曲线，仍取曲线，仍取x0=0.2为起始值。为起始值。=3.52=3.52 时时，x xn+1n+1 出现出现4 4周期循环。周期循环。3.平方映射的周期解平方映

21、射的周期解倍周期解序列 计计算算表表明明，随随 的的增增加加，稳稳定定的的周周期期轨轨道道还还在在增增加加，于于是是可得如下可得如下倍周期分岔倍周期分岔序列。序列。1.00 3.00 周期周期1轨道轨道(不动点不动点)3.00 3.4495 周期周期2轨道轨道 3.4495 3.5541 周期周期4轨道轨道 3.5541 3.5644 周期周期8轨道轨道 3.5644 3.5688 周期周期16轨道轨道 3.平方映射的周期解平方映射的周期解倍周期解序列 通通常常在在确确定定的的值值下下，迭迭代代会会进进入入一一个个周周期期 p的的重重复复循循环环，即在次数即在次数 in 后迭代有：后迭代有：x

22、n，xn+1，xn+p-1 xn+p，xn+p+1，xn+2p-1 重重复复相相同同的的值值，称称为为周周期期 p 轨轨道道。如如 P=1，称称周周期期1轨轨道道，为不动点；为不动点；p=2为周期为周期2轨道，轨道，p=4为周期为周期4轨道。轨道。迭迭代代也也会会进进入入轨轨道道点点xi永永不不重重复复情情况况，即即无无周周期期状状态态。但但若若每每迭迭代代一一定定次次数数，轨轨道道点点虽虽没没有有准准确确回回到到某某个个初初始始点点xk，但但与与该该点点非非常常接接近近，则则这这种种情情况况称称为为准准周周期期轨轨道道。它它可可看看作作无无限限长长周期轨道。周期轨道。3.平方映射的周期解平方映射的周期解编程序,对逻辑斯蒂映射绘制以参数为横坐标、状态为纵坐标的分岔图.1.23第二次作业4分析洛仑兹方程形成奇怪吸引子机理，并利用Matlab或maple画出相应的相图.