pi的计算.ppt

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1、西安交通大学理学院西安交通大学理学院李换琴李换琴.圆周率圆周率的计算历程的计算历程v所谓所谓“圆周率圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。v回顾历史，人类对回顾历史，人类对 的认识过程，反映了数学和的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。计算技术发展情形的一个侧面。的研究，在一的研究，在一定程

2、度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。平的指标。”v直到直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。折的道路。实验时期实验时期v基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。出的。v在古代世界，实

3、际上长期使用在古代世界，实际上长期使用 3这个数这个数值。值。v最早见于文字记载的有基督教最早见于文字记载的有基督教圣经圣经中的中的章节，其上取圆周率为章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大。这一段描述的事大约发生在公元前约发生在公元前950年前后。年前后。几何法时期几何法时期v真正使圆周率计算建立在真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把通过测量的、能够把 的的值精确到任意

4、精度的方法。值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算由此，开创了圆周率计算的第二阶段。的第二阶段。圆周长大于内接正多边圆周长大于内接正多边形周长而小于外切正多边形周长而小于外切正多边形周长形周长据说阿基米德用到了正据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。边形才算出他的值域。在中国在中国v刘徽：刘徽：公元公元263年前后，刘徽提出著名的年前后，刘徽提出著名的“割圆割圆术术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越越来越逼近圆周

5、长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形形，一直到正三，一直到正三七二边形，算出圆周率等于七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。第四位。在我国在我国v祖冲之祖冲之:在刘徽研究的基础上，进一步地发展，在刘徽研究的基础上，进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正经过既漫

6、长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576边形，而得到一个结论：边形，而得到一个结论：v 3.1415926 3.1415927 同时得到同时得到 的两个近似分数：约率为的两个近似分数：约率为227；密率为密率为355113。v他算出的他算出的 的的8位可靠数字，不但在当时是最精位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率祖率”。分析法时期分析法时期 v这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积

7、来算计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 。v1593年，韦达给出年，韦达给出 这一不寻常的公式是这一不寻常的公式是 的最早分析表达式。甚至的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出开平方就可算出 值。值。接着有多种表达式出现。如沃利斯接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：年给出：发现了下面的公式发现了下面的公式1706年，英国天文学教授年，英国天文学教授John Machin 利用利用并利用这个公式计算到了圆周率的并利用

8、这个公式计算到了圆周率的100位位.1914年，印度数学家年，印度数学家Srinivasa Ramanujan发发表了下面的公式：表了下面的公式：在在1985年，年，Gosper用这个公式计算到了圆周率的用这个公式计算到了圆周率的17500000位位 1989年年，David 和和 Gregory Chudnovsky 发发表表了下面的公式了下面的公式 并在并在1994年计算到了年计算到了4044000000位它的另一位它的另一种形式是种形式是 1995年年，由由David Bailey,Peter Borwein 和和 Simon Plouffe 共共同同发发表表了了下下面面的的圆圆周周率率

9、计计算算公公式式（简称（简称BBP公式）公式）该该公公式式的的最最大大优优点点在在于于：经经后后来来人人将将该该公公式式变变形形后后打打破破了了传传统统的的计计算算方方法法，可可以以直直接接计计算算圆圆周周率率的任意第的任意第n位数，而不是先计算前面的位数，而不是先计算前面的n-1位数位数 1997年年，Fabrice Bellard发发表表了了一一个个比比BBP算算法更快的公式法更快的公式从而，大大降低了圆周率近似值的计算量从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.函数的泰勒展开式函数的泰勒展开式 MATLAB软件求一元函数泰勒展式的命令是软件求一元函数泰勒展式的命令是taylor,具体使用格式

10、如下：具体使用格式如下：taylor(f)求函数求函数f的的5阶阶Maclaurin展开式；展开式；taylor(f,n)求函数求函数f的的n-1阶阶Maclaurin展开式；展开式；taylor(f,n,a)求函数求函数f在在x=a处的处的n-1阶泰勒展开式；阶泰勒展开式；taylor(f,a)求函数求函数f在在x=a处的处的5阶泰勒展开式；阶泰勒展开式；实验过程执行下面的命令：实验过程执行下面的命令：syms xy=x2/(1+x)taylor(y,x,8,1)执行后得到执行后得到ans=-1/4+3/4*x+1/8*(x-1)2-1/16*(x-1)3+1/32*(x-1)4-1/64*

11、(x-1)5+1/128*(x-1)6-1/256*(x-1)7 实验过程执行下面的命令：实验过程执行下面的命令：syms xtaylor(sin(x),3)taylor(sin(x),5)taylor(sin(x),7)taylor(sin(x),9)执行得执行得ans=x,ans=x-1/6*x3,ans=x-1/6*x3+1/120*x5,ans=x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7.画图程序如下：画图程序如下：xs1=1,0;xs3=-1/6,0,1,0;xs5=1/120,0,-1/6,0,1,0;xs7=-1/5040,0,1/120,0,-1/6,0,1,0;x

12、1=-1:1;y1=x1;x0=-pi:0.1:pi;y0=sin(x0);y3=polyval(xs3,x0);y5=polyval(xs5,x0);y7=polyval(xs7,x0);plot(x0,y0,x1,y1,x0,y3,x0,y5,x0,y7)0.628318530717960.586976828477560.587792880970320.58778521038434 例例3 完成下面的实验任务完成下面的实验任务编写下面的程序编写下面的程序:n=10;%选择展开式的次数选择展开式的次数s=0;digits(22);%定义计算过程中的精度定义计算过程中的精度for k=1:n

13、s=s+4*(-1)(k+1)/(2*k-1);endvpa(s,20)%定义显示精度为定义显示精度为20位位n=50;%定义等分积分区间数，可以更改定义等分积分区间数，可以更改i=0:1/n:1;s=0;for k=1:length(i)-1 s=s+(1/(1+(i(k)+i(k+1)/2)2)*1/n;end4*s等分区间数等分区间数n103.14242598500110203.14180098689309503.141625986923001003.141600986923125003.1415929869231210003.1415927369231350003.1415926569

14、2313表表6-3cs=0n=500%随机取点数随机取点数for i=1:n a=rand(1,2);if a(1)2+a(2)2=1 cs=cs+1 endend4*cs/n3.184000000000003.104000000000003.138666666666673.12080000000000 3.14376000000000从从计计算算结结果果看看：这这种种数数据据模模拟拟算算法法收收敛敛的的速速度度很很慢慢虽虽然然在在实实验验次次数数较较少少时时，算算得得的的近近似似值值距距离离真真实实值值误误差差较较大大，但但这这种种数数据据模模拟拟方方法法简简单单易易行行在在精精度度要要求求

15、不不是是很很高高的的情情况况下下，这这种种取取随随机机数数进进行行数数据据模模拟拟的的方方法法还还是是有有一一定定的的实实用用价价值值，通通过过简简单单编程我们可以模拟出许多数学现象编程我们可以模拟出许多数学现象上机作业上机作业实验六实验六练习至练习中任意选取至练习至练习中任意选取至题完成（人一组）题完成（人一组）上机时间上机时间第第7周周,9周周,11周周,13周周v应物应物71，72，材物，材物71v周一周一 6:00-8:00 pmv宗廉宗廉71，光信息，光信息71，应化，应化71 v周一周一 8:00-10:00 pm上机时间上机时间第第8周周,10周周,12周周,14周周v医电医电7173，周一，周一6:00-8:00 pmv软件软件7173，周二，周二6:00-8:00 pm v软件软件74，周二周二8:00-10:00 pmv法学硕法学硕71，周五，周五6:00-8:00 pm