第3章 功和能.ppt

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1、第第3章章功和能功和能1力的功力的功动能定理动能定理2保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能3机械能守恒定律机械能守恒定律11力的功力的功动能定理动能定理一、力的功一、力的功二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理2一、力的功一、力的功1.恒力作用恒力作用直线运动直线运动作用物体的位移作用物体的位移3二、力在有限路径上的功二、力在有限路径上的功 方法：方法：方法：方法：用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。用积分描述受力质点在有限路径上的功。讨论：讨论：讨论：讨论：力

2、自力自力自力自 沿曲线至沿曲线至沿曲线至沿曲线至 做的功：做的功：做的功：做的功：“细分细分细分细分”：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移：位移看作由许多元位移 组成，组成，组成，组成，力的元功：力的元功：力的元功：力的元功：“做和做和做和做和”：总功：总功：总功：总功：“求极限求极限求极限求极限”：元位移的数目：元位移的数目：元位移的数目：元位移的数目n n 无限增多，而无限增多，而无限增多，而无限增多，而，则上式和的极，则上式和的极，则上式和的极，则上式和的极限给出功的精确值。限给出功的精确值。限给出功的精确值。限给出功的精确值。4该和式的极限称作力该和式的极

3、限称作力该和式的极限称作力该和式的极限称作力沿曲线自沿曲线自沿曲线自沿曲线自至至至至的线积分，记作：的线积分，记作：的线积分，记作：的线积分，记作：（1 1）上式表明：上式表明：上式表明：上式表明：变力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。变力的功等于元功之和。5二、不同坐标系元功的表示二、不同坐标系元功的表示 1.1.平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系 力：力：力：力：元位移：元位移：元位移：元位移：元功：元功：元功：元功：例：例：例：例：若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令若质点做直线运动，令 x x 轴和位移重合，则：

4、轴和位移重合，则：轴和位移重合，则：轴和位移重合，则：62.2.平面自然坐标系平面自然坐标系平面自然坐标系平面自然坐标系 力：力：力：力：元位移：元位移：元位移：元位移：元功：元功：元功：元功：即：即：即：即：功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。功等于力在切向单位矢量上的投影和弧坐标增量的乘积。7在直角坐标系中：在直角坐标系中：在直角坐标系中：在直角坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：在自然坐标系中：8例例1如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点m，桌面

5、的摩桌面的摩擦系数为擦系数为求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：9例例2作用在质点上的力为作用在质点上的力为在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从处运动到处运动到处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线：2.质点的运动轨道为直线：质点的运动轨道为直线：XYO10XYO1.质点的运动轨道为抛物线：质点的运动轨道为抛物线：解解11做功与路径有关做功与路径有关!XYO2.质点的运动轨道为直线：质点的运动轨道为直线：123.33.3质点和质点系动能定理质点和质点系动能定理 一、质点的动能定理一、质点的

6、动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理令：令：令：令：动能动能动能动能（1 1）则有：则有：则有：则有：(1)(1)式表明：式表明：式表明：式表明：合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分合外力所做的元功等于动能的微分。13质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：质点的动能定理的积分形式：（2 2）注：注：注：注：功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的

7、速功描述的是：力对空间积累的效果，是一过程量；而动能与质点运动的速度有关，是一状态量。度有关，是一状态量。度有关，是一状态量。度有关，是一状态量。注意：动能与功的概念不能混淆。动能是运动状态的函数，是反映质点运动状态的物理量。而功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的，“过程”意味着“状态的变化”，所以功不是描述状态的物理量，它是过程的函数。14三三三三、质点系质点系质点系质点系的动能定理的动能定理的动能定理的动能定理 设：设：设：设：质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力的功等于质点系有几个质点，作用于各质点合力

8、的功等于 各质点的初始动能和末动能分别是：各质点的初始动能和末动能分别是：各质点的初始动能和末动能分别是：各质点的初始动能和末动能分别是：和和和和由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：对于一切质点取和：对于一切质点取和：对于一切质点取和：对于一切质点取和：（4 4）15定义定义定义定义：质点系的动能质点系的动能质点系的动能质点系的动能-质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。质点系内各质点动能之和。将将将将(4)(4)中的功分为两部分：中的功分为两部分：中的功分为两部分：中的功分为两部分：和和和和则：则：则：则：即：即：

9、即：即：质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和数和数和数和，称作质点系的动能定理。，称作质点系的动能定理。，称作质点系的动能定理。，称作质点系的动能定理。16轻轻轻轻且且且且不不不不可可可可伸伸伸伸长长长长的的的的线线线线悬悬悬悬挂挂挂挂质质质质量量量量为为为为500g500g的的的的圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体。圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体又又又又套套套套在在在在可可可可沿沿沿沿水水水水平平平平方方方方向向向向移移移移动

10、动动动的的的的框框框框架架架架内内内内，框框框框架架架架槽槽槽槽沿沿沿沿铅铅铅铅直直直直方方方方向向向向。框框框框架架架架质质质质量量量量为为为为200g200g。自自自自悬悬悬悬线线线线静静静静止止止止于于于于铅铅铅铅直直直直位位位位置置置置开开开开始始始始，框框框框架架架架在在在在水水水水平平平平力力力力F=20.0NF=20.0N作作作作用用用用下下下下移移移移至至至至图图图图中中中中位位位位置置置置，求求求求圆圆圆圆柱柱柱柱体体体体的的的的速速速速度度度度。线线线线长长长长20cm20cm。不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。不计摩擦。例题：例题：例题：例题：17183.43.4保守力与非保

11、守力保守力与非保守力 势能势能 一、力场一、力场一、力场一、力场 场力场力场力场力定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。定义：质点所受的力仅与质点的位置有关。例如，重力例如，重力例如，重力例如，重力 场：场：场：场：弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场弹簧的弹性力场：电磁力场和引力场电磁力场和引力场电磁力场和引力场电磁力场和引力场：洛伦兹力洛伦兹力洛伦兹力洛伦兹力 和摩擦力和摩擦力和摩擦力和摩擦力 均不是力场。均不是力场。均不是力场。均不是力场。19若力所做的功仅由受力质点始末位置决定而与受力质点所经历的路径无关

12、。或者说，此力沿闭合路径所做的功等于零，这种力就叫做保保守守力力。重力，弹簧弹性力，静电场力以及万有引力均系保守力。二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力 并非各种力都是保守力。例如：摩擦力做功不仅与受力质点始末位置有关而且与质点路径也有关系。此外，内燃机中气体对活塞的推力、磁场力等也都具有这种特性。若力所做的功不仅决定于受力质点始末位置而且和质点经过的路径有关，或者说，力沿闭合路径做的功不等于零，这种力叫非保守力。其中像滑动摩擦力做负功常损耗动能，这类非保守力又称耗散力。20如图示：如图示：如图示：如图示：1.1.保守力保守力保守力保守力 定义定义定

13、义定义：力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。，仅由质点的始末位置决定。，仅由质点的始末位置决定。，仅由质点的始末位置决定。即：即：即：即：保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。保守力沿闭和路径所做的功为零。212.2.非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）非保守力（耗散力）定定定定义义义义：力力力力所所所所做做做做的的的的功功功功不不不不仅仅仅仅决决决决定定定定于于于于受受受受力力力力质质质质点点点点的的的的始始始始末末末末位位位位置置置置，而而而而且且且且

14、和和和和质质质质点点点点经经经经过过过过的路径有关的路径有关的路径有关的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。例如：摩擦力。例如：摩擦力。例如：摩擦力。例如：摩擦力。力学中常见的保守力力学中常见的保守力力学中常见的保守力力学中常见的保守力 a.a.重力：重力：重力：重力：22b.b.弹性力：弹性力：弹性力：弹性力：用用用用 x x 表示形变量，有：表示形变量，有：表示形变量，有：表示形变量，有：设：弹簧原长是设：弹簧原长是设：弹簧原长是设：弹簧原长是 ,在图中任一位置处（在图中任一

15、位置处（在图中任一位置处（在图中任一位置处（是是是是 方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：方向的单位矢量）：23c.c.万有引力：万有引力：万有引力：万有引力：由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。由此可知：静电库仑力也是保守力。24三、势能三、势能三、势能三、势能 设质点由设质点由设质点由设质点由 位置位置位置位置（A A）到达到达到达到达 位置（位置（位置（位置（B B）。重力的功：重力的功：重力的功：重力的功：弹性力的功：弹性力的功：弹性力的功：弹性力的功：万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功：万有引力的功：

16、（以前谈到（以前谈到（以前谈到（以前谈到“增加增加增加增加”，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为，指：末减初；若是初减末，则为“减少量减少量减少量减少量”）由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质由上面的例子可知：质点在保守力场中运动，保守力所做的功是（对应于）质点的位置的某个函数点的位置的某个函数点的位置的某个函数点的位置的某个函数 的减少量。这个函数就叫的减少量。这个函数就叫

17、的减少量。这个函数就叫的减少量。这个函数就叫势能函数势能函数势能函数势能函数，用，用，用，用 表示。表示。表示。表示。25由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少保守力做正功，势能减少，即：，即：，即：，即：或者：或者：或者：或者：保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对应于势能的增加保守力所做的功的负值，对应于势能的增加。即：。即：。即：。即：由上述讨论可知：由上述讨论可知：由上述讨论可知：由上述讨论可知：1.1.重力势能函数：重力势能函数：重力势能函数：重力势能函数

18、：2.2.弹性势能函数：弹性势能函数：弹性势能函数：弹性势能函数：3.3.万有引力势能函数：万有引力势能函数：万有引力势能函数：万有引力势能函数：c c是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。是由势能零点来决定的。26对于重力势能：对于重力势能：对于重力势能：对于重力势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于弹性势能：对于万有引力势能：对于万有引力势能：对于万有引力势能：对于万有引力势能：势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对势能和保守力是相对应的。势能值不是绝对的，而是相对势能和保守力是相对应的

19、。势能值不是绝对的，而是相对的，依据于势能零点的选取。的，依据于势能零点的选取。的，依据于势能零点的选取。的，依据于势能零点的选取。若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：若选择保守力做功的起始为势能零点，则终止位置的势能为：即：即：即：即：一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所做功的负值。一定位置的势能在数值等于从势能零点到此位置保守力所

20、做功的负值。或：或：或：或：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所做的功。即：27例如：例如：例如：例如：由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：不能说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而不能说，万有引力势能总是负的，而与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关与势能零点的选取有关。势能属于质点系所共有。势能属于质点系所共有。势能属于质点系所共有。势能

21、属于质点系所共有。28小结小结小结小结（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）（保守力和势能的关系）保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力和势能相对应；反之亦然。保守力所做的功等于势能的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力所做的功等于势能的减少量：保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作的功。保守力场中任一点的势能，等于从该点到势能零点保守力作

22、的功。保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，保守力场中任一点的势能值是相对的，不是绝对的，依据于势能零依据于势能零依据于势能零依据于势能零点的选择点的选择点的选择点的选择，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是，势能函数间相差一常数，保守力场中某二点之间势能的变化是绝对的，不依据于势能零点的选择。绝对的，不依据于势能零点的选择。绝对的，不依据于势能零点的选择。绝对的，不

23、依据于势能零点的选择。293.53.5功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理由质点系的动能定理可得：由质点系的动能定理可得：由质点系的动能定理可得：由质点系的动能定理可得：即：即：即：即：（1 1）即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，即：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的和，称作称作称作称作质点系的功能原理质点系的功能原理质点系的功能原

24、理质点系的功能原理。30只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变。只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变。只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变。只有外力和内非保守力才会引起机械能的改变。内内内内保保保保守守守守力力力力做做做做功功功功所所所所引引引引起起起起的的的的作作作作用用用用是是是是：会会会会引引引引起起起起质质质质点点点点系系系系动动动动能能能能的的的的改改改改变，但不会引起质点系机械能的改变。变，但不会引起质点系机械能的改变。变，但不会引起质点系机械能的改变。变，但不会引起质点系机械能的改变。由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：注意：注意：注意：注意：在在在在应应应应用用用

25、用“功功功功能能能能原原原原理理理理”时时时时，若若若若左左左左方方方方计计计计入入入入保保保保守守守守力力力力的的的的功功功功，则右方就不再考虑对应的势能。则右方就不再考虑对应的势能。则右方就不再考虑对应的势能。则右方就不再考虑对应的势能。在在在在应应应应用用用用“功功功功能能能能原原原原理理理理”时时时时，若若若若右右右右方方方方计计计计入入入入势势势势能能能能，则则则则左左左左方就不再考虑对应的保守力的功。方就不再考虑对应的保守力的功。方就不再考虑对应的保守力的功。方就不再考虑对应的保守力的功。31在一定过程中，若质点系机械能始终保持恒定，且只有该质点系内部发生动能和势能的相互转换，就说

26、该质点系机械能守恒，机械能守恒的系统称为保守系统。根据机械能守恒的含义和功能原理，可得出机械能守恒定律：在一定过程中若外力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系机械能守恒，即 Ek+Ep=恒量二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律 32 一半径为 的四分之一圆弧垂直固定在地面上，质量为 的小物体从最高点 由静止下滑至 点处的速度为 ，求摩擦力所作的功例题33解：方法一：应用牛顿第二定律，由功的定义求解 在 点处物体受力如图，取自然坐标系得切向分量式所以34方法二：应用质点动能定理求解支持力 不作功，则35方法三：应用功能原理求解系统：物体圆轨道，地球取 点

27、处为重力势能零点，由功能原理得讨论：试比较上述三种方法讨论：试比较上述三种方法36介绍逃逸速度与黑洞介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例以脱离地球的引力为例37以无限远作为势能零点以无限远作为势能零点若若黑洞黑洞引力作用下塌陷引力作用下塌陷当当M一定时一定时收缩到收缩到视界半径视界半径广义相对论广义相对论38设想设想1)把地球变成黑洞把地球变成黑洞2)把太阳变成黑洞把太阳变成黑洞白矮星白矮星遗憾遗憾？39由于引力特大，由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。发出的光，顾名思义称其为黑洞。黑洞黑洞(blackhole)：掉入黑洞的所有信息掉入黑洞的所有信息都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角动量没有被吃掉。、角动量没有被吃掉。黑洞无毛定理：黑洞无毛定理：40