简版误差理论.ppt

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1、竞赛物理实验绪论竞赛物理实验绪论雅礼中学2012年2月1.测量、误差和不确定度估计1.1 1.1 测量与有效数字测量与有效数字1.2 1.2 测量误差和不确定度估算的基础知识测量误差和不确定度估算的基础知识1.3 1.3 直接测量和间接测量的数据处理直接测量和间接测量的数据处理测量与有效数字测量测量有效数字的读取有效数字的读取有效数字的运算有效数字的运算有效数字尾数的舍取规则有效数字尾数的舍取规则测 量 物理实验以测量为基础，所谓物理实验以测量为基础，所谓测量测量，就是用合适的工具或仪器，通过科学的方就是用合适的工具或仪器，通过科学的方法，将反映被测对象某些特征的物理量法，将反映被测对象某些特

2、征的物理量（被测物理量）与选作标准单位的同类物（被测物理量）与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程，其比值即为被测物理量进行比较的过程，其比值即为被测物理量的测量值。理量的测量值。直接测量：直接测量：直接将待测物理量与选定的直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值（即从仪器上直接读数获得）。测量值（即从仪器上直接读数获得）。如：用米尺测量长、宽、高；如：用米尺测量长、宽、高；用秒表测时间；用秒表测时间；用温度计测温度；用温度计测温度；用秤称物体的质量；用秤称物体的质量；用电压表测电压；用电压表测电压；用电流表测电流；用电流表测电流；1

3、.42m15010050(cm)间接测量间接测量：利用直接测量的量与被测量利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该被测物理之间的已知函数关系，求得该被测物理量。量。hdM 按测量条件，分为等精度测量和不等精度测量。等精度测量等精度测量：当同一个人、用同样的方法、使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次重复测量，每次测量结果有相同的可信赖程度，这样的测量叫做等精度测量。我们仅限于研我们仅限于研究等精度测量究等精度测量测量的表示测量值测量值=读数值读数值(有效数字有效数字)+)+单位单位有效数字可靠数字可疑数字有效数字可靠数字可疑数字有效数字的读取15.2mm15.0mm15

4、.0mm=1.50cm=0.0150m有效数字的性质和说明1、有效数字的位数与小数点的位置无关；有效数字的位数与小数点的位置无关；L=12.71cm=0.1271m=0.0001271km2、“0”在有效数字中的特殊地位。在有效数字中的特殊地位。1206cm 2.0000mm 0.000125cm 0.001206mm 四位四位 五位五位 三位三位 四位四位3、参与计算的常数，如参与计算的常数，如 4，e等，其有效数字的位数等，其有效数字的位数可以认为是无限的；（取与测得值位数最多的相同）可以认为是无限的；（取与测得值位数最多的相同）4、如遇到测量结果是用科学计数法表示时，指数部分如遇到测量结

5、果是用科学计数法表示时，指数部分不计入有效数字的位数。不计入有效数字的位数。电子的电荷电子的电荷 q=1.60210-19 库仑库仑 四位有效数字四位有效数字有效数字的运算规则准确数准确数+准确数准确数=准确数准确数准确数准确数+存疑数存疑数=存疑数存疑数存疑数存疑数+存疑数存疑数=存疑数存疑数进位视为准确数进位视为准确数计算结果保留一位存疑数计算结果保留一位存疑数有效数字的运算加、减法加、减法：诸量相加（相减）时，其诸量相加（相减）时，其和（差）数在小数点后所应保留的位和（差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个数与诸数中小数点后位数最少的一个（存疑数字数量级最大的一位）

6、相同。（存疑数字数量级最大的一位）相同。4.178 +21.3 25.478=25.5乘、除法：乘、除法：诸量相乘（除）后其积（商）诸量相乘（除）后其积（商）所保留的有效数字，只须与诸因子中有效所保留的有效数字，只须与诸因子中有效数字最少的一个相同。数字最少的一个相同。4.178 10.1 4178 4178 421978=42.2乘方开方乘方开方:有效数字与其底数的有效数有效数字与其底数的有效数 字相同。字相同。对数函数对数函数:首数不计，对数小数部分的数字位数与首数不计，对数小数部分的数字位数与真数的有效数字位数相同。真数的有效数字位数相同。例：例：lg1.938=0.2973 lg193

7、8=3+lg1.938=3.2973指指数数函函数数:用用科科学学计计数数法法表表示示，小小数数点点前前保保留留1 1位位，小小数数点点后后保保留留的的位位数数与与指指数数在在小小数数点点后后的的位位数数相相同同，包括紧接小数点后的包括紧接小数点后的“0 0”。例：例：三三角角函函数数:取取位位随随角角度度有有效效数数字字而而定定。即即以以仪仪器器的的准准确确度度来来确确定定，如如能能读读到到1,一一般般取取4位位有有效数字。效数字。例：例：Sin3000=0.5000 Cos2016=0.9381 函函数数运运算算不不能能搬搬用用四四则则运运算算规规则则。严严格格讲讲，函函数数运运算算结结果

8、果的的有有效效数数字字位位数数应应根根据据误误差差计计算算来来确确定定。以以上上三三类类函函数数的的做做法法只只是是为为了了简简便便所所作作的的规规定。定。有效数字尾数的舍入规则若舍去部分的数值小于所保留的末位数单位的1/2，末位数不变。若舍去部分的数值大于保留的末位数单位的1/2，末位数加1。若舍去部分的数值恰好等于保留的末位数单位的1/2，当末位数为偶数时，保持不变；为奇数时，末位数加1。例：例：4.327494.327 4.327514.328 4.327504.328 4.328504.328通俗地说：四舍六入，五凑偶。通俗地说：四舍六入，五凑偶。测量误差和不确定度估算的基础知识误差误

9、差随机误差的处理随机误差的处理测量结果的不确定度表示测量结果的不确定度表示间接测量不确定度的合成间接测量不确定度的合成有测量就会有误差。误差误差：测量结果（x）与真值(x0)之间总有一定的差异，这种差异称为测量误差。表示为：真值真值：物理量在一定实验条件下物理量在一定实验条件下 的客观存在值的客观存在值误 差 测量误差存在于一切测量过测量误差存在于一切测量过程中，可以控制得越来越小，不可程中，可以控制得越来越小，不可能为零。能为零。误 差误差的表示绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：有数值大小、符号和单位；是一个理想的概念，一般不能准确得到；反映了测量值与真值接近的程度，能够评价某某一一测

10、量结果的优劣。评价不不同同测量结果的优劣，相对误差越小,测量越精确。以百分数形式出现。真值真值x0常用约定真值，如公认值、算术平均值等。常用约定真值，如公认值、算术平均值等。举 例例如：用米尺测量两个物体的长度，得到一个是10m，一个是1m，绝对误差都是1cm。两个测量的准确程度是不一样的！两个测量的准确程度是不一样的！举 例误差的分类根据根据性质性质和和来源来源，误差可分为三类，误差可分为三类：1.1.系统误差系统误差 2.2.偶然误差偶然误差 3.3.过失误差过失误差定义定义：在相同条件下，多次测量同一物理量时，在相同条件下，多次测量同一物理量时，其误差的绝对值和符号保持不变；或者随着测量

11、其误差的绝对值和符号保持不变；或者随着测量条件的改变按一定规律变化。条件的改变按一定规律变化。来源来源：仪仪器器误误差差：由由于于仪仪器器本本身身的的缺缺陷陷或或没没按按规规定定条条件件调调整整、使使用用所所造造成成的的误误差差。如如仪仪器器零零点点校校正正不不准准，天天平平两臂不等长等。两臂不等长等。系统误差方法误差方法误差：由于实验方法或实验理论不完善所造成的系统误差。如伏安法测电阻时未计入电表内阻的影响。个人误差个人误差：由于观察者生理或心理特点造成的误差。通常与观测人员的反映速度和固有习惯等有关（如有的人对准目标时总是偏左或偏右，致使读数偏大或偏小）。环境误差环境误差：由于外界环境（如

12、温度、光照、电磁等）的恒定偏离恒定偏离规定条件时而产生的误差。系统误差特点特点：具有具有确定性确定性和和规律性规律性。它的大小和符号。它的大小和符号保持不变或按一定规律变化，增加测量次数保持不变或按一定规律变化，增加测量次数误差不能减小。误差不能减小。在实验中可以通过校准仪器、改进实验在实验中可以通过校准仪器、改进实验设备、选择更好的实验方法来设备、选择更好的实验方法来消除消除或尽量使或尽量使之之减小减小，或在测量结果中进行，或在测量结果中进行修正修正。对于那些既不能修正，又不能消除的系对于那些既不能修正，又不能消除的系统误差应根据具体情况在测量误差（或测量统误差应根据具体情况在测量误差（或测

13、量不确定度）中反映出来。不确定度）中反映出来。系统误差定义定义：在对同一物理量进行多次重复测量时，各次测量值分散在一定范围内，其误差时正时负，绝对值时大时小，呈现无规则的涨落，这类误差称为偶然误差。测量过程中一些偶然的、不确定的因素引起的。温度忽高忽低气流飘忽不定电压漂移起伏偶然（随机）误差 p偶然误差具有单个偶然性，总体服从统计单个偶然性，总体服从统计规律规律的特点。在相同条件下，对同一物理量作多次重复测量，其测在相同条件下，对同一物理量作多次重复测量，其测量值将有时偏大，有时偏小，每次测量结果的误差量值将有时偏大，有时偏小，每次测量结果的误差（大小和正负）具有偶然性。但就总体而言，测量所（

14、大小和正负）具有偶然性。但就总体而言，测量所得到的一系列数据的偶然误差服从统计规律分布得到的一系列数据的偶然误差服从统计规律分布(正正态分布规律、态分布规律、t t分布、均匀分布分布、均匀分布)p测量次数足够多时，服从正态分布规律测量次数足够多时，服从正态分布规律偶然（随机）误差特点标准误差标准误差x0为真值为真值x为测量值为测量值p(x)为为x的概率密度的概率密度标准正态分布小较大大当x=x0时 的的大大小小可可以以描描述述曲曲线线的的形形状状。越越小小，分分布布曲曲线线就就越越陡陡，数数据据越越集集中中，重重复复性性好好，偶偶然然误误差差分分布范围窄。布范围窄。标准差表示测量值的离散程度

15、x0-x0 x0+测量值落入区间x0-,x0+的概率为这个概率叫置信概率（或置信度），置信概率（或置信度），对应的区间叫置信区间。扩大置信区间，可增加置信概率x0-2,x0+2内x0-3,x0+3内标准正态分布 x0-x0 x0+对称性对称性：大小相等、符号相反的正负误差出现的几率相等单峰性单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的几率大有界性有界性：绝对值很大的误差出现的几率近似等于零抵偿性抵偿性：随着测量数量的增加，随机误差的代数和趋于零。增加测量次数可以增加测量次数可以减小偶然误差，不减小偶然误差，不能完全消除能完全消除标准正态分布误差与测量结果的关系：准确度、精密度准确度、精密度偶然

16、（随机）误差的统计处理m次：次：N1，N2，Ni，Nm一、一、真值的最佳近似值真值的最佳近似值算术平均值算术平均值 任一次的测量误差：任一次的测量误差：（近真值）（近真值）（偏差）（偏差）（m ）偶然（随机）误差的统计处理二、二、误差的估计误差的估计标准误差标准误差 真值实际上得不到，但是，当真值实际上得不到，但是，当n足够大时，足够大时，算术平均值算术平均值趋于真值趋于真值，此时标准误差的计算式应该为：，此时标准误差的计算式应该为：当测量次数当测量次数n有限时，我们只能得到偏差，但由误差理论有限时，我们只能得到偏差，但由误差理论可以证明，此时可以用下式作为标准误差的最佳估计：可以证明，此时可

17、以用下式作为标准误差的最佳估计：偶然（随机）误差的统计处理三、三、误差的估计误差的估计算术平均值的标准误差算术平均值的标准误差称为称为测量列的标准误差测量列的标准误差，测量次数，测量次数n一般取一般取510次。次。算术平均值比任何一次测量值算术平均值比任何一次测量值xi都可靠，但都可靠，但毕竟不是真值，其可靠性如何呢？毕竟不是真值，其可靠性如何呢？根据误差理论，算术平均值的标准误差可以根据误差理论，算术平均值的标准误差可以写成以下形式：写成以下形式：称为称为测量列的标准误差测量列的标准误差，测量次数，测量次数n一般取一般取510次。次。偶然（随机）误差的统计处理 如果直接测量中系统误差已经减到

18、最小，如果直接测量中系统误差已经减到最小，被测量量是稳定的，并且对其作了多次测量，被测量量是稳定的，并且对其作了多次测量，那么就应该用那么就应该用算术平均值算术平均值作为测量值的最佳作为测量值的最佳估计，用估计，用算术平均值的标准误差算术平均值的标准误差作为标准误作为标准误差的最佳估计。差的最佳估计。用用标标准准米米尺尺测测某某一一物物体体的的长长度度共共10次次，其数据如下：其数据如下：试计算算术平均值试计算算术平均值某次测量值的标准误差某次测量值的标准误差算术平均值的标准误差算术平均值的标准误差例例:某次测量值的标准误差某次测量值的标准误差解：解：概念概念：我们测量某物理量时，总是想要找到

19、物理量的真值,而真值又无法确切知道，所以实际测量中，我们只能提供一个真值存在的范围：(x-x，x+x)同时要给出真值出现在这一范围内的几率，即置信概率。然后我们说：真值落在该范围内的概率是多少，这个x就叫做测量的不测量的不确定度。确定度。测量不确定度例如：用千分尺测量某圆柱直径例如：用千分尺测量某圆柱直径D，测量结，测量结果为：果为：D=(8.3480.005)mm,P=0.683 这个表达式说明测量结果在置信概率为这个表达式说明测量结果在置信概率为68.3%时，不确定的范围为时，不确定的范围为0.005mm，即，即真值出现在真值出现在8.3438.353mm范围内的概率为范围内的概率为68.

20、3%。测量的不确定度为。测量的不确定度为0.005mm。测量不确定度意义意义：表征了由于误差的存在使得被测量量不能确定的程度，反映了可能存在的误差分布范围，其实质是对误差的一种评价。不确定度与误差的区别不确定度与误差的区别：1、不确定度的来源是误差，由于测量误差 的存在使得被测量的量值是不确定的，不确定度是对这一不确定程度的定量描述。测量不确定度（也可以说不确定度是也可以说不确定度是一定置信概率一定置信概率下的下的 误差限值误差限值,反映了可能存在的误差分布范围。反映了可能存在的误差分布范围。）2、不确定度是以测量结果为中心的一个量值范围，真值则以一定的概率处于其中；而误差是测量结果跟真值之差

21、，以真值为中心。3、不确定度总是不为零的正数，而误差则既可以是正数，也可以是负数。不确定度原则上总是可以具体评定的，而误差一般由于真值的未知性而不能计算。测量不确定度 A 类分量类分量 :可以用统计学方法估算可以用统计学方法估算 的分量，一般指随机误差。的分量，一般指随机误差。不确定度组成及简化评定B 类分量类分量 :不能用统计学方法估算的分不能用统计学方法估算的分 量，一般指系统误差。量，一般指系统误差。若不特别说明 c 叫置信因子,满足均匀分布时c取 ，此时置信概率为0.683.不确定度组成(1)(1)互相独立互相独立(2)(2)应取相同的置信概率应取相同的置信概率不确定度组成不确定度合成

22、：不确定度合成：由于测量次数由于测量次数有限有限，测量值的分布将偏离，测量值的分布将偏离正态分布，此时服从正态分布，此时服从t t 分布分布。测量次数少。测量次数少时，时，t t 分布偏离正态分布较多。分布偏离正态分布较多。测量次数测量次数多多时趋于正态分布时趋于正态分布。平均值的标准偏差平均值的标准偏差 需修正为需修正为不确定度组成 前面提到有限测量时，算术平均值不等于真值，它的标准误差为：的意义可以理解为：待测物理量的真值处于区间待测物理量的真值处于区间 内的概率为内的概率为0.683。物理实验中，若置信度接近或大于物理实验中，若置信度接近或大于0.950.95,这这时时t 分布相应的置信

23、区间可写为分布相应的置信区间可写为:一般，我们测量次数一般，我们测量次数5 5n10n10次。次。n3456789102.481.591.241.050.9260.8340.7700.7155.732.922.061.651.401.241.121.03测量结果的合成不确定度5n10直接测量量不确定度估算过程与表示 1.1.求测量数据的平均测量值求测量数据的平均测量值 判断有无应当剔除的判断有无应当剔除的异常数据异常数据，如有，如有,剔除后重新计算剔除后重新计算 2.2.用已知系统误差修正平均值用已知系统误差修正平均值 3.3.计算标准误差计算标准误差 4.4.A=Sx 5.5.根据仪器允差确

24、定根据仪器允差确定B=仪仪 6.6.合成不确定度合成不确定度 7.7.表示测量结果表示测量结果注意在物理实验中，常常遇到的仪器误差是指国家标准规定的或生产厂家给出的计量工具、计量仪表的准确等级或允许的误差范围，并且根据测试方法或使用条件的简化约定，我们通常用仪仪表示。它是仪器的最大可能误差，其置信概率为99.7%，属于B类不确定度。常用仪器常用仪器仪仪的约定值的约定值钢卷尺、钢板钢卷尺、钢板钢卷尺、钢板钢卷尺、钢板尺尺尺尺游标卡尺游标卡尺游标卡尺游标卡尺螺旋测微螺旋测微螺旋测微螺旋测微器器器器1/10mm1/10mm分分分分度度度度1/20mm1/20mm分分分分度度度度1/50mm1/50m

25、m分度分度分度分度0.5mm0.5mm0.1mm0.1mm0.05mm0.05mm0.02mm0.02mm0.004mm0.004mm分光计分光计分光计分光计（1 1 分度）分度）分度）分度）读数显微镜读数显微镜读数显微镜读数显微镜迈克耳逊干涉仪迈克耳逊干涉仪迈克耳逊干涉仪迈克耳逊干涉仪测微目镜测微目镜测微目镜测微目镜1 1 0.005mm0.005mm0.00005mm0.00005mm0.005mm0.005mm1、除游标卡尺、分光计外、除游标卡尺、分光计外仪仪取仪器最小分度的一半。取仪器最小分度的一半。2、数字仪表，如秒表、电子平秤、数显温度计等，、数字仪表，如秒表、电子平秤、数显温度计

26、等，取末位的最小显示分值。取末位的最小显示分值。合成方法:相对不确定度:结果表示结果表示:注意：1.1.平均值有效数字位数不要超过 测量值的有效数字;2.不确定度保留1位有效数字，3.测量结果（平均值）的最后一 位数字要和不确定度具有相同 的数量级（即尾数对齐）。直接测量不确定度计算举例 例例1 1：用螺旋测微计测某一钢丝的直用螺旋测微计测某一钢丝的直 径，原始数据见下表，请给出完径，原始数据见下表，请给出完 整的测量结果。整的测量结果。d0=+0.004 mm,螺旋测微计的仪器允差为仪=0.004mm123456（mm）0.249 0.250 0.247 0.251 0.253 0.250

27、原始数据表格原始数据表格 例解：例解：d0=+0.004 mm,螺旋测微计的仪器允差为仪=0.004mm123456(mm)0.2490.2500.2470.2510.2530.250(mm)0.2450.2460.2430.2470.2490.246(mm)0.246(mm)0.0010.0000.003-0.001-0.0030.000 没有异常数据没有异常数据,不用剔除不用剔除 例解：测量结果表示为测量结果表示为1.某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm)m=0.02cmcmcm取一位取一位cmcm计算计算例例2：不确定度保留不确

28、定度保留1 1位位,且与平均值的最且与平均值的最后一位对齐后一位对齐.取一位取一位取一位取一位最后结果：最后结果：单次测量单次测量 当无需、无法多次测量、当无需、无法多次测量、或仪器精密度差，只测量一或仪器精密度差，只测量一次时，次时，间接测量不确定度的计算 设待测量与各直接测量之间有函数关系：设待测量与各直接测量之间有函数关系：则：待测量的平均值平均值平均值平均值可直接用各量平均值计算 待测量的不确定度不确定度不确定度不确定度与各直接测量量的不确定 度的关系为：（1 1 1 1）计算和差形式方便计算和差形式方便计算和差形式方便计算和差形式方便 （2 2 2 2）计算乘除指数形式方便计算乘除指

29、数形式方便计算乘除指数形式方便计算乘除指数形式方便常用公式 同学们可以用偏微分知识自己推导这些公式同学们可以用偏微分知识自己推导这些公式 间接测量的不确定度合成过程1.1.求出各直接测量量的平均值和不确定度求出各直接测量量的平均值和不确定度;2.2.根据公式求出间接测量量的合成不确定根据公式求出间接测量量的合成不确定度或相对不确定度度或相对不确定度;3.3.用各量的平均值求出间接测量量的平均用各量的平均值求出间接测量量的平均值。利用平均值并求出合成不确定度值。利用平均值并求出合成不确定度;4.4.表示测量结果。表示测量结果。间接测量量的不确定度合成举例 例例2 2：已测得金属环的外形尺寸如下，

30、要求给出其体积的测量结果已测得金属环的外形尺寸如下，要求给出其体积的测量结果解：2.由于间接测量与直接测量量之间没有简单关系，由于间接测量与直接测量量之间没有简单关系，故先推导出故先推导出间接测量的间接测量的相对不确定度相对不确定度1.间接测量量的不确定度合成举例3.求绝对不确定度求绝对不确定度4.4.实验结果表示实验结果表示2.数据处理方法 2 2 作图法处理实验数据作图法处理实验数据 3 3 逐差法逐差法 4 4 最小二乘法直线拟合最小二乘法直线拟合1 1 列表法列表法 列表的具体列表的具体要求要求：（1 1）表格设计合理，便于看出相关量之间的对应）表格设计合理，便于看出相关量之间的对应关

31、系，便于分析数据之间的函数关系和数据处理。关系，便于分析数据之间的函数关系和数据处理。（2 2）标题栏中写明代表各物理量的符号和单位。）标题栏中写明代表各物理量的符号和单位。注意：注意：单位不要重复记在各数值后面单位不要重复记在各数值后面！（3 3）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。字。（4 4）实验室所给出的数据或查得的单项数据及）实验室所给出的数据或查得的单项数据及表表名名应列在表格的上部。应列在表格的上部。1、列表法、列表法 伏安法测量电阻 伏特计：1.0级,量程15V,内阻15K 毫安计：1.0级,量程20mA,内阻1.205044995

32、09507515510496499500电阻R=U/I（）17.8616.0213.7511.839.707.856.054.012.00电流I（mA）9.008.007.006.005.004.003.002.001.00电压U（V）987654321测量次数n例例 1代表仪器的精度，必须写！代表仪器的精度，必须写！4.20305.40905.603266.9223.4271.3 （）0.002980.003370.0034761.923.214.6（）8.21 热敏电阻温度特性研究数据记录热敏电阻温度特性研究数据记录直接测量量直接测量量中间量中间量例例2（1）常用的图线类型常用的图线类型

33、函数曲线函数曲线 校准曲线校准曲线2、作图法优点优点：简便、形象、直观：简便、形象、直观缺点缺点：受坐标纸及人为的影响比较大：受坐标纸及人为的影响比较大 在一定条件下，某一物理量与另一物理量在一定条件下，某一物理量与另一物理量在一定条件下，某一物理量与另一物理量在一定条件下，某一物理量与另一物理量 之间的相互关系；之间的相互关系；之间的相互关系；之间的相互关系；图线是图线是图线是图线是光滑光滑光滑光滑曲线曲线曲线曲线UI热敏电阻的温度特性曲线热敏电阻的温度特性曲线 伏安特性曲线伏安特性曲线 函数曲线函数曲线函数曲线函数曲线 相邻校准点以直线连接；相邻校准点以直线连接；相邻校准点以直线连接；相邻

34、校准点以直线连接；校准曲线与被校准仪器一起使用校准曲线与被校准仪器一起使用校准曲线与被校准仪器一起使用校准曲线与被校准仪器一起使用校准曲线校准曲线校准曲线校准曲线IxI Ix xI Imaxmax电流表校准曲线电流表校准曲线1 1 1 1）作图一定要用作图一定要用作图一定要用作图一定要用坐标纸坐标纸坐标纸坐标纸2 2 2 2）图中要标明图中要标明图中要标明图中要标明图名图名图名图名、轴名、单位轴名、单位轴名、单位轴名、单位，并适当选取，并适当选取，并适当选取，并适当选取x x x x轴、轴、轴、轴、y y y y轴比轴比轴比轴比例（且符合有效数字位数要求）及坐标的起点，使图形例（且符合有效数字

35、位数要求）及坐标的起点，使图形例（且符合有效数字位数要求）及坐标的起点，使图形例（且符合有效数字位数要求）及坐标的起点，使图形比较对称地充满整个图纸。比较对称地充满整个图纸。比较对称地充满整个图纸。比较对称地充满整个图纸。3 3 3 3）描点和连线。描点可用描点和连线。描点可用描点和连线。描点可用描点和连线。描点可用“+、”符号表示数据点。符号表示数据点。符号表示数据点。符号表示数据点。连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，连线要纵观所有数据点的变化趋势，充分尊重实验事实，不要人为地

36、往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的不要人为地往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的不要人为地往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的不要人为地往理论上靠。所连的线不一定要通过所有的数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。数据点，而要在线的两测数据点均衡分布。4 4）表明图线特征（截距、斜率等，表明图线特征（截距、斜率等，表明图线特征（截距、斜率等，表明图线特征（截距、斜率等，标出被选计算点坐标标出被选计算点坐标标出被选计算点坐标标出被选计算点坐标）（2）作图法的要求与规则）作图法的要求与规则作图法 如果横坐标如果横坐标

37、x的原点为零，直线延长和坐标轴交点的原点为零，直线延长和坐标轴交点y的纵的纵坐标即为截距坐标即为截距（3 3）图解法求直线的斜率和截距）图解法求直线的斜率和截距1）直线斜率的求法）直线斜率的求法该直线的斜率：该直线的斜率：2)直线截距的求法直线截距的求法作图法 图线类型为直线方程图线类型为直线方程 ，可在图线上任取两相，可在图线上任取两相距较远的点，其距较远的点，其x x坐标最好为整数，以减少误差（坐标最好为整数，以减少误差（注意注意:不得用不得用原始实验数据点，必须从图线上重新读取）。原始实验数据点，必须从图线上重新读取）。解：解：1.选择选择合适合适的坐标分度值，确定坐标纸的的坐标分度值，

38、确定坐标纸的大小大小 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据数据表或精密度。根据数据表U U 轴可选轴可选1 1mmmm对应于对应于0.100.10 V V，I I 轴可选轴可选1 1mmmm对应于对应于0.200.20 mAmA，并可定，并可定坐标纸的大小坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）（略大于坐标范围、数据范围）约为约为130130 mm mm130m 130m m m。伏安法测电阻实验数据例3作图法2.2.标明坐标轴标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号

39、、单位轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.4.连成图线：连成图线：用直尺等把点连成直用直尺等把点连成直线、光滑曲线。一般不强线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实求直线或曲线通过每个实验点，实验点基本上均匀验点，实验点基本上均匀分布在图线两侧。分布在图线两侧。3.3.标实验点标实验点：实验点可用实验点可用“”、“”、“”等等符号标出（同

40、一坐标系下符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号不同曲线用不同的符号）。）。作图法5 5.标出图线特征：标出图线特征：在图上空白位置标在图上空白位置标明实验条件或从图上得明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电所绘直线可给出被测电阻阻R R大小：从所绘直线大小：从所绘直线上读取两点上读取两点 A A、B B 的坐的坐标就可求出标就可求出 R R 值。值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.006

41、.6.标出图名：标出图名：在图线下方或空白在图线下方或空白位置写出图线的名称及位置写出图线的名称及某些必要的说明。某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成!电阻伏安特性曲线作者：作者：xxxx作图法n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图 1不当：曲线太粗，不均匀，不光滑。应该把实验点应该把实验点连成光滑、均连成光滑、均匀的细实线。匀的细实线。不当图例展示：作图法n(nm)1.6500500.0700.01.6700

42、1.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：作图法图 2I(mA)U(V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线不当：横轴坐标分度选取不当。横轴以横轴以3 cm3 cm 代表代表1 1 V V，使作图和读图都使作图和读图都很困难。实际在选很困难。实际在选择坐标分度值时，择坐标分度值时，应既满足有效数字应既满足有效数字的要求又便于作图的要求又便于作图和读图，一般以和读图，一般以1 1 mm mm 代表的量值是代表的量值是1010的整数次幂或是其

43、的整数次幂或是其2 2倍或倍或5 5倍。倍。作图法I(mA)U(V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：作图法定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当图纸使用不当。实际作图时，实际作图时，坐标坐标原点的读原点的读数数可以不从可以不从零零开始开始。作图法定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15

44、001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正改正为：为：作图法（4 4）曲线改直）曲线改直）曲线改直）曲线改直 （例半导体热敏电阻电阻温度特性）（例半导体热敏电阻电阻温度特性）（例半导体热敏电阻电阻温度特性）（例半导体热敏电阻电阻温度特性）RTT TlnR1/T1/T作图法 函数成线性关系，函数成线性关系，函数成线性关系，函数成线性关系，自变量为等间距变化时，自变量为等间距变化时，自变量为等间距变化时，自变量为等间距变化时，数据是偶数对。数据是偶数对。用逐差法处理具有独特的用逐差法处理具有独

45、特的用逐差法处理具有独特的用逐差法处理具有独特的优点优点优点优点。逐差法适用条件逐差法适用条件3、逐差法、逐差法逐差法测量序号：测量序号：测量序号：测量序号：1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 测量值：测量值：测量值：测量值：x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 x x5 5 x x6 6 x x7 7 x x8 8优点优点优点优点：逐差法可以充分利用数据，减小误差逐差法可以充分利用数据，减小误差逐差法可以充分利用数据，减小误差逐差法可以充分利用数据，减小误差 逐差伸长量逐差伸长量逐差伸长量逐差伸长量 xx1 1 xx2 2 xx3 3 x x4

46、4逐差伸长量的定义（分两组）：逐差伸长量的定义（分两组）：逐差伸长量的定义（分两组）：逐差伸长量的定义（分两组）：xxi i=x=xi+4i+4-x-xi i逐差法取平均：逐差法取平均：逐差法取平均：逐差法取平均：逐差法从一组实验数据中从一组实验数据中从一组实验数据中从一组实验数据中客观地客观地客观地客观地找出一条最佳的拟合曲线找出一条最佳的拟合曲线找出一条最佳的拟合曲线找出一条最佳的拟合曲线 作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一作图法直观、方便，但在曲线的绘制上带有一定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的

47、定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的定的主观随意性。同一组数据可能会得到不同的拟合曲线。拟合曲线。拟合曲线。拟合曲线。YX X4.4.最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘包括两类问题包括两类问题 函数关系已经确定，系数是未知的函数关系已经确定，系数是未知的函数关系未知，求经验方程式。函数关系未知，求经验方程式。y=a+bx 我们讨论的是第一类问题我们讨论的是第一类问题 中的最简单的函数关系，中的最简单的函数关系，即一元线性方程的回归即一元线性方程的回归 (亦称直线拟合亦称直线拟合)问题。问题。yn yi y2y1 xi xnx2x1设

48、设设设两个物理量之两个物理量之两个物理量之两个物理量之间满间满间满间满足足足足线线线线性关系性关系性关系性关系:测量值测量值测量值测量值 与最佳值与最佳值与最佳值与最佳值 的值之间的偏差为：的值之间的偏差为：的值之间的偏差为：的值之间的偏差为：最小二乘法原理最小二乘法原理最小二乘法原理最小二乘法原理:所有偏差平方之和为最小值时，所所有偏差平方之和为最小值时，所所有偏差平方之和为最小值时，所所有偏差平方之和为最小值时，所拟合的直线为最佳。拟合的直线为最佳。拟合的直线为最佳。拟合的直线为最佳。精度高精度高自变量自变量（1 1）线性方程的确定）线性方程的确定）线性方程的确定）线性方程的确定彼此独立彼

49、此独立最小二乘法直线拟合最小二乘法直线拟合最小二乘法直线拟合最小二乘法直线拟合解方程得解方程得:最小二乘法直线拟合最小二乘法直线拟合 最小二乘法处理数据除给出最小二乘法处理数据除给出 a a、b b 外，还应给出相外，还应给出相关系数关系数 r，r 定义为定义为 r 表表示示两两变变量量之之间间的的函函数数关关系系与与线线性性的的符符合合程程度度，r-1-1，11。|r|1 1，x x、y y 间间线线性性关关系系好好，|r|0 0 ，x x、y y 间无线性关系，拟合无意义。间无线性关系，拟合无意义。物物理理实实验验中中一一般般要要求求 r 绝绝对对值值达达到到0.9990.999以以上上(3个个9 9以上以上)。其中其中相关系数 r