42-2 绘制根轨迹的基本规则.ppt

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1、 自动控制理论 网址：4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法 自动控制理论 网址：课程回顾课程回顾（1 1）根轨迹根轨迹 系统某一参数由系统某一参数由 00变化时，闭环变化时，闭环极极点点在在 s s平面相平面相 应变化所描绘出来的轨迹应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K K*均有关均有关相角条件：相角条件：模值条件：模值条件：根轨迹方程根轨迹方程

2、K K与与K K*的关系的关系 闭环零点闭环零点 =前向通道零点前向通道零点 +反馈通道极点反馈通道极点 自动控制理论 网址：课程回顾课程回顾（2 2）法则法则1 1 根轨迹的根轨迹的分支数及分支数及起点和终点：起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数n n大大于开环零点个数于开环零点个数m m时，有时，有 n-m n-m 条根轨迹分支趋向于无穷远处。条根轨迹分支趋向于无穷远处。法则法则2 2 根轨迹的对称性和连续性：根轨迹的对称性和连续性：根轨迹连续且对称于实轴。根轨迹连续且对称于实轴。法则法则3 3 实轴上的根轨迹

3、：实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零点或极点向左算起，奇数开环零、极点从实轴上最右端的开环零点或极点向左算起，奇数开环零、极点 到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。定理定理:若系统有若系统有2 2个开环极点，个开环极点，1 1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧圆弧。法则法则4 4 根之和：根之和：n-mn-m22时，闭环时，闭环根之和为常数。根之和为常数。自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（7

4、 7）法则法则5 5 渐近线渐近线：nmnm时，时，n-mn-m条条根轨迹趋于无穷远处的规律根轨迹趋于无穷远处的规律。证明证明:(:(1)1)根轨迹方程根轨迹方程p117p117 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（8 8）法则法则5 5 渐近线渐近线：nmnm时，时，n-mn-m条条根轨迹趋于无穷远处的规律根轨迹趋于无穷远处的规律。证明证明:(:(2)2)由相角条件由相角条件 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（9 9）法则法则5 5 渐近线渐近线：n n m m时，时，n-mn-m条条根轨迹趋于无穷远处的规

5、律根轨迹趋于无穷远处的规律。例例1 1 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ，试绘制根轨迹试绘制根轨迹 。解：解：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2-2，00 渐近线：渐近线：mnzpnimjiia-=11s smnka-+=p pj j)12(1020211-=-+-=-=mnzpnimjiias s =-+=90)12(mnkap pj j 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（1010）例例2 2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1).(1)渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2,-1,0-4,-2,-1,0

6、（1 1）绘制当）绘制当K K*=0=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2 2）当）当ReRel l1 1=-1=-1时，时，l l3 3=?=?用根用根之和法则分析绘制根轨迹：之和法则分析绘制根轨迹：(2)23132410-=-+-=as s =-+=9013)12(p pj jka 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（11 11）法则法则6 6 分离点与会合点分离点与会合点（对应重根）（对应重根）当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向点称为根轨迹的分离点。当根

7、轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点求解根轨迹的分离点和会合点求解根轨迹的分离点和会合点d图图4-10 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点图图4-11 根轨迹的复数分离点根轨迹的复数分离点或或 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（1212）例例3 3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2,-1,0-,-2,-1,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解得：解得：与虚轴交点：与虚轴交点：?

8、13210-=-=as s =+=180,603)12(p pj jka021111=+ddd02632=+dd -=-=577.1423.021dd385.021423.0*-=+=dddddK 自动控制理论 网址：例例4 4 一反馈控制系统的开环传递函数为一反馈控制系统的开环传递函数为 求该系统根轨迹的分离点。求该系统根轨迹的分离点。解：基于上述的规则，可知该系统的根轨迹有如下的特征：解：基于上述的规则，可知该系统的根轨迹有如下的特征：1)1)有有4 4条根轨迹分支。它们的始点分别为条根轨迹分支。它们的始点分别为0 0，4 4，。2)2)由于开环没有零点，因而由于开环没有零点，因而4 4条

9、根轨迹分支沿着渐近线趋于无条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远。这些渐近线与实轴正方向的夹角分别为穷远。这些渐近线与实轴正方向的夹角分别为渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为 4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（1313）自动控制理论 网址：3)3)实轴上的实轴上的-4 0-4 0线段是根轨迹。线段是根轨迹。4)4)系统的特征方程式为系统的特征方程式为求得求得 。这表明该系。这表明该系统的根轨迹除了在实轴上有一个分离点统的根轨迹除了在实轴上有一个分离点 外，还有两个共轭复数分离点在外，还有两个共轭复数分离点在 处。处。4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法

10、则（1414）自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（1515）法则法则7 7 与虚轴交点与虚轴交点：解法解法I I：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s=s=j jw w 是根的点是根的点 接例接例3 3 Routh：解法解法IIII：稳定范围稳定范围 ：0K30K3 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（1616）法则法则8 8 出射角出射角/入射角入射角 （起始角（起始角/终止角）终止角）根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的

11、出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实称为根轨迹的出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。计算根轨迹出射角和轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。计算根轨迹出射角和入射角的目的在于了解入射角的目的在于了解复数极点或零点复数极点或零点附近根轨迹的变化趋向，附近根轨迹的变化趋向，便于绘制根轨迹图。便于绘制根轨迹图。出射角出射角入射角入射角 自动控制理论 网址：4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则（1717）例例5 5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解：解：渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,

12、0 与虚轴交点：与虚轴交点：出射角：出射角：自动控制理论 网址：绘制绘制根轨迹法则小结根轨迹法则小结法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的根轨迹的分支数及分支数及起点和终点起点和终点法则法则 2 2 根轨迹的对称性和连续性根轨迹的对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角 自动控制理论 网址：例例1 1 一反馈控制系统如图一反馈控制系统如图4-154-15所示，试绘制该系统的根轨迹。所示，试绘制该系统的根轨迹。系统的开

13、环传递函数为系统的开环传递函数为 与上式对应的特征方程根的轨迹如图与上式对应的特征方程根的轨迹如图 4-164-16所示。所示。p124p124例例 题题 自动控制理论 网址：图图4-154-15所示系统的闭环传递函数为所示系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为其闭环特征方程为 不难看出，上式中不难看出，上式中s=-1s=-1这个根与参变量这个根与参变量K K无关，或者说它不受无关，或者说它不受K K的控制；而方括号内多项式的二个根随参变量的控制；而方括号内多项式的二个根随参变量K K的变化而变化。的变化而变化。图图4-164-16仅描述了这二个根的轨迹。仅描述了这二个根的轨迹。自动控制理论

14、网址：例例3 3 设单位反馈系统的传递函数为设单位反馈系统的传递函数为 解：解：（1 1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。有一个无穷远处的零点。（3 3）分离点）分离点（2 2）渐近线与实轴重合，实轴上根轨迹（）渐近线与实轴重合，实轴上根轨迹（-，-2-2。试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。例例 题题（4 4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（圆心为（-2-2，j0)j0)，半径为半径为 自动控制理论 网址： 自动控制理论 网址：附录附录1 1法则法则6 6 分离点分离点 d d：说明：说明：（无零点时右端为（无零点时右端为0）（对应重根）（对应重根）试根试根:自动控制理论 网址：