5-1常微分方法求解yi.ppt

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1、常微分方程的数值求解方法常微分方程的数值求解方法信息科学技术学院电子工程系信息科学技术学院电子工程系易清明易清明本章教学内容提要一、常微分方程的初值问题一、常微分方程的初值问题二、二、Euler方法方法三、改进的三、改进的Euler方法方法四、编程四、编程第五章第五章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：考察的一阶方程的初值问题：本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值本章中我们假定右函数适当光滑以保证

2、初值问题解的存在唯一。问题解的存在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。值解法。第五章第五章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 差分法基本思想：差分法基本思想：差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求离散节点求离散节点上的近似解上的近似解 ，相邻节点间距，相邻节点间距 称为步长。称为步长。第五章第五章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 初初值值问问题题的的各各种种差差分分方方法法都都采采用用“步

3、步进进式式”，即即求求解解过过程程顺顺着着节节点点排排列列的的次次序序一一步步一一步步地地向向前前推推进进。描描述述这这类类算算法法，只只要要给给出出从从已已知知信信息息 计算计算 的递推公式。的递推公式。这类计算格式统称为差分格式。这类计算格式统称为差分格式。第五章第五章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 第五章第五章 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 （5.1）（5.1）5.1 Euler5.1 Euler法法 （5.2）（5.2）5.1 Euler法法(5.1)(5.2)（5.3）（5.4）（5.4）（5.3）三三.改进的改进的Euler方法方法n从从以以上上分分析析得得

4、知知，Euler方方法法的的精精度度很很低低，因因为为无无论论从从Taylor级级数数展展开开分分析析还还是是从从数数值值积积分分近近似似计计算算分分析析，其其近近似似计计算算只只是是利利用用了了其其前前一一点点的的数数据据，或或说说左左边边的的数数据据。三三.改进的改进的Euler方法方法n改进方法可以从提高数值积分精度出改进方法可以从提高数值积分精度出发，如利用梯形求积公式代替左矩形发，如利用梯形求积公式代替左矩形求积公式，得：求积公式，得：n公式（公式（5）是一种隐式求解方法，称为）是一种隐式求解方法，称为隐式隐式Euler公式（因为它是关于的方程公式（因为它是关于的方程的隐式表示形式，

5、这样不利于计算。的隐式表示形式，这样不利于计算。(5.5)(5.5)三三.改进的改进的Euler方法方法（5.6）（5.6）5.1:5.2:5.1拓展一：龙格库塔方法拓展二：一阶方程组拓展三：化高阶方程为一阶方程组基本要求基本要求:1.理解常微分初值问题的差分求解的基本思想；理解常微分初值问题的差分求解的基本思想；熟悉熟悉Euler显格式显格式,梯形法及梯形法及Euler预校法预校法;2.理解掌握理解掌握Euler法及改进的法及改进的Euler法的显式格法的显式格式及隐式格式，并能编写式及隐式格式，并能编写C语言程序完成实际问语言程序完成实际问题的数值求解的计算。题的数值求解的计算。3.了解龙格库塔方法的基本思想以及对一阶了解龙格库塔方法的基本思想以及对一阶方程组、高阶方程的拓展思路。方程组、高阶方程的拓展思路。本章作业：本章作业：n用用Euler方法和改进的方法和改进的Euler方法，编方法，编程求解程求解P98 例例1的初值问题的解。的初值问题的解。