第二章解析函数精选PPT.ppt

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1、第二章解析函数第1页，本讲稿共43页2.1 可导与可微 定义 设单值函数 ，满足称 f(z)在 z 点可导，此极限称为 f(z)在点 z 的导数，记作 。若 在点 z 的改变量 可写为 ，其中 ，则称 在 z 点可微，称为 w 在 z 点的微分，记作 。定义 第2页，本讲稿共43页定理w=f(z)在 z 点可导，则一定在该点可微，反之亦然，且 。函数可导的必要条件柯西-黎曼方程（C-R 条件）若函数 f(z)在 z=x+iy 点可导，以任意方式0，同样值。第3页，本讲稿共43页特殊路经一：（平行于实轴）函数按虚部实部分开：极限按虚部实部分开：zII xyI第4页，本讲稿共43页特殊路经二：（平

2、行于虚轴）函数按虚部实部分开：极限按虚部实部分开：分子分母同乘以-i：第5页，本讲稿共43页C-R条件，必要而非充分条件。则有：第6页，本讲稿共43页定理若 u、v 的偏导数存在且连续，C-R 条件是函数可导的充要条件。证明(1)必要性：由推理过程已证。(2)充分性：存在且连续，和 可微，即第7页，本讲稿共43页高阶无穷小量 有 （根据 C-R 条件）第8页，本讲稿共43页 f(z)可导。第9页，本讲稿共43页导数的几何意义第10页，本讲稿共43页2.2 解析函数区域 G 内每一点都可导的函数称为 G 内的解析函数。，处处可导，f(z)为 G 的解析函数。定义 解析函数柯西-黎曼方程 ，u、v

3、 不是相互独立的，第11页，本讲稿共43页 例题例题解已知 ，求 。涉及到的高数知识：，反函数的导数=(直接函数的导数)-1 第12页，本讲稿共43页分子提取 后 且第13页，本讲稿共43页又 C-R 方程 ，当 ，并取积分路经为 时，得第14页，本讲稿共43页代入 和 有令第15页，本讲稿共43页已知 ，求 。例题例题解方法一：当 ，并取积分路经为 时，得第16页，本讲稿共43页方法二：将 ，代入 而 所以 第17页，本讲稿共43页若符合以下三条之一：f(z)在 z0 处无定义；f(z)在 z0 处不可导；f(z)在 z0 处不解析，则 z0 是 f(z)的奇点。解析函数的实部和虚部的二阶导

4、数一定存在并且连续。（以后证明）定义 定理即满足 u，v 二维拉普拉斯方程u，v 都是调和函数。第18页，本讲稿共43页2.3 初等函数 幂函数 当 时，在复平面 C 上解析，为奇点；当 时，在 上（包括点）处处解析。指数函数可知 在复平面 C 上解析，为奇点。周期为第19页，本讲稿共43页 三角函数 复指数函数 ，双曲函数与三角函数是互化的。周期：导数公式：由于 与 在复平面 C 上解析，故 在复平面 C 上解析，周期为 ，模可以大于1。实三角函数的各种恒等式对复三角函数仍然成立。第20页，本讲稿共43页 例题例题求证：证明第21页，本讲稿共43页 对数函数 （指数函数的反函数）第22页，本

5、讲稿共43页2.4 多值函数根式函数 令 ，w2+a 是 的反函数，故 时，对于 z 存在两个 w 与之对应函数的多值性来源于辐角的多值性。第23页，本讲稿共43页也就是说，对于自变量 z 的每一个值，若有两个或两个以上的函数值 w 与之对应，则称 w=f(z)为 z 的多值函数。在复平面上，若 z 绕某点 z0 一周回到原处时，对应的多值函数值不还原，则称 z0 为该多值函数的支点。若 z 绕 z0 转 n 周后对应的函数值还原，就称 z0 为该多值函数的 n1 阶支点，支点必为奇点。定义 对于多值函数 w=f(z)，若存在 z=z0，使在 z0 的邻域内当 z 的辐角改变 2p p 时，w

6、 的值并不还原，则 z0 为 w 的支点。支点思考：是 和 的支点吗？有什么不同？第24页，本讲稿共43页 是 和 的支点。q qrzxy z0z plane第25页，本讲稿共43页不同之处在于：是 的一阶支点，当 绕 一周时（），与之对应，当 z 绕 由 时，又恢复到 。q/2+pq/2+pw2q/2q/2w1uv w space第26页，本讲稿共43页 是 的二阶支点，当 绕 一周时（），与之对应，当 z 绕 由 时，又恢复到 。第27页，本讲稿共43页类似地，是 的 n1 阶支点。是 的 n1 阶支点。第28页，本讲稿共43页 例题例题解若 ，规定 ，求 w(2)，w(i)，w(0)，w

7、(-i)。第29页，本讲稿共43页第30页，本讲稿共43页实质=限制 z 的变化方式限制多值函数的自变量的取值范围后，多值函数被划分为若干个单值函数，其中的每一个单值函数称为多值函数的单值分支。规定辐角的变化范围多值函数单值化定义 定义 多值函数=单值分支 1+单值分支 2+单值分支 n，n=单值分支连接多值函数的两支点割开平面的线称为割线。割线第31页，本讲稿共43页 是支点为 a 和 的二值函数。其单值分支(的割线上岸)和单值分支(的割线上岸)如图所示。argw=p puvo w space第32页，本讲稿共43页辐角变化范围的规定不唯一，如：和 或 和 割线的做法多种多样，只要连接分支点

8、，并适当规定割线一侧相关宗量的辐角值。多值函数单值化：优点等份于单值函数，可以讨论解析性。缺点支点为奇点，为各个单值分支所共有，支点 附近的邻域分属多个单值分支，不能讨论复 杂问题。解决办法：规定 w 在某一点 z0 的值，明确 z 的连续变化路线。第33页，本讲稿共43页 例题例题解1）z 沿 C1 连续变化时，规定 ，讨论 z 沿 C1 或 C2 连续变化到原点时，函数 w 的值。C1、C2 为以 z=1 为圆心，1 为半径的上半圆周和下半圆周。第34页，本讲稿共43页2）z 沿 C2 连续变化时，理解：z 的路线不受限制，可以从一个单值分支到另一个单值分支。相当于两个 z 平面相粘接，第

9、一个面的割线下岸（）和第二个面的割线上岸（）相连，同时第一个面的割线上岸（）和第二个割线的下岸（）相连。构成二叶黎曼面。黎曼面定义 使多值函数划分为单值函数的若干叶割破的互相粘合的复平面。第35页，本讲稿共43页 例题例题解试讨论函数 的多值性。z=1 的情况在 z=1 的邻域内取 ，其中 则 第36页，本讲稿共43页 虚实合并后，当 即 z1 绕 z=1 一周时，当 即 z1 绕 z=1 两周时，w 回复到辐角为 j j1 时的值。可见，z=1 是 的一阶支点。类似 z=1 的讨论，可知 z=-1 也是一阶支点。z=-1 的情况第37页，本讲稿共43页则当 时，函数值不变，可知则 值与辐角无

10、关 时，函数值不变，所以 z=0 的情况在 z=0 的邻域内取 ，其中 z=0 不是 的支点。z=的情况在 z=0 的邻域内取 ，其中 z=不是 的支点。第38页，本讲稿共43页综上所述，有两个一阶支点 ，其黎曼面如下：割线为 z=-1 到 z=1 的连线：割线为 z=-1 沿负实轴到 z=后沿正实轴到 z=1 的连线：第39页，本讲稿共43页2.5 解析函数的物理解释复势 已知解析函数 w=f(z)的实部 u(x,y)和虚部 v(x,y)满足 C-R 条件分别求 x，y的偏导两式相减 第40页，本讲稿共43页C-R 条件：分别求 y，x 的偏导两式相加 二维的拉普拉斯方程第41页，本讲稿共43页若电荷沿三维空间某一方向均匀分布，取该方向为 z 轴，则有平面静电场，由电荷产生的静电场，其电势在空间的无源（无电荷）区域内满足拉普拉斯方程可见解析函数的实部（或虚部）可以解释为平面静电场的势。此外，将 C-R 条件两式相乘并移项，得第42页，本讲稿共43页即 即在 Oxy 平面上，u(x,y)的等值线族与 v(x,y)的等值线族处处相互正交。u(x,y)或 v(x,y)为平面静电场的复势。若 u(x,y)是平面静电场的等势线族（等势面），则 v(x,y)是平面静电场的电场线族（电力线）。反之亦然。第43页，本讲稿共43页